Formando docentes de matemática para la enseñanza del álgebra lineal

Mariagabriela Gracia

mg_alzuarde@yahoo.es

RESUMEN

Palabras clave: resolución de problemas, enseñanza del álgebra lineal, formación docente en matemática, enseñanza de la matemática.

ABSTRACT

The present study's purpose is to design and apply a proposal, based on real problems solving, for the teaching of matrixes and lineal equations systems to the in training math teachers so, in order to do it, we have used the action-research method. Whit this intention, we have designed learning situations which were applied later in the Introduction to Lineal Algebra course on a group of math students of the José Manuel Siso Martínez Pedagogical Institute of Miranda. In order to collect the data obtained during the implementation process of this pedagogic project, we have applied the mid- structured depth interview technique; by the other side, the students wrote class diaries. All the data collected with these instruments was analyzed using an applet called Atlas-Ti, beginning from categorization (Martínez, 2007) and triangulation (Ferrer y Jiménez, 2006) processes. Within the conclusions of this study, we can highlight: 1) One of the main difficulties in the formulation of problems that become from a real context is the real data organization and the complexity that the reality presents to the students. 2) The students think that the lineal programming problems allow the work over diverse math themes, giving them an over the reality meaning. 3) This type of strategies for real context problems formulation and solving must and can be carried to the classroom for its use in high school, both the math skills that allow getting and the motivation it raises in the students.

Keywords: problems solving, lineal algebra teaching, teacher's math training, math teaching.

1. Formando docentes de matemática para la enseñanza del álgebra lineal

La matemática en la educación primaria, en el bachillerato e inclusive en la universidad, tiene características similares: se desarrolla de forma muy marcada dentro del paradigma del ejercicio (Skovsmose, 1999: 65), pues se aplica muy pocas veces la resolución de problemas; falta una conexión entre los contenidos matemáticos desarrollados y los contextos reales y cercanos al estudiante, entre otras cosas.

Los estudiantes de los distintos niveles del sistema educativo, consideran que la matemática es un cuerpo acabado de conocimientos y algoritmos ininteligibles cuyo campo de acción no supera el salón de clases, que sólo es utilizado por el profesor para otorgar una calificación y por los alumnos para obtener un título (Skemp, 1993; Gasquet, 1997). De esta situación no escapan los estudiantes de educación en la especialidad de matemática quienes, en muchas ocasiones, consideran que lo que aprenden sobre matemática en la universidad nada tiene que ver con lo que necesitarán para desempeñar su rol de profesores de matemática.

La educación matemática crítica, por su parte, promueve y argumenta el poder formativo de las matemáticas en términos de las competencias democráticas y la alfabetización matemática, dándole así un carácter político a su aprendizaje pues está basada en considerar el papel de las matemáticas en la sociedad y su poder formativo, es decir que los principios que guían la educación matemática no provienen más de ella misma, sino de su contexto social (Skovsmose, 1999: 130).

Esta concepción de la educación matemática, en los distintos niveles del sistema educativo del mundo, puede ponerse en práctica a través de diversas metodologías de trabajo, una de las cuales es el trabajo por proyectos. Esta metodología requiere que la educación matemática esté orientada hacia los intereses de los estudiantes, vinculando sus diferentes disciplinas con el mundo social y natural a través de la experimentación directa, para la transformación de la realidad con base en una explicación de los elementos que intervienen en el proyecto. En este sentido, podemos decir que el trabajo por proyectos requiere de un nivel de comunicación profundo entre las disciplinas, un trabajo interdisciplinar que sólo es posible mediante la implicación activa de los participantes (profesores, estudiantes, comunidad escolar y extraescolar) en todas las actividades que implica el proyecto.

Sin embargo, la formación que recibe la mayoría de los docentes en las universidades latinoamericanas tiene un gran contenido disciplinar, que no permite siquiera reconocer la relación existente entre matemática y realidad. Entonces, mucho menos permitirá reconocer la importancia de la forma de trabajo interdisciplinar conducente dar solución a un problema social o explicación a un fenómeno natural o social. Los estudiantes de educación matemática no han recibido formación en las competencias necesarias para el trabajo por proyectos, ni en las técnicas que permiten la matematización de las situaciones reales, tales como la modelación matemática.

Podemos citar como ejemplo el caso venezolano de la universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEL), donde la autora de esta investigación se formó como docente de matemática y ahora se desempeña como tal aplicando el mismo currículo. En Venezuela, la UPEL es una de las universidades más importantes en lo que se refiere a formación de docentes de matemática, pues cuenta con ocho institutos pedagógicos ubicados en distintos puntos del territorio nacional¹. En esta universidad, tal como lo explicamos en otra obra (Gracia, 2009), el plan de estudios para los estudiantes de matemática tiene 4 componentes, a saber: 1) formación general; 2) formación pedagógica; 3) formación especializada; y 4) práctica profesional.

El componente de formación especializada, está compuesto a su vez por todos los cursos que corresponden a la formación en matemática que recibirán los futuros docentes durante su carrera; mientras que, por otra parte, el componente de formación pedagógica se encarga de formarlos en las áreas teórico-educativas y metodológicas. Pero son los cursos de formación especializada los que verdaderamente influyen en las concepciones de estos estudiantes acerca de cómo se enseña y cómo se aprende matemática. Este tipo de estructura curricular para la formación inicial de los docentes de matemática hace que la enseñanza científica quede restringida al estudio de la materia específica, mientras que la formación pedagógica se circunscribe a los límites de lo teórico e instrumental (Davini, 2001).

Es necesario que, en los cursos de formación especializada, se presenten situaciones de aprendizaje en las que los estudiantes vivan diversas formas de abordar el conocimiento matemático a partir de contextos reales y, lleguen a la resolución y formulación de problemas contextualmente reales e interesantes para ellos. Consideramos, tal como señala Mora, que esta tendencia a trabajar con el planteamiento y resolución de problemas reales y problemas de aplicaciones "no será entendida como contenidos de aprendizajes extras, sino que ellos se han de conectar con el tratamiento cotidiano de los planes de aprendizaje y enseñanza ya existentes" (2001: 4). Esto permitirá al docente en formación ampliar su concepción acerca de la relación entre la matemática y otras áreas del quehacer humano, identificar situaciones sociales y naturales susceptibles de ser interpretadas y transformadas a partir de la matemática, e incorporar a su práctica educativa las experiencias de aprendizaje matemático adquiridas durante su formación inicial como docente.

Uno de los cursos del componente de formación especializada, en la UPEL, es Introducción al Álgebra Lineal (IAL-0813), que se imparte en el cuarto período académico de la carrera, de acuerdo con la matriz de ubicación y secuencia del plan de estudios de la especialidad de matemática. Los contenidos contemplados en este curso tienen una estrecha relación con los que corresponden al 5^o año del bachillerato venezolano; por esta razón, este curso se perfila como un escenario ideal para proponer e implementar las situaciones de aprendizaje centradas en la resolución de problemas realistas y reales en matemática.

En este trabajo, procuramos hacer aportes concretos a la implementación de las ideas sobre resolución de problemas y matemática y realidad; para ello, pretendemos elaborar una propuesta para el trabajo con contenidos propios de este curso: matrices, operaciones elementales por filas, método de reducción por filas de Gauss-Jordán y resolución de sistemas de ecuaciones, a través de la resolución y formulación de problemas de programación lineal en contextos realistas y reales.

Tradiciones en la formación docente

Las tradiciones en la formación docente es un término acuñado por Davini, investigadora de la universidad de Buenos Aires con una larga trayectoria de trabajo y estudios en este campo. Esta autora las define como "configuraciones de pensamiento y de acción que, construidas históricamente, se mantienen a lo largo de tiempo, en cuanto están institucionalizadas, incorporadas a las prácticas y a la conciencia de los sujetos" (2001: 20).

La autora señala tres tradiciones hegemónicas en la formación docente: la normalizadora-disciplinadora (el buen maestro), la académica (el docente enseñante) y, por último, la eficientista (el docente técnico). A continuación presentamos un cuadro en el que resumimos el origen, la visión de la educación, la visión del docente y la visión de la formación docente de cada una de estas "tradiciones".

Davini también hace referencia a lo que denomina tendencias no consolidadas en tradiciones, que define como "proyectos ideológicos pedagógicos de los docentes, como formas de resistencia a los proyectos de dominación de las tradiciones hegemónicas" (2001: 42), apoyadas en las propuestas más liberadoras construidas a partir del pensamiento pedagógico contemporáneo para la práctica pedagógica en la escuela, la enseñanza y la formación de los docentes. Entre estas tendencias no consolidadas menciona las propuestas hechas desde la "Pedagogía de la Educación para la Democracia de Dewey y Kilpatrick, pasando por los diversos desarrollos de la Escuela Activa, del constructivismo piagetiano y pospiagetiano, de la crítica antiautoritaria de Neil y de las líneas de Pedagogía Humanista, hasta los aportes de la Pedagogía Institucional" (Ibíd.).

Estas propuestas, aunque muy importantes y enriquecedoras, no han logrado producir programas concretos de formación inicial de docentes con perfiles curriculares propios y han sido implementadas dentro de prácticas y mensajes contradictorios. Por ejemplo, se enseñan a través del método expositivo los principios de la Escuela Activa, se promueve el constructivismo piagetiano junto con técnicas de planificación basadas en el conductismo. Según Davini, "para formar docentes compenetrados con estos enfoques, ellos mismos deberían pasar por la experiencia de aprendizaje institucional semejante" (2001: 43).

Modelos docentes y modelos epistemológicos del conocimiento matemático

En este apartado nos referiremos a un artículo escrito por Gazcón (2001), en el que estudia la correspondencia entre los modelos epistemológicos generales que han existido a lo largo de la historia de las matemáticas y algunos modelos docentes más o menos estructurados que, en cierta forma, cohabitan entremezclados en las diferentes instituciones educativas, incluyendo las instituciones de formación docente. El autor describe dos grupos de teorías epistemológicas generales: las euclídeas y las cuasi-empíricas², y añade un tercer grupo de teorías epistemológicas, las constructivistas.

Consideramos que este último modelo docente, el constructivismo matemático, es el más idóneo para el trabajo en la enseñanza de matemática basada en contextos reales. Según Gazcón, en este modelo la resolución de problemas "pasa siempre por la construcción explícita de un modelo del sistema subyacente y tiene como objetivo la producción de conocimientos relativos a ese sistema" (2001: 150). Es por ello que esta relación, entre el sistema y su modelo, tiene gran importancia al generar conocimiento matemático referente al sistema modelizado.

La limitación más importante de este modelo docente es que se deja de lado el papel de la técnica, y su dominio por parte del estudiante, en la construcción del conocimiento matemático y en la actividad matemática en sí misma. Estaremos atentos a la limitación señalada por este autor sobre el descuido de la técnica, del conocimiento y de la actividad matemática, para ello pretendemos formalizar los conocimientos matemáticos que deriven de los problemas planteados.

Resolución de problemas

Con el ánimo de avanzar hacia una definición de problema adaptada a nuestra investigación, presentamos a continuación una lista de definiciones tomada de Juidías y Rodríguez (2007):

• "Una cuestión que causa perplejidad o que presenta dificultad" (Webster, 1979, citado en Schoenfeld, 1992).

• "Una situación que exige la aplicación de un plan de acción con objeto de transformarla" (McDermott, 1978, citado en Puente, 1994).

• "Una tarea que plantea al individuo la necesidad de resolverla y ante la cual no tiene un procedimiento fácilmente accesible para hallar la solución" (Lester, 1983, citado en Pérez, 1987).

• "Para Schoenfeld (1989), una actividad de aprendizaje es un verdadero problema si el alumno se interesa en ella y no tiene medios matemáticos de fácil acceso para alcanzar la solución".

Matemática realista

A finales de la década de los sesenta se empezó a implementar la denominada Matemática Moderna, vista como la solución a los problemas económicos surgidos inmediatamente después de la segunda guerra mundial (Mora, 2001). Entre los cambios fundamentales que llevó a cabo esta reforma de la enseñanza de la matemática, encontramos el dominio en los programas de la teoría de conjuntos³ en el currículo, "llegándose hasta el punto de decir que en el futuro toda la enseñanza elemental de la matemática debería estar fundamentada en ella" (: 10). Por ello, muchos de los contenidos matemáticos en la escuela debieron ser traducidos al sistema de expresión propio de la teoría de conjuntos, y las aplicaciones basadas en la realidad no fueron tomadas en cuenta durante el desarrollo de esta matemática.

Vredenduin (1972, citado en Torres, 2002: 11) opinaba: "la matemática moderna es un edificio maravilloso, pero no creo que haya un solo estudiante que comparta esta visión". Este rechazo generó, a nivel internacional, un movimiento que exigía desarrollar una educación matemática importante y de utilidad para los estudiantes. La persona que tuvo una actuación decisiva en este movimiento de rechazo a la matemática moderna fue el holandés Hans Freudenthal, al convocar un encuentro en Utrech en el que exigía una educación matemática distinta, basada en su relación con la realidad y que partiera de aplicaciones pues, según él, la enseñanza de la matemática tiene justificación si ella es útil y divertida.

En el siguiente cuadro resumimos los objetivos fundamentales de la educación matemática realista.

De acuerdo con Torres, en 1962 fue publicado un memorando en Mathematics Teacher y American Mathematics Monthly, en el que se afirmaba que las matemáticas alejadas de las otras ciencias dejan de producir interés y motivación. Además, se plantea en este memorando que "se debe motivar y aplicar un nuevo concepto si uno desea convencer a un joven inteligente de que el concepto vale la pena" (2002: 12). Por lo tanto, para introducir conceptos y términos matemáticos se debe trabajar, en primer lugar, en lo concreto, para continuar con aplicaciones genuinamente interesantes, desechando la tendencia a emplear material inconcreto.

Según este autor, la declaración publicada sentó los principios básicos para la elaboración de un currículo basado en la matemática realista. Estos son:

1. La matemática debe ayudar a constituir el acervo cultural de todos los estudiantes, además de proporcionar una formación profesional a posteriores usuarios.

]]> 2. Se debe evitar las discrepancias entre saber matemática y utilizar matemática.

3. "La matematización conceptual está acentuada extrayendo  el concepto apropiado de la situación concreta" (Torres, 2002: 12).

4. Las matemáticas no deben estar aisladas de las otras ciencias.

Nos referimos a la matematización en el sentido que le da Alsina a este término, al considerarla como un proceso mediante el cual se trabaja la realidad mediante ideas y conceptos matemáticos. Este trabajo se realiza en dos direcciones: a partir de un contexto real, diseñar "esquemas, formular y visualizar los problemas, descubrir relaciones y regularidades, hallar semejanzas con otros problemas..., y trabajando entonces matemáticamente, hallar soluciones y propuestas que necesariamente deben volverse a proyectar en la realidad para analizar su validez y significado" (2007: 91).

De acuerdo con Mora (2005), es necesario reforzar las conexiones internas de la matemática, además de fortalecer la incorporación de contextos extramatemáticos como basamento de los procesos de aprendizaje y enseñanza de la matemática, a través de aplicación de técnicas como la modelación matemática. Además, este autor considera como uno de los aspectos que, generalmente, se descuidan durante el desarrollo de la educación matemática realista, el proceso de formalización de los contextos, que constituye una condición necesaria para la consolidación de conocimientos matemáticos, y la fundamentación de nuevos conocimientos. Es por ello que los docentes deben trabajar explícitamente los conceptos y procedimientos matemáticos específicos y generales que subyacen en las actividades prácticas.

3. Los problemas de programación lineal

En primer lugar, escogimos el trabajo con problemas de programación lineal, también conocidos como problemas de optimización lineal, pues reconocimos en ellos varias características, como ser:

1. Son problemas que permiten el trabajo con diversos contextos realistas y reales de interés para los estudiantes.

]]> 2. Para la resolución de los problemas de optimización lineal se requiere la aplicación de varias técnicas, procedimientos y conceptos matemáticos que atraviesan casi todos los años del bachillerato y que además son propios del curso Introducción al Algebra Lineal, como por ejemplo las operaciones elementales por filas en las matrices, el método de reducción por filas de Gauss-Jordán y la resolución de sistemas de ecuaciones. Otros conocimientos matemáticos necesarios son:

• Representación de puntos en el plano

• Ecuación general de la recta

• Solución de inecuaciones en el plano

• Intersección de regiones en el plano

• Funciones lineales

• Funciones de dos variables

Las situaciones reales que pueden ser modeladas a través de la optimización lineal son bastante frecuentes en la realidad directa del estudiante. Además, los métodos escogidos para la resolución de estos problemas de programación lineal son el método gráfico y una variante sencilla del método simplex.

4.1. Etapa I: Resolución de problemas de programación lineal con contextos realistas

Durante esta etapa, pretendíamos que los estudiantes:

1. Resuelvan problemas realistas de programación lineal en los cuales reconozcan el uso de diversos conceptos, técnicas y procedimientos matemáticos, entre ellos matrices, operaciones elementales por filas, método de reducción por filas de Gauss-Jordán y resolución de sistemas de ecuaciones, además de los descritos anteriormente.

2. Aprendan a resolver problemas de programación lineal aplicando el método gráfico y el método simplex.

3. Comprendan la definición de matriz.

4. Realicen operaciones elementales por filas en una matriz, con el fin de reducirla por filas, aplicando el método de Gauss-Jordán.

5. Reconozcan las interconexiones existentes entre diversas ramas de la matemática como la geometría, el cálculo y el álgebra.

6. Reconozcan la estructura de los problemas de programación lineal y los elementos que lo componen.

a) Una compañía de reciclado usa papel y tela desechados para elaborar dos tipos diferentes de papel reciclado. Una tanda de papel reciclado de grado A se fabrica con 40 Kg. de tela y 180 Kg. de papel, mientras que una tanda de papel reciclado de tipo B se hace con 10 Kg. de tela y 150 Kg. de papel. La compañía dispone de 100 libras de tela y 660 de papel. Una tanda de papel de tipo A produce un beneficio de 500 Bs., mientras que una de tipo B arroja un beneficio de 250 Bs. ¿Qué cantidad deberá hacerse de cada tipo para conseguir el máximo rédito?

b) Una panificadora produce pan y tortas. Elaborar una torta requiere 1 hora de horno (h/h) y 2 horas de preparación/decoración (h/p/d). En un día determinado se dispone 12 h/h y 16 h/p/d. Puesto que la panificadora obtiene un beneficio de 0,50 Bs. por cada pan y 2,50 Bs. por cada torta, ¿debería producir únicamente tortas?, ¿cuál debería ser su política de producción?

c) Un embotellador utiliza tres clases de zumo puro -piña, naranja y parchita- para hacer dos jugos mezclados, piña-naranja y piña-parchita, que se venden en cartones de 1/4 litro. El beneficio es de 0,50 Bs. por cada cartón de piña-naranja y 0,40 Bs. por cada uno de piña-parchita. Cada mezcla se obtiene mezclando cantidades iguales de cada uno de los zumos que la componen. La cantidad de zumo disponible es de 100/4l. de zumo de piña, 70/4 l. de zumo de parchita y 70/4 l. de zumo de naranja. ¿Qué cantidad de cada mezcla de zumos deberá hacerse para obtener el máximo beneficio?

d) La compañía Animales Salvajes cría guacharacas y turpiales para repoblar el bosque y dispone de infraestructura para criar hasta 100 pájaros. Cuesta 20 Bs. criar una guacharaca y 30 un turpial. La fundación Vida Animal paga a Animales Salvajes por los pájaros, dejándole un beneficio de 14 Bs. por guacharaca y 16 Bs. por turpial. La compañía Animales Salvajes dispone de Bs. 2.400 para cubrir los costos. ¿Qué cantidad deberá criarse de cada pájaro?

Durante esta etapa, las sesiones de clase tuvieron las siguientes fases:

1. Inicio de la clase: Los estudiantes se agruparon en grupos pequeños, de no más de tres personas cada uno, para la resolución de los problemas propuestos. A cada grupo se le presentó un problema distinto para su resolución.

2. Desarrollo de la clase: En esta fase, cada estudiante aportó sus ideas, en los pequeños grupos, para la resolución de los problemas. En caso de considerarlo necesario, podían presentar el problema que les había correspondido al grupo completo para que los demás equipos aporten ideas acerca de su resolución. Durante esta fase los estudiantes debían emplear de los recursos conceptuales y procedimentales que se requieren para resolver problemas de matemática; sin embargo, los contenidos de matrices, operaciones elementales por filas, método de reducción por filas de Gauss-Jordán y resolución de sistemas de ecuaciones no fueron abordados antes del trabajo con los problemas de programación lineal. Estos fueron tocados a medida que se los necesitó para la resolución de problemas y, a partir de esta actividad, se los formalizó.

]]> 3. Cierre de la clase: El cierre de la clase consistía, principalmente, en las reflexiones grupales acerca de lo que se había aprendido sobre la resolución de problemas en general, sobre la importancia y utilidad de la programación lineal y sobre los contenidos propios del álgebra, desarrollados a partir de la resolución de los problemas.

4.2. Etapa II: Formulación de un problema de programación lineal a partir de un contexto real

En este momento del trabajo, los estudiantes debieron:

1. Identificar una situación problemática de su interés para plantearla como un problema real de programación lineal.

2. Resolver el problema planteado aplicando los métodos estudiados en la etapa anterior, gráfico y simplex.

 

5. Tipo de investigación

Tal como señala Becerra, "a la investigación la concebimos aunada a la práctica educativa, agregándole a ésta un valioso instrumento de reflexión y acción que le permitirá al docente-investigador mejorar su intervención educativa" (2006: 98). Es por ello que, para la realización de este trabajo, aplicamos la investigación-acción, pues nuestra investigación estuvo centrada en un curso de Introducción al Álgebra Lineal, administrado por la autora de este trabajo, en el cual se pretendía implementar la resolución de problemas e interrelacionar las nociones de matemática y realidad. Esto concuerda con el planteamiento de Carr y Kemmis, cuando afirman que "los 'objetos' de la investigación-acción (las cosas que los investigadores investigan y se proponen mejorar) son sus propias prácticas educativas y su entendimiento de dichas prácticas, así como de las situaciones que se practican" (1988: 191).

Es por ello que escogimos el trabajo con la investigación-acción participativa, porque queremos, tal como lo describe Bigott (1992, citado en Becerra, 2006: 102), producir cambios significativos en nuestras prácticas docentes, y consideramos que con este tipo de investigación se asume, de acuerdo con Pérez Serrano, "un compromiso moral, ético, con la práctica de la educación, no una simple manera de hacer las cosas de otra manera" (1998, citado en Becerra, Ibíd.).

6. Recolección y análisis de la información

Los estudiantes llevaron diarios de clase en los cuales reportaban, en orden cronológico, sus reflexiones, anécdotas, dudas, inquietudes, comentarios, interpretaciones, etc. surgidos durante la investigación. Además de estos diarios, se analizó una evaluación escrita presentada por los estudiantes durante la implementación de las situaciones de aprendizaje diseñadas.

Por otra parte, se realizó entrevistas en profundidad, definidas por Taylor y Bogdan como "encuentros cara a cara entre el investigador y los informantes, encuentros estos dirigidos hacia la comprensión de las perspectivas que tienen los informantes respecto de sus vidas, experiencias o situaciones, tal como las expresan con sus propias palabras" (1994: 101). En nuestra investigación, estas entrevistas fueron realizados antes y después de la aplicación de las situaciones de aprendizaje diseñadas.

Esta información fue categorizada tal como lo propone Martínez: "categorizar es clasificar, conceptualizar o codificar mediante un término o expresión breve que sean claros e inequívocos (categoría descriptiva), el contenido o idea central de cada unidad temática" (2007: 141). Según él, estas unidades temáticas están constituidas por uno o varios párrafos o escenas audiovisuales, lo que en nuestro caso se correspondería con los documentos descritos anteriormente y con las entrevistas realizadas.

Luego, se realizó la triangulación de la información recolectada que, de acuerdo con Ferrer y Jiménez, "tiene un carácter convergente y dialéctico en la legitimación de la información que emerge de la investigación; también se constituye en un proceso de relacionalidad de diferentes puntos de vista sobre el fenómeno estudiado" (2006: 46).

Para el procesamiento de la información recolectada utilizamos una versión demo, descargada gratuitamente de Internet, del programa denominado Atlas-Ti, el cual permitió almacenar los datos originales en los denominados primary documents (documentos primarios), incluidos en las hermeneutic units (unidades hermenéuticas), lo que nos aseguraba un acceso rápido y fácil a estos datos y nos permitía la creación de las networks o redes que se tejían a partir de las relaciones que se establecían entre las categorías. De acuerdo con Becerra, "esta aplicación resulta de especial importancia debido a que tanto los datos originales, como las relaciones que establezcamos entre ellos, soportados en estas argumentaciones constituyen el conocimiento generado a través de esta investigación" (2006: 123).

7. Algunos resultados

Esta categoría pone de manifiesto cómo la concepción del álgebra lineal que tenían los estudiantes, basada en experiencias previas, fue cambiando de una visión de tipo estructuralista y abstracta a una visión más cercana al realismo científico. Aquí podemos observar cómo las situaciones de aprendizaje basadas en la resolución de problemas realistas y en la formulación de un problema real influyó claramente en su concepción del álgebra, dándoles herramientas para aplicarla en situaciones problemáticas reales que pueden plantear a sus futuros estudiantes durante su práctica profesional como docentes.

7.2. Categoría recursos conceptuales. Sub-categoría contenidos anteriores

Según Iglesias, Paredes y Ortiz (2007: 91), entre los elementos que generan debilidades en la apropiación de conceptos algebraicos tenemos el "uso del formalismo, el agobio ante las nuevas definiciones y la pérdida de conexión con lo que los alumnos ya saben de matemáticas", así como la escaza vinculación de los contenidos trabajados durante su formación inicial como docentes con "el nivel de Educación Básica, Media y Diversificada, que es donde se desenvolverán los futuros docentes" (Ibíd.). Por ello, el estudio de la programación lineal en contextos reales es tan importante para trabajar en la resolución de sistemas de ecuaciones y matrices con los docentes en formación, pues estos pueden combinar otros contenidos de matemática relacionados con el nivel en el que trabajarán.

7.3. Familia formulación del problema. Categoría dificultades

Sub-categoría buscar los datos

Este método de plantear problemas es nuevo para los estudiantes y mucho más en este caso, pues deben buscar los datos en situaciones reales que les sean familiares y/o de interés. Es por ello que, siguiendo a Sepúlveda y Santos, "se requiere la participación del profesor en momentos precisos que contribuyan a destrabar posibles controversias, de manera que se avance en el aprendizaje" (2006: 1419). Por ello, las intervenciones del docente deben guiar a los estudiantes en el reconocimiento de datos relevantes, tanto desde el punto de vista de la situación problemática como desde el matemático, además del reconocimiento de verdaderos problemas en los que se requiera el uso de una herramienta matemática, que en este caso era la programación lineal.

Pozo y Postigo consideran que, al plantear problemas, "se activan procedimientos que ponen en juego capacidades relacionadas con la adquisición e interpretación de la información, ... por un lado se incorpora la información nueva a la que ya se posee y por otro lado se posibilita la decodificación" (1994: 306). Esta decodificación a la que hacen referencia los autores, está relacionada en nuestro caso más bien al planteamiento de los datos, de manera tal que cualquier persona que no esté familiarizada con la situación problemática como nuestros estudiantes, pueda comprenderla y darle solución a partir de la utilización de los métodos para trabajar con problemas de programación lineal. La autora de este trabajo participó como mediadora en varios momentos, con la idea de guiar y orientar esta redacción de los problemas.

7.5. Categoría visión de su práctica

Sub-categoría actitudes de los estudiantes

Consideramos, al igual que Calvo, que es necesario cambiar las prácticas docentes para lograr la erradicación de la concepción de la matemática como una materia aburrida y difícil, pues generalmente las clases de matemática carecen de significado para los estudiantes, al ser desarrolladas en contextos alejados de sus vivencias y "como consecuencia de ello, se les dificulta reconocer la importancia de la matemática y los lleva a preguntarse ¿para qué sirve esta materia?" (2008: 125).

Este cambio en la enseñanza de la matemática no es algo fácil. Pues, de acuerdo con Gil, Pessoa, Fortuny y Azcárate, el peso de la enseñanza tradicional "por su carácter reiterado y por su naturaleza de ejemplo vivo, real, mucho más eficaz que cualquier explicación" (2001: 26), hace que, a falta de nuevas formas de trabajar la matemática en la escuela, "los estudiantes hagan uso de esa forma, incluso si, en su etapa de alumnos, rechazaban ese tipo de docencia" (Ibíd.). Por ello, resulta imperante que una formación docente que pretenda transformar esta realidad escolar no sólo ponga en evidencia las insuficiencias de la enseñanza recibida, sino que ofrezca alternativas realmente viables; lo que "obliga a que las propuestas de renovación sean vividas, vistas en acto" por los futuros docentes (ver gráfico 5).

Sub-categoría Matemática y realidad

Sub-categoría motivación

Skovsmose afirma que las habilidades de los estudiantes "aumentan bastante" cuando intentan hacer algo que realmente quieren hacer. Además, agrega que existe una diferencia abismal entre hacer y querer hacer, pues "una gran energía epistémica se libera cuando el niño decide la orientación" (1999: 79), dándole un sitio preferencial a la motivación del estudiante a partir del trabajo orientado hacia sus intereses (ver gráfico 7).

8. Algunas conclusiones

8.1. Sobre la concepción del álgebra lineal de los estudiantes

El álgebra lineal como expresiones matemáticas:

Considerándolas, por una parte, como expresiones que no toman valores pero siguen un patrón; y por otro, como expresiones matemáticas que permiten la representación en lenguaje matemático de situaciones o problemas reales, permitiendo hallar una solución. Esta visión coincide con la concepción del álgebra como el lenguaje de la matemática, pues inclusive se habla de traducir una situación al lenguaje matemático. Reconocemos la importancia que tiene el álgebra lineal como lenguaje, pero consideramos que, como futuros docentes de matemática, nuestros estudiantes deben tener una visión mucho más amplia de esta rama de las matemáticas.

El álgebra como formalizadora de la matemática:

En este sentido, ven al álgebra como la rama de las matemáticas que permite demostrar teoremas, propiedades, etc., pues es durante los cursos de álgebra cuando comprueban que, en efecto, las propiedades se cumplen para todos los elementos y se hace las demostraciones de los teoremas, lo que les permite conectar el álgebra con otras ramas de la matemática y comprender otros problemas matemáticos. Esta visión del álgebra lineal tiene relación con la concepción estructuralista de las matemáticas, bajo la cual los contenidos estudiados son presentados siguiendo secuencias lógicas que conllevan a una gran consistencia interna, garantizando el equilibrio del álgebra; por ello, estos contenidos se presentan de manera formal, ordenada y sistemáticamente.

El álgebra lineal aplicable a la realidad:

Esta concepción del álgebra lineal está relacionada con sus aplicaciones en contextos extra-matemáticos, con el poder del álgebra en la comprensión y solución de situaciones problemáticas reales. Esta visión se fue fortaleciendo a lo largo del desarrollo de las situaciones de aprendizaje implementadas con los estudiantes; al principio, esperaban que el curso estuviera marcado por la tendencia estructuralista, e incluso admitían que el álgebra lineal tenía aplicaciones que ellos desconocían. Esto ocurre, generalmente, cuando sólo repetimos la frase vacía que reza "la matemática está en todas partes" pero muchos profesores de matemática desconocemos las verdaderas aplicaciones de la matemática en contextos reales y, por ende, no podemos emplearlos en nuestra práctica educativa. Por ello, consideramos de suma importancia que el trabajo con matemáticas a partir de contextos reales sea implementado no sólo en el álgebra, sino en todos los cursos del componente de formación especializada, con miras al establecimiento de relaciones matemática-realidad.

8.2. Sobre las dificultades en la formulación de problemas reales de programación lineal

En un principio, los estudiantes no tenían muy claro lo que se les pedía, pues era la primera vez que se enfrentaban a la tarea de formular un problema a partir de un contexto real. Inclusive, llegaron a plantear situaciones que no representaban problemas posibles de resolver con matemática mucho más elemental que el modelo de programación lineal. En este sentido, las orientaciones del docente, durante este proceso de formulación de problemas a partir de datos reales, deben guiar al estudiante hacia el reconocimiento de verdaderos problemas que requieran para su resolución el uso de la herramienta matemática.

En este proceso de reconocimiento de los datos relevantes para el problema de programación lineal, los estudiantes encontraron dificultades en la identificación y planteamiento de las restricciones a las que estaba sujeta la función que querían optimizar, obtenida de los datos reales que manejaban. En este sentido, consideramos necesario que los estudiantes hagan un análisis profundo de los datos, guiados por el docente, para que puedan identificar los elementos de la situación real necesarios para crear el modelo matemático de programación lineal.

Notas

1 Instituto Pedagógico de Miranda, Instituto Pedagógico de Caracas, Instituto de Mejoramiento Profesional del Magisterio, Instituto Pedagógico de Barquisimeto, Instituto Pedagógico de Maracay, Instituto Pedagógico del Mácaro, Instituto Pedagógico Gervasio Rubio e Instituto Pedagógico de Maturín.

2 Caracterización tomada de Lakatos, I. (1978), Mathematics, science and epistemology: philosophicalpapers. Volumen II.

3 Llamada en nuestro país "la conjuntivitis", a manera de chanza.

4 Tomados del libro "Las Matemáticas en la vida cotidiana del COMAP".

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