COMPORTAMIENTO SÍNCRONO DE OSCILADORES DE RELAJACIÓN
IDÉNTICOS GLOBALMENTE ACOPLADOS POR PULSOS

G. M. Ramírez Ávila^l , J.-L. Guisset² J.-L. Deneubourg2

¹ Instituto de Investigaciones Físicas Universidad Mayor de San Andrés Casilla 8635. La Paz, Bolivia
² Centre for Nonlinear Phenomena and Complex Systems Université Libre de Bruxelles
CP231 Campus Plaine, Bld. du Triomphe 1050. Bruselas, Bélgica

RESUMEN

Se estudia la sincroniza,ción en conjuntos de tres tipos de osciladores de relajación ^alobalmente acoplados por pulsos. El estudio está restringido al caso de osciladores idénticos y se consideran acoplamientos globales con la aproximación de campo medio y del tipo dependiente con la distancia entre osciladores. Las características de los osciladores son tales que se va desde una situación de osciladores fotocontrolados reales y simplificados descritos en [1] [2] a osciladores idealizados de integración y disparo [3]. Para el estudio de la sincronización, se utilizan los criterios del período y de la diferencia de fases introducidos en [41[5]. Finalmente, se analizan y comparan las duraciones de los transientes para todos los casos estudiados así como su relación con la probabilidad de sincronización total.

Descriptores: Sincronización, Acoplamiento Global, Comportamientos Colectivos.

1. INTRODUCCIÓN

La sincronización en conjuntos de osciladores acopla­dos ha merecido la atención de muchos científicos so­bre todo a partir del s. XX. A. Winfree publica en 1967 un artículo en el que hace un análisis de poblaciones de osciladores de relajación generalizados a los cuales los relaciona con ritmos biológicos [6]. En 1975, C. Peskin formula un modelo para el rnarca,pasos cardiaco en base a osciladores inspirados en circuitos RC [7]. R. Mirollo y S. Strogatz publican en 1990 un artículo en el que introducen un modelo simplificado denominado oscila­dor de integración y disparo (integrate-a.nd-fire oscilla­tor) que se constituye en un paradigma de osciladores que se acoplan y sincronizan por medio de pulsos [3]; este modelo permitió la explicación de la sincronización en sistemas tales como luciérnagas, células cardíacas y neuronas entre otros. Numerosos trabajos han sido con­sagrados a estudiar acoplamientos globales entre diferen­tes tipos de osciladores. Así, se pueden citar investiga­ciones relacionadas con neuronas [81[9], con junturas de Josephson [101[111, con sistemas químicos [12] [13] o sim­plemente con mapas [14] [15] [16] y osciladores en general [171[181[19]. En el presente artículo nos concentramos en tres tipos de osciladores que parecen tener una gran si­militud entre si ya que todos son osciladores de relaja­ción y su dinámica es tal que tienen un comportamien­to pulsátil. Son justamente los pulsos que posibilitan el acoplamiento en ensambles de cada uno de estos tipos de osciladores. En este artículo, se estudia y caracteriza

el comportamiento síncrono en configuraciones de aco­plamiento global con una aproximación de campo medio (Fig. 1(a)) y en la situación más real de una dependencia del acoplamiento con la distancia (Fig. 1(b))¹. En § 2 se describen los osciladores y se contextualizan los mismos de manera que los resultados obtenidos puedan ser com­parables. En § 3 se presentan los resultados relacionados con la sincronización total de los conjuntos de osciladores considerando los criterios de sincronización del período y de la diferencia de fases introducidos en [4][5] y consi­derando un acoplamiento con la aproximación de campo medio (§ 3.1.1) y otro del tipo dependiente con la distan­cia (§ 3.2.1). Asimismo, en § 3.1.2 y § 3.2.2 se comparan los transientes (intervalos de tiempo en los que se alcanza la sincronización estable de la población total de oscila­dores) para las situaciones de acoplamiento mencionadas anteriormente. Finalmente, en § 4 se discuten los resul­tados y se hace una crítica a los modelos simplificados que en algunas ocasiones pueden conducir a resultados no muy concordantes con la realidad; también se dan las perspectivas de esta investigación.

2. OSCILADORES DE RELAJACIÓN PULSÁTILES

Los osciladores de relajación fueron denominados así desde los trabajos pioneros de van der Pol en 1926. La característica esencial de estos osciladores es la de tener dos escalas de tiempo, en las que tienen lugar movimien‑

Figura 1. Configuraciones de osciladores globalmente acopla­dos. (a) Aproximación de campo medio. (b) Dependencia con la distancia entre los osciladores. Los sentidos y el grosor de las flechas indican la direccionalidad del acoplamiento (do­ble flecha significa acoplamiento mutuo) entre osciladores y la intensidad del acoplamiento respectivamente.

tos rápidos y lentos en el espacio de fases [20]. Por este motivo, la forma de la oscilación es muy lejana a una fun­ción senoidal y mas bien es parecida a una secuencia de pulsos [21] o a una onda de tipo diente de sierra [22]. Mu­chas investigaciones han sido dedicadas a los osciladores de relajación ya sea para describir ciertas propiedades de estos [23] o para aplicarlos en fenómenos biológicos que describen ritmos circadianos, respiración [24], compor­tamientos neuronales [25]; en sistemas químicos [26]; en circuitos electrónicos [27][28]; para el análisis de ritmos y compases musicales [29]; y principalmente para estudiar la sincronización en diferentes contextos [30] [31][32]. En el presente trabajo, analizamos los osciladores fotocon­trolados, para los cuales utilizamos la abreviación LCOs (proveniente de Light-Controlled Oscillators) [5] y los osciladores de integración y disparo cuya abreviatura es IFOs (de su nombre en inglés, Integrate-and-Fire Osci­llators) [3].

Estos osciladores fueron introducidos desde el pun­to de vista experimental en 2001 [28][33] y varios tra­bajos que analizan su comportamiento síncrono fueron realizados [1][34][2][4][35][5][36]. Los LCOs son oscilado­res de relajación que emiten pulsos luminosos durante la parte rápida de variación de voltaje, a través de los LEDs que poseen. Est´an provistos igualmente de fotosensores, lo que permite a los LCOs acoplarse por medio de los destellos que emiten y reciben. Considerando que el acoplamiento entre pares de LCOs i y j es simétri­co (, que el término cuando los LCOs pueden interactuar, y que la variable binaria €,(t) es el estado del oscilador que toma el valor 1 (etapa de carga) ó O (etapa de descarga). Las ecuaciones que describen la dinámica de un conjunto de N LCOs son:

donde V_isi, es el voltaje de la fuente para cada oscilador. i y gracias a un chip basculante LM555 (flip-flop) traba­jando en modo astable, se establecen umbrales superior (para 2Vm_i/3) e inferior (para Vm_i/3), lo que permite la oscilación. Dado que se tienen dos circuitos RC que permiten la carga y la descarga, los coeficientes A, y -y, están en función de los valores de las resistencias R),,

y del condensador C_i de la forma:

Por otra parte, para un LCO que no recibe la acción de otros, su período natural [34] viene dado por:

2.2. Osciladores de integración y disparo (IF0s)

Como se mencionó anteriormente, estos osciladores fueron introducidos por Peskin en 1975 para tratar de modelizar marcapasos cardíacos [7] y en 1990, Mirollo y Strogatz simplifican el modelo y lo hacen fácilmente tratable, definiendo un umbral superior (V_i = 1) hasta el cual ocurre el proceso de carga ("integración") y una vez que se ha alcanzado éste, el IFO se descarga ("disparo") instantáneamente hasta la línea de base (V, = 0) [3]. Las ecuaciones que describen los IFOs en su formas más prístina tienen la forma:

Los IFOs se acoplan por medio de pulsos y cuando un IFO dispara, todas las otras variables V_i, j≠i, se in‑crementan una cantidad β/N. Se hace la división por N, para tener un comportamiento razonable en el límite termodinámico N —› oo. Es decir,

Una integración sencilla de (4) para un IFO, permite hallar su período natural:

Nótese que en la formulación de las ecuaciones (4) y (5), se ha supuesto implícitamente un acoplamiento global de los IF0s, sin que las distancias entre los mismos jueguen algún rol; es decir, todos los IFOs están acoplados a los demás, con un mismo valor de acoplamiento, esto es lo que denominaremos "aproximación de campo medio". Una primera modificación que se puede hacer a (5) para que se tenga en cuenta acoplamientos que no son los mismos entre pares de IFOs es el considerar

Aquí, tienen el mismo significado que en el caso de los LCOs. Como se pretende hacer una comparación de los LCOs e IF0s, expresaremos las ecuaciones que describen a los IFOs y sus acoplamientos en términos de las mismas variables que los LCOs, lo que da:

siendo el intervalo de variación del voltaje yo_{. 5_1/25~} 2V3M Además, cuando existe acoplamiento entre IF0s, se tendrá:

Utilizando (8), se puede calcular el período natural de un IFO de este tipo que coincide con (3), es decir, el de un LCO. Con lo anterior, se pueden comparar los resultados a obtenerse con LCOs e IF0s.

3. SINCRONIZACIÓN TOTAL EN LCOS E IFOS

Para nuestros fines, el término sincronización total, se refiere a la situación en la que todos los osciladores de una determinada población llegan a sincronizarse de forma estable. Para el análisis, utilizaremos la probabili­dad de sincronización total (PST) para cada población de osciladores. La PST está en relación al porcentaje de experimentos numéricos en los cuales se alcanza la sin­cronización total. Para el análisis, se utilizan dos crite­rios de sincronización cuyos detalles están especificados en [4][51: el criterio del período (CP) y el criterio de la diferencia de fases (CDF). El CP solamente exige que los períodos de todos los osciladores de un determinado en­samble tengan el mismo período para poder referirnos a la sincronización total, en tanto que el CDF, además de la igualdad de períodos, exige que las diferencias de fase entre los osciladores sea prácticamente nula; es decir, que los osciladores emitan sus pulsos casi simultáneamente. Además, tomamos poblaciones que van de 2 a 25 osci­ladores idénticos, para las cuales hacemos experimentos numéricos considerando acoplamientos con una aproxi­mación de campo medio y acoplamientos que dependen de la distancia entre los osciladores según la relación ex­puesta en [34]. Los tipos de osciladores con los cuales trabajamos son: LCOs, LCOs simplificados (consideran­do que el tiempo de descarga es constante) e IF0s.

3.1. Aproximación de campo medio

En este caso, se considera que todos los osciladores están acoplados de la misma manera y con una intensi­dad de acoplamiento común para todosy como el acoplamiento es global, . Por otra parte, como se  consideran osciladores idénticos, las cantidades  son iguales para todos los osciladores y como se tienen N osciladores, los índices en las ecuaciones ί, γ= 1,…..N
deben ser diferentes ί≠ј. Las ecuaciones para cada uno de los tipos de osciladores con los cuales trabajamos son:

LCOs. Las ecuaciones que describen el acoplamiento global entre N LCOs vienen dadas por:

donde se hace el cociente entre N con el fin de tener un comportamiento razonable en el límite termo­dinámico (N →∞).

te (). Las ecuaciones que describen el acoplamiento global de este tipo de osciladores son:

IF0s. Para el acoplamiento global de estos osciladores considerando una aproximación de campo medio se tiene:

Aquí se debe aclarar que el acoplamiento entre IFOs tiene que ser mayor que el acoplamiento f3r_ef que se ha utilizado para los LCOs en un factor t.₎, = R.-„Cln 2 que es el tiempo de descarga de un LCO; es decir, el tiempo durante el cual actúa un LCO sobre otro. Así, se tendrá:

Los valores utilizados para los parámetros son: Vm = 9,0 V, RA = 100,0 k^g, .17-_y = 1,6 kS^-2 y C = 0,47

3.1.1. Probabilidad de sincronización total (PST)

Para el estudio de la PST en la aproximación de cam­po medio, se consideraron los tres tipos de osciladores y se hicieron 100 experimentos numéricos para números de osciladores (N) variando de 2 a 25 y valores de la inten­sidad de acoplamiento (Oref) de 100, 166, 200, 300, 400 y 500. Así mismo, para la caracterización de la PST, se consideraron los criterios de sincronización de la diferen­cia de fase (CDF) y del período (CP). Los resultados de los experimentos numéricos se muestran en la. Fig. 2

De las Fig. 2(a) y (d), se observa que el comporta­miento es muy similar, presentándose sólo pequeñas di­ferencias y en general, la PST para el caso del CP es ligeramente mayor en comparación a la correspondiente al CDF. Una situación parecida ocurre cuando se com­paran las Fig. 2(b) y (e). Para Estas 4 situaciones, el comportamiento general de la PST es el de aumentar con N y 13 ref, , aunque para los LC0s, este aumento pare­ce ser más uniforme que en el caso de los LCOs simplifi­cados, en los cuales se nota una especie de oscilación en el aumento de la PST con N, lo que sugiere que el au­mento en la PST varía dependiendo de la paridad o no en N. Sin importar N, los valores de la PST son gran­des, siendo siempre mayores que 0.75 en el caso de los LCOs y mayores a 0.80 en el caso de los LCOs simplifi­cados. Por otra parte, en el caso de los IF0s, se tiene que siempre existe sincronización si se considera el CP (ver Fig. 2(f)), en tanto que considerando el CDF (Fig. 2(c)), la PST es siempre mayor o igual a 0.98, debiéndose es­ta pequeña diferencia a situaciones en las cuales puede darse anti-sincronización o la formación de cúmulos de

sincronización que tienen la misma frecuencia pero que "disparan" a tiempos diferentes. Para cuantificar el valor medio de la PSI' para cada tipo de oscilador, se toman en cuenta las PST en función de N y de β_ref como en [5]; así, la expresión para el valor medio de la PST viene dado por:

De los resultados obtenidos en la Tab. 1, se ve que la P:S'T para LCOs simplificados es ligeramente menor que la correspondiente a los LCOs reales como resultado de las oscilaciones que presenta la PST en el caso de los

Figura 3. Dan.siente en función de Ore_f y N para (a) LCOs, (b) LCOs simplificados, y (c) IFOs utilizando el CDF. ]]> TABLA 1

Valores promedio e incertidumbres de las PS7', utilizando todos los valores de N y _,β_refpara los tres tipos de osciladores globalmente acoplados utilizando la aproximación de campo medio y tomando como criterio de sincronización la constancia y limitación de las diferencias de fase y la igualdad de períodos respectivamente.

LCOs simplificados. Como un último comentario, desta­car que los resultados obtenidos para los IFOs muestran coherencia con otros trabajos en los cuales se utilizan este tipo de osciladores [3][17][31], en el sentido en que la sincronización total es la situación más probable.

3.1.2. Transientes

Un aspecto interesante en la sincronización de osci­ladores acoplados es el estudio del transiente o el tiempo en el cual el sistema llega a la sincronización total. Los transientes para LCOs idénticos y acoplados localmente, se describieron en [5], en tanto que para IFOs localmen­te acoplados, estos transientes fueron estudiados en [31]. La formulación analítica para la descripción de transien­tes tanto para osciladores como para mapas acoplados es un problema aún abierto y sólo en algunos casos se han llegado a encontrar fórmulas explícitas para estos tran­  sientes como en el caso de bucles digitales con enganche de fase [37]; por lo que, se privilegia el cálculo numérico [38] o los resultados experimentales [27].

En la Fig. 3 se representan los transientes en unida­des de eventos de disparo (eventos de encendido) para los tres tipos de osciladores considerados en función de N y ,8„_f, notándose que para todos los casos, la dura­ción del transiente aumenta con N pero disminuye con _/3„_f, lo cual se podía intuir a partir de otros trabajos, tales como [31][5]. Sin embargo, se debe destacar que en el caso de los LCOs (reales y simplificados), la duración del transiente aumenta con N pero de forma oscilato­ria, viéndose nuevamente una relación con la paridad en el número de osciladores que componen el sistema (Fig. 3(a),(b)). La situación es diferente en los IF0s, ya que el aumento en la duración del transiente con N es prácticamente continua y con una tendencia de tipo lo-

Figura 4. Dansiente en función de N para (a)-(f) LCOs, (g)-(1) LCOs simplificados, y (m)-(r) IFOs utilizando el CDF. Se trabajaron con seis valores para 1.3„_f: (a), (g), (ta) ,3„_f = 100, (b), (11), (n) ₎3„_f = 166, (c), (i), (o) /3„f = 200, (d), (j), (p) l3ref = 300, (e), (k), (q) ₎3„_f = 400 y (f), (1), (r) 3ref = 500.

garítmica de la forma t, = a ln(N — 1) + b, como se ve LCOs. en la Fig. 3(c). Las tendencias citadas anteriormente se corroboran de forma más clara en la Fig. 4, en la cual

Por otra parte, la duración del transiente en todos los casos parece disminuir según una ley de potencias con aref de la forma

situación que se muestra evidente en la Fig. 5.

3.2. Acoplamiento dependiente de la distancia

Se estudió también el caso en el cual el acoplamiento depende de la distancia entre los osciladores. Dado que se trata de un acoplamiento global entre los osciladores, para la investigación numérica, se planteó una "arena cuadrada" de 50 x 50 celdas cuadradas, haciendo un total de 2500 celdas, cada una de las cuales puede ser ocupada por un oscilador. En el caso de los LCOs reales, se determinó experimentalmente que el acoplamiento (β) varía con la distancia (r) entre los osciladores de acuerdo con donde se encontró que el exponente a toma el valor de 2.11 [1]. Se supondrá que esta dependencia es válida también para LCOs simplificados e IFOs. Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de cada uno de los sistemas de osciladores globalmente acoplados son:

Figura 5. Transiente en función de _j3_ref para (a) LCOs, (h) LCOs simplificados, y (c) TFOs utilizando el CDF. La. ecuación de ajuste se muestra para cada caso y la gráfica de la función correspondiente está representada por la línea continua.

Donde en todos los casos ί,ј = 1,…. , N está en relación con el número de osciladores, firef = 166 es una intensi­dad de acoplamiento de referencia y  = 4,85 [cm] es una distancia de referencia que justamente corresponde al valor de intensidad de acoplamiento dado por (3_re_f; lo anterior fue obtenido a partir de resultados experimen­tales [34]. Por otra parte, se consideró también que la mínima distancia entre los osciladores debe ser de 1.8 cm, por lo que la distancia entre dos osciladores i, j se determina usando la relación:

Al igual que en el caso del estudio de la aproximación de campo medio § 3.1, para cada uno de los tipos de osci­lador se realizaron 100 experimentos numéricos con con­diciones iniciales aleatorias y posiciones también aleato­rias. Nuevamente, el número de osciladores considerados se varió entre 2 y 25 y se tomaron los criterios de sincro­nización que se mencionaron al principio de esta sección. Los valores intrínsecos de los osciladores son los mismos que se utilizaron en § 3.1, lo que corresponde a un período natural de los mismos de To = 33,62 ms. Se consideraron también hasta 15000 eventos de disparo.

3.2.1. Probabilidad de sincronización total

Para el cálculo de la PST, se consideraron los tres tipos de osciladores y los criterios de sincronización uti­lizados anteriormente. Los resultados se muestran en la Fig. 6, de la cual se observa que la tendencia de la PST es a disminuir exponencialmente con N, en la forma:

siendo PST(2) la probabilidad de sincronización total cuando el sistema está compuesto por 2 osciladores y k, una constante que depende del tipo de oscilador y del criterio de sincronización que se tome. De la Fig. 6 se ob­serva que la PST es ligeramente mayor cuando se utiliza el CP que cuando se usa el CDF; esto no es sorprendente puesto que puede ser que toda la población de oscilado­res tenga el mismo período pero sus eventos de encendido difieran por valores constantes y de esa manera se pue­dan formar grupos de osciladores que no se enciendan al mismo tiempo. Para los LCOs simplificados, en el caso de la utilización del CP, se tiene una PST unitaria para grupos de 2 y 3 osciladores (Fig. 6(e)). Otro aspecto in­teresante a remarcar es el hecho que para los IF0s, cuando sus acoplamientos dependen de la distancia, su PST es nula para poblaciones mayores a 10 osciladores, situa­ción sorprendente si se recuerda que los IFOs acoplados según una aproximación de campo medio, llegaban a sin­cronizarse de forma rápida y con una PST unitaria. Las afirmaciones anteriores pueden ser corroboradas viendo el valor que da el ajuste para el coeficiente k; así como la bondad del ajuste a. través del coeficiente de corre­lación 7^.2 que son mostrados en la Ta.b. 2. Los valores de k muestran que para LCOs reales y simplificados, se tiene un decrecimiento más suave cuando se considera el CP; en tanto que para IF0s, con ambos criterios de sincronización se tiene un decrecimiento abrupto.

3.2.2. Transientes

Para los osciladores acoplados globalmente con una dependencia en la distancia, se obtuvieron también resul­tados considerando el CDF para la sincronización. Estos resultados se muestran en la Fig. 7. Se observa que los transientes no tienen un comportamiento regular y por lo tanto resulta difícil el tratar de ajustar una función que relacione transientes con número de osciladores. Para los casos de LCOs y LCOs simplificados, se tienen prome‑

Figura 6. Resultados de la PST utilizando el CDF (arriba) y el CP (abajo) para LCOs (a) y (d), LCOs simplificados (b) y (e) e IFOs (c) y (f). La ecuación de ajuste se muestra para cada caso y la gráfica de la función correspondiente está representada por la línea continua.

Valores promedio e incertidumbres del coeficiente k de (22) y coeficiente de correlación del ajuste 7-² uti­lizando los dos criterios de sincronización y para los tres tipos de osciladores globalmente acoplados cuyo acoplamiento depende de la distancia entre los osciladores.

dios de transientes que pueden ser elevados, en tanto que para IF0s, los transientes son cortos, pero nuevamente resaltamos el hecho de que es muy dificil la sincroniza­ción para conjuntos de IFOs bajo esta configuración de acoplamiento.

4. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS

Los resultados obtenidos nos muestran que cuando se tiene acoplamiento global, el comportamiento de los LCOs y los LCOs simplificados es bastante parecido pe­ro difiere notoriamente del comportamiento de los IF0s. Cuando el acoplamiento es dependiente de la distancia entre osciladores, la PST es menor que cuando el aco­plamiento es de tipo campo medio; esto puede deber­se a que la elección aleatoria de posiciones y condicio­nes iniciales se traduzca en que en algunas situaciones, se esté en condiciones desfavorables para la sincroniza­ción, ya sea por la extrema cercanía entre osciladores o la extrema lejanía de los mismos; ambas situaciones no favorecen la sincronización puesto que en el caso de tenerse dos o más osciladores muy cercanos podría ten­derse a una muerte de oscilaciones por ser la intensidad de acoplamiento muy grande. Por otra parte, si las dis­tancias entre osciladores son muy grandes, la intensidad del acoplamiento es muy pequeña y esto se traduce en una probabilidad menor de sincronización tal como se observó en § 3.1.1. Los IFOs sincronizan rápidamente y con una PST unitaria cuando el acoplamiento es de tipo campo medio; sin embargo, cabe señalar que los IFOs que son tan populares para la modelización de diver­sos sistemas, presentan un comportamiento fuertemente diferente al de osciladores reales tales como los LCOs.

Figura 7. Transientes y PST (proporcional al tamaño de los círculos) en función del número de osciladores N para (a) LCOs, (b) LCOs simplificados y (c) IF0s, todos globalmente acoplados con un acoplamiento dependiente de la distancia entre los osciladores.

Como se señaló en§ 1, a primera vista, los IFOs y los LCOs parecen ser muy similares pero las pequeñas di­ferencias conducen en algunos casos a comportamientos totalmente diferentes sobre todo cuando el acoplamiento es dependiente de la distancia entre osciladores. Estos resultados también sugieren la formación de cúmulos de osciladores sincronizados en cada población lo que podría dar lugar a patrones espacio-temporales si se considera que cada evento de encendido corresponde a la emisión de un flash luminoso. Parece existir además una influen­cia dada por la paridad en el número de osciladores que hace que aparezca una especie de oscilación en el creci­miento del valor de la I' ST en función del número de osciladores. El estudio de otras topologías de red se pre­senta como una perspectiva interesante en el sentido de analizar la influencia de la red en la sincronización de la población de osciladores

Agradecimientos

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