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Acta Nova
versión On-line ISSN 1683-0789
RevActaNova. v.1 n.3 Cochabamba dic. 2001
Artículo Científico
Sobre una Trasgresión Numérica
Oscar R. Pino Ortiz
Centro de Investigación Matemática - C.I.M.A.
Universidad Católica Boliviana San Pablo
Cochabamba, Bolivia
e-mail: pino@ucbcba.edu.bo
Resumen
Es bien conocido que si una sucesión real monótona creciente es acotada, entonces el límite de dicha sucesión existe y es menor o igual a la cota. Este trabajo muestra que tal afirmación no es verdadera si se toma como cota No. Lo que aparentemente significaría una seria dificultad para la extensión de las técnicas del análisis clásico al estudio de las sucesiones transfinitas.
1 Conceptos Preliminares
Sea |C| la categoría de los conjuntos con las aplicaciones como morfismos. Podemos definir sobre los objetos |C| de esta categoría una relación de equivalencia por medio de:
Un número cardinal es entonces una clase de equivalencia de |C| (que no es un conjunto) para la relación .
Recordemos algunos de los números cardinales conocidos: 0,1,2,3,..., 0, 1, 2, ... Los primeros 0,1,2,3,... son también llamados cardinales finitos y los segundos 0, 1, 2, ..., cardinales infinitos [1, 2].
Recordemos, igualmente, que decimos que un conjunto a es infinito si existe una aplicación de a en a, inyectiva no sobreyectiva [3].
Aunque la intuición muestra como evidente que podemos definir una relación de orden total y natural sobre los números cardinales, no es fácil probar, por ejemplo, que si α y β son cardinales, entonces
Esta última afirmación es conocida bajo el nombre de Teorema de Cantor-Bernstein [3].
Consideremos la subcategoría ε C tal que |ε| = |C| y tal que los morfismos de ε sean los monomorfismos de C. No presenta dificultad mostrar que es posible definir, de manera natural, un funtor covariante k : ε → Ñ , donde Ñ es la categoría de los números cardinales cuyos objetos son la clase de los símbolos 0,1,2,3,..., 0, 1, 2.....provistos de los siguientes morfismos:
La composición de morfismos es, evidentemente, 1βγ o 1αβ =1αγ
2 La trasgresión
Un resultado conocido en análisis es el que afirma que si u : → + es un sucesión positiva tal que un < a entonces
El corazón del presente artículo es mostrar que este teorema es falso si consideramos una sucesión u : → Ñ. En efecto vamos a probar que es posible construir una sucesión u en Ñ tal que un < 0 y sin embargo .
Sea An , un conjunto de cardinalidad n, digamos An = {1; 2; 3;...; n}. La cardinalidad de P(An) es 2n. La sucesión que nos interesa es definida como la composición de:
Es decir, u : → Ñ es tal que un = u(n) = k(P(An)) = 2n. Es claro que 2n < 0 n Є . Sin embargo,
El único punto cuyo significado puede ser eventualmente algo confuso es el de .
Basta observar que A1 A2 A3 ... An , que por lo tanto
y que
Peor aún, podemos mostrar que el límite de una sucesión constante no os lo que uno espera, es decir, la constante. En efecto, consideremos la sucesión ν : → Ñ tal que vn = v(n) = kn). Esta sucesión es constante porque x y entonces n n . Podemos escribir vn = k(n) = 0, n . Pero si tomamos el límite cuando n crece indefinidamente...
Sorprendente ¿no es verdad?. Pero no tanto si consideramos una "evaluación" discontinua sobre, por ejemplo, el intervalo [0; 1]:
Ahora, si definimos la sucesión v : → [0;1] por vn = e (1/n), tendremos la sucesión constante vn = 0 cuyo límite, cuando n crece indefinidamente, no es 0, sino 1. En efecto:
A todas luces, en este caso, la "sorpresa" viene del intercambio .
Estamos tentados a deducir que el funtor k se comporta como una "evaluación discontinua" entre la finitud y la infinitud. Así se explicaría la trasgresión numérica que nos ocupó en estas notas.
Notas
1No está demás aclarar, para los lectores no matemáticos, que la igualdad se demuestra observando que ambos conjuntos poseen los mismos elementos. Por ejemplo, está claro que y por lo tanto que . Para ver que también pertenece a , basta observar que . Así, todo subconjunto M de pertenecerá a , ya que . Concluimos que . La otra inclusión no presenta dificultad ya que es bien sabido que . Por lo tanto ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad 1.
Referencias
[1] G. Cantor. Contributions to the foundings of the theory of Transfinite Numbers. Dover Publications, New York, 1955. [ Links ]
[2] L. Rodríguez y O. Pino. Irracionalidad y Trascendencia. Inédito, 1994.
[3] S. Vasilach. Ensernbles, Structures, Catégories, Faisceaux. Masson, Paris, 1977. [ Links ]