Diseño de un controlador difuso
tipo-2 T2FC mediante la estabilidad de
Lyapunov en el P.E.A. con una evaluación
comparativa para el control de nivel de
tanques de agua con tiempo muerto FOPDT

Bustillos Durán, Vidher Wilfredo¹ ]]> ¹ Universidad Mayor de San Andrés
vwbustillos@umsa.bo , vidher.bustillos@gmail.com
La Paz, Bolvia
Fecha de recepción: 19 de septiembre     Fecha de aprobación: 23 de diciembre

Resumen

Este artículo presenta el diseño de un controlador difuso tipo-2 T2FC, el cual se basa en la estabilidad de Lyapunov y su función candidata para obtener las reglas base de control, para el diseño del controlador difuso tipo-2, en base a las reglas difusas establecidas por el funcionamiento del sistema de control, se utiliza de manera exclusiva las señales del error y la derivada del error, determinando las funciones de membresía tipo-2 que permita realizar el seguimiento a un nivel de referencia – set point establecido, el cual permitirá la evaluación comparativa de sistemas de control difuso para el control de nivel de tanques de agua dentro del P.E.A.

El desarrollo del controlador difuso tipo-2 T2FC, se lo realizará utilizando el software de modelaje matemático MatLab 2015b con su aplicación Simulink y la librería Fuzzy Logic Type2, resaltando en el main editor, el tipo de reducción por el método de Karnik-Mendel KM, las variables difusas del sistema de inferencia FIS y el método de inferencia de Sugeno para la presentación de la variable de salida.

Para la validación de los resultados, se utiliza un sistema de control de nivel de tanques de agua con tiempo muerto, mediante una maqueta virtual obtenida del software Control Station v3.7®, analizando el régimen transitorio, comparando los resultados obtenidos con los controladores difusos T2FC y T1FC.

Abstract

This article presents the design of a type-2 T2FC fuzzy controller, which is based on the Lyapunov stability and its candidate function to obtain the base control rules, for the design of the type- 2 fuzzy controller, based on the rules fuzzy signals established by the operation of the control system, the error signals and the derivative of the error are used exclusively, determining the type-2 membership functions that allow tracking at a reference level – established set point, which will allow the comparative evaluation of fuzzy control systems for the level control of water tanks within the P.E.A.

The development of the T2FC type-2 fuzzy controller will be carried out using the MatLab 2015b mathematical modeling software with its Simulink application and the Fuzzy Logic Type2 library, highlighting in the main editor, the type of reduction by the Karnik-Mendel KM method. , the fuzzy variables of the FIS inference system and the Sugeno inference method for the presentation of the output variable.

For the validation of the results, a water tank level control system with dead time is used, through a virtual model obtained from the Control Station v3.7® software, analyzing the transitory regime, comparing the results obtained with the fuzzy controllers. T2FC and T1FC.

Keywords: Fuzzy controller, T2FC, KM reduction method, membership functions, fuzzy rules, Sugeno inference, Lyapunov stability.

1.  Introducción

En la actualidad se tiene dos tipos de controladores difusos tipo-1 T1FC y el tipo-2 T2FC, siendo el primero la base de investigación del controlador difuso tipo-2, los T1FC pueden ingresar en inestabilidades   cuando se presentan dispersión en las mediciones o prolongación del tiempo de respuesta, en este sentido nacen los T2FC los cuales pueden manejar la incertidumbre, son más estables y presentan una respuesta más rápida dentro el régimen transitorio y pueden modelar sistemas complejos no lineales de manera experimental, obteniendo un mejor desempeño al momento de diseñarlos con herramienta adecuadas.

2.  bases teóricas

A) Los conjuntos difusos tipo-2 

En base a la investigación realizada por [1] Zadeh introdujo por primera vez el concepto de “conjuntos difusos con funciones de membresía difusas” en 1995, indicando lo siguiente “los conjuntos difusos tipo-2, están motivados por la estrecha asociación que existe entre el concepto de verdad lingüística con valores de verdad, en los que los grados de membresía se especifican en términos lingüísticos” a la cual se considera como la primera noción de un conjunto difuso de tipo n.

Para definir un conjunto difuso tipo-2, nos basamos en la definición realizada por Lofti y Zadeh, representada en la investigación realizada por Rodriguez [2], los conjuntos difusos tipo-2 de intervalo IT2FS¹ es expresado por dos funciones de pertenencia, una representa el grado de pertenencia en X y la segunda agrega una ponderación a cada conjunto difuso tipo-1.

Analizando el conjunto difuso primario está ponderado por el conjunto difuso como una función de pertenencia secundaria.

Una aclaración que realiza Jerry Mendel, extraído de Durán [3] indica lo siguiente:

Donde:

Otra forma de expresar el conjunto difuso à es:

Donde: muestra la unión sobre las entradas x y u

Haciendo un análisis a la ecuación 4, se debe tomar en cuenta algunas restricciones al momento de considerarlas:

•    ,debe ser consistente con la restricción de un conjunto difuso tipo-2,,donde al desaparecer la incertidumbre una función de membresía tipo-2, se reducirá a una función de membresía tipo-1.

•   , una función de membresía debe tomar valores entre 0 y 1, cuando todas   las ,   entonces   el conjunto de Ã es llamado conjunto difuso tipo-2 en intervalos o IT2FS, según [4].

B)  La huella de incertidumbre “FOU”

Esta huella de incertidumbre, se encuentra limitada por dos funciones de pertenencia, una denominada función de pertenencia superior y la otra función de pertenencia inferior , ambos son conjuntos difusos tipo-1, por lo que el grado de pertenencia de cada elemento de un IT2FS es un intervalo de: .

La figura 1 representa la ecuación 5 mostrando la huella de incertidumbre generada por las funciones de pertenencia superior e inferior.

Para obtener información de las funciones de pertenencia o membresía, en los conjuntos difusos tipo-1, se puede recurrir al método del centroide, de la misma forma se puede obtener información de la huella de incertidumbre de los conjuntos difusos tipo-2 de Ã.

Donde:

]]> C_l = cota inferior del centroide

C_u = cota superior del centroide

Tomando en cuenta que conjuntos difusos tipo-2 de intervalo, presentan una cantidad infinita de centroides incrustados en una huella de incertidumbre, estos centroides se pueden calcular generalizando la ecuación 6, donde el cálculo de los centroides de la cota inferior como de la cota superior se puede definir.

C)      Inferencia difusa tipo-2

Para el análisis de la inferencia difusa tipo-2, con una entrada de conjuntos crisp⁵, se toma como base el esquema general del sistema difuso tipo- 2 en base a lo expuesto por [5], donde se puede apreciar cuatro etapas claramente definidas, estas son: la Fuzzificación, el razonamiento difuso donde se encuentra el motor de inferencia que actuará en base a las reglas de inferencia establecida, el reductor de tipo y el Defuzzificador.

i)     La Fuzzificación en T2FS

 La etapa de fuzzificación, mapea un valor dentro el conjunto difuso, tomando en cuenta que:

ii)   El motor de inferencia y las reglas de inferencia

Estas dos etapas, funcionan de la misma manera que los sistemas difusos tipo-1, con la excepción clara que las premisas del antecedente como del consecuente son representadas por conjuntos difusos tipo-2. Este proceso combina las reglas de inferencia para mapear la entrada de los conjuntos difusos tipo-2 hacia la salida [5], de forma que las reglas de inferencia se pueden expresar de la siguiente forma:

Donde:

R^l_i = Relación difusa tipo-2 el subindice l hace referencia a la l-ésima regla difusa.

De manera gráfica, el cálculo para IT2FS, se expresa de acuerdo a la investigación realizada por [6] en donde se puede apreciar de manera clara el proceso de la inferencia para sistemas difusos tipo-2.

iii) Reductor de tipo

Como su nombre lo indica, está etapa realiza una reducción del conjunto difuso tipo-2 en otro conjunto difuso tipo-1 de intervalo, dentro del rango de la cota superior C_u y la cota inferior C_l de los centroides, con el objetivo de encontrar un valor representativo de salida.

En la práctica los valores de los centroides referidos a las cotas superior e inferior se calculan aproximadamente mediante las ecuaciones 7 y 8, para obtener valores representativos de estas cotas, se tiene la necesidad de recurrir a un método iterativo de reducción “Reductor de tipo”, para estimar estos valores.

El Method Karnik-Mendel (KM), es el primer método desarrollado para el reductor de tipo, según lo expuesto por [6] para obtener los valores más representativos de las cotas superior e inferior de un conjunto difuso tipo-2, se parte de:

El cálculo del intervalo de disparo "punto donde cambia de estado" de cada regla.

Para el cálculo:

La solución para la maximización:

El método de Karnik y Mendel se representa en la figura 5 donde se puede apreciar la entrada de información del conjunto difuso, el proceso de obtención de los valores de las cotas inferior y superior y la obtención del valor de salida.

iv) Defuzzificador tipo-2 

Después de la reducción de un conjunto difuso tipo-2 a un conjunto difuso tipo-1, sigue la defuzzificación para obtener un valor representativo en la salida, este valor se lo obtiene aplicando el reductor de tipo de centro de conjuntos “COS”.

La defuzzificación es un promedio entra las cotas superior e inferior y el reductor de centro de conjuntos COS devolverá un intervalo [y_l,y_u]

El método de inferencia TSK propuesto por Takagi, Sugeno en 1985 y Sugeno, Kant en 1985, conocido generalmente como método de Sugeno, el cual es una alternativa de solución de sistemas difusos cuando el método de Mamdani no pueda entregar respuestas satisfactorias. Este método TSK hace énfasis en la forma de calcular la salida, al no trabajar con un conjunto difuso sino con una función lineal [7].

Para este método TSK, el antecedente viene representado por un conjunto difuso al igual que el método de Mamdani, al aplicar el operador IF se obtiene un grado de pertenencia para cada una de las reglas difusas. El cálculo del consecuente mediante el operador THEN de las reglas se obtiene el respectivo valor de salida mediante la combinación lineal de las entradas.

Para este método TSK, el antecedente viene representado por un conjunto difuso al igual que el método de Mamdani, al aplicar el operador IF se obtiene un grado de pertenencia para cada una de las reglas difusas. El cálculo del consecuente mediante el operador THEN de las reglas se obtiene el respectivo valor de salida mediante la combinación lineal de las entradas.

Sea los conjuntos difusos: μA, μB además x ∈ μA, y є μB la función lineal F(x,y) y el tipo de implicación SI – ENTONCES, se puede definir la siguiente la siguiente relación:

En el caso especial cuando F(x,y) es un polinomio de orden cero, se puede identificar como un caso del método de Mamdani, donde el consecuente de cada regla viene dado por una función singleton.

E)  La estabilidad de Lyapunov

Existen varias formas para el análisis de estabilidad de sistemas continuos e invariantes en el tiempo, una forma práctica analizando el comportamiento del sistema se lo puede obtener a través de la teoría de estabilidad de Lyapunov, la cual brinda una forma genérica para el análisis de la estabilidad de forma indirecta [9].

Una función candidata a FL, debe satisfacer las siguientes propiedades:

Donde:

X = representa una matriz (m_xm)

3.  desarrollo del controlador T2FC

A)  Antecedentes

En principio para el desarrollo del controlador difuso tipo-2 T2FC, se debe tomar en cuenta la doble normalización de la ganancia y tiempo de los procesos de primer orden con tiempo muerto First Order Plus Dead Time, FOPDT permite el análisis sistemático de la respuesta dinámica de los sistemas controlados [11], tomando en cuenta la ecuación diferencial 2.18, se ajustará a los términos adecuados de representación de sistemas de primer orden. Según Cooper [12]:

Donde:

Aplicando la transformada de LaPlace a la ecuación diferencial 23, se tendrá:

Para el análisis dinámico del proceso de llenado de los tanques de agua, en base a la maqueta virtual ofrecida por Control Station v3.7®, se tomarán en cuenta las características más importantes que nos permitirán obtener los datos de las variables involucradas dentro el proceso y de esta manera determinar la ecuación característica que modela a la planta.

La maqueta virtual consta de cinco partes importantes, las cuales son: la variable manipulada, la salida del controlador, la variable medida del proceso “set point”, el sensor de nivel y la variable de perturbación, como se puede observar en la figura 7.

a)    Las propiedades del fluido son constantes no cambian durante el proceso

b)   Dentro el tanque no habrá ningún tipo de reacción química

B. Propuesta de desarrollo

De acuerdo a la metodología de Buchanan [14] para la construcción de un sistema experto, esta debe dividirse en cinco fases analizados en el marco teórico, los cuales serán la base para el diseño del controlador difuso tipo-2.

i)     Identificación de datos normalizados

 Los datos base del sistema de tanques de agua, se encuentran definidos de la siguiente manera:

•   qi(t) [lt/min] = Caudal de líquido de entrada hacia el tanque.

•   qo(t) [[lt/min] = Caudal de líquido de salida del tanque.

•   h(t) [m] = Altura del nivel de líquido del tanque.

•   Δh(t) [m] = Desviación de la altura del nivel de líquido del tanque.

•   Porcentaje [%] = Porcentaje de llenado tanque alimentador

ii)   Conceptualización variables in-out

Las variables del sistema realimentado propuesto, identificadas para el desarrollo del controlador difuso   tipo-2,   basados   en la identificación del funcionamiento del controlador que brinda el experto y en las cuales se puede definir el universo de discurso, son:

Las variables de entrada

•   error,    el    error,    producido   entre    la diferencia del valor del set-point

•   derror, la variación de cambio instantáneo del error

La variable de salida

iii)Formalizaci ón:  Estrategia  de Fuzzificación

Para la variable de entrada del error, se definen seis variables lingüísticas del tipo triangular distribuida dentro de su universo de discurso, representadas en la tabla 2.

Para la variable de entrada de la señal de cambio del error o derivada del error se definen seis variables  lingüísticas  del tipo  triangular distribuidas dentro de su universo de discurso, representadas en la tabla 3.

Para la variable de salida o variable de control, se definen cinco variables lingüísticas distribuidas dentro de su universo de discurso, representadas en la tabla 4.

Las reglas difusas son la forma de como un controlador difuso tipo-2 puede almacenar el conocimiento lingüístico, con esos datos se puede establecer una matriz con las combinaciones posibles que pueden presentarse en el proceso de control.

Con los valores obtenidos se procede a calcular el centroide de todas las funciones de pertenencia incrustadas en FOU utilizando las ecuaciones 7 y 8 para la cota inferior y superior respectivamente.

iv)Formalización: Etapa Defuzzificación

Para el diseño del controlador difuso tipo-2, se utilizó como reductor de tipo el método de Karnik-Mendel, por ser el más simple y brinda una buena respuesta en la salida al aplicar el centro de conjuntos “COS”.

Se utiliza funciones triangulares por su sencillez y ser más adecuadas para la respuesta del controlador difuso tipo-2. La generación de las superficie del polígono en la etapa de defuzzificación, se obtienen por las operaciones de minimización y maximización de las cotas inferiores y superiores y generar en base a las reglas de inferencia y la FOU el valor de salida más representativo del controlador difuso.

v)  Formalizaci ón: Etapa Defuzzificación

Para la representación en diagrama de bloques del diseño del controlador difuso tipo-2 dentro el sistema de control, se utilizará el software de ingeniería y modelaje matemático MatLab 2015b y su aplicación Simulink, también es necesario contar con la librería Fuzzy Logic Type2 instalada, la cual no viene por defecto, pero se puede solicitar a la página web oficial de MatLab, mediante el nombre de Interval Type-2 Fuzzy Logic System Toolbox.

En base al diseño del controlador difuso tipo- 2, en la figura 8, se presentan las dos entradas referidas al error y la derivada del error, la salida que representa al nivel final del tanque de agua principal, el motor de inferencia utilizando el método de Sugeno, donde se encuentran las reglas difusas y el reductor de tipo utilizado para la defuzzificación por el método de Karnik- Mendel “KM”.

Para la variable de entrada asignada a la derivada del error, se representan en la figura 10 mostrando el universo de discurso y las funciones de pertenencia superiores e inferiores.

Las funciones de membresía que generan la FOU se representan dentro el sistema de inferencia difusa FIS, referidas a la variable de salida asignada a la variable de control, se representan en la figura 11.

En el Rule Editor de Type-2 Fuzzy Logic System Toolbox, se pueden introducir las reglas difusas de funcionamiento del T2FC, las cuales se identificaron en la tabla 5.

El análisis de la superficie obtenida de las funciones de membresía y la defuzzificación se presentan en la figura 13.

La representación del sistema de control completo incluido el controlador difuso tipo- 2, se puede observar en la figura 15, según el diseño preliminar y la planta a controlar, para realizar el análisis teórico de la respuesta a la función escalón.

vi) Prueba o Testeo – Diagramas en bloques

En base al diseño realizado para el controlador difuso tipo-2 T2FC, se realiza la prueba de funcionamiento del controlador dentro de todo el sistema de control y la asignación de un set point deseado, mostrando un adecuado funcionamiento del controlador difuso tipo-2, en base a la determinación de las funciones de membresía la inferencia realizada por el método de Sugeno.

Aplicando la estabilidad de Lyapunov

En base al análisis de comportamiento del sistema, para el análisis de la estabilidad es necesario determinar la función candidata, la cual cumpla con las propiedades establecidas por Lyapunov.

En los sistemas realimentados de lazo cerrado, es necesario analizar la diferencia que se produce entre el set-point y la variable de control, a la cual se la denomina como “error”, por lo tanto el valor de la variable de control se utilizará para acortar el error.

Resolviendo la ecuación diferencial se tiene:

Si t -> ∞ el error tiende a ser cero.

Por lo tanto se analizará la función de la variable de control para analizar la estabilidad asintótica del sistema, seleccionando en primera instancia la función candidata FL, la cual debe ser definida de forma positiva.

Al considerar una función cuadrática, está siempre será positiva, cumpliendo el primer criterio de estabilidad.

Derivando la ecuación 27 se tiene:

El segundo criterio de estabilidad asintótica de Lyapunov indica que la derivada de la función candidata tiene que ser definida negativa para garantizar que la función tiende a cero.

Realizando un cambio de variable y factorizando se tendrá:

Analizando w está afectada por la variable de control, que en nuestro caso es el nivel, tomando en cuenta la ecuación 23 definido para el modelo del tanque de agua se tendrá:

Integrando:

Donde: representa a la altura final del tanque de agua y la variable del error que se debe considerar en el diseño del controlador difuso tipo-2 T2FC, para el análisis de estabilidad de Lyapunov.

El diseño del controlador difuso tipo-2 T2FC considerando la estabilidad de Lyapunov, se lo encuentra en la figura 17, donde se puede apreciar la implementación del criterio de estabilidad asintótica de Lyapunov.

El diagrama en bloques completo del sistema de control, más la implementación del criterio de estabilidad de Lyapunov se lo puede apreciar en la figura 18.

La respuesta temporal de todo el sistema de control diseñado, para un set point de 4[m] con los que se hizo la prueba todos los controladores, se puede apreciar en la figura 19, demostrando su correcto funcionamiento de acuerdo al diseño y el análisis de estabilidad de Lyapunov.

4.  validación de resultados

Para el análisis de comportamiento, se tomaran en cuenta los distintos niveles a los cuales se quiere acceder mediante la variación del set-point en el nivel del tanque de agua y se mostrarán los valores obtenidos de su respuesta temporal de manera colectiva, tanto del controlador difuso tipo-2 T2FC comparando con un controlador difuso tipo-1 T1FC, dentro del régimen transitorio cuando la señal de entrada es una función escalón. El diagrama de bloques completo se muestra en la figura 20.

La respuesta a 1[m]:

La respuesta a 2[m]:

Los resultados de la respuesta al escalón de 2[m] de los dos controladores T1FC y T2FC, analizando el régimen transitorio, se presenta en la tabla 7.

La respuesta a 4[m]:

Los resultados de la respuesta al escalón de 4[m] de los dos controladores T1FC y T2FC analizando el régimen transitorio, se presenta en la tabla 8.

Los resultados de la respuesta al escalón de 5[m] de los dos controladores T1FC y T2FC, analizando el régimen transitorio, se presenta en la tabla 9.

5.  Conclusiones

Las conclusiones a las cuales se pudo llegar al término de la presente investigación son:

•   Sepudopresentarlosprincipalesconceptos de manera resumida relacionados con el diseño de controladores difusos tipo-2 T2FC, utilizando el software de modelado matemático MatLab v15b con la librería Fuzzy Logic Type2 (Interval Type-2 Fuzzy Logic System Toolbox).

•   Con las bases teóricas, se logró diseñar y validar el funcionamiento del controlador difuso tipo-2 T2FC dentro de una maqueta virtual proporcionada por el software Control Station V3.7(R) mediante Bustillos Durán, Vidher Wilfredo el análisis de su respuesta transitoria de los controladores T1FC y T2FC.

•   Se pudo realizar una evaluación comparativa entre controladores difusos T1FC Y T2FC, para el control de nivel de tanques de agua con tiempo muerto para mejorar el P.E.A. al momento del desarrollo de este tipo de controladores.

•   Dentro el análisis de estabilidad se pudo demostrar que el controlador difuso T2FC es más estable en comparación al T1FC, porque no se advierte cambios significativos al momento de variar el set-point.

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