Construcción y análisis de los coeficientes de sendero

Construction and analysis of the path coefficients

Vivian Espinoza Romano

Universidad Católica Boliviana "San Pablo" Cochabamba, Bolivia
vivian.espinoza@gmail.com

Resumen: El presente artículo contiene una explicación de los Coeficientes de Sendero, desde un punto de vista matemático-estadístico. Este método es bastante útil para determinar relaciones efecto-causa, consiste en realizar un análisis estadístico de causa y efecto en variables que se encuentran correlacionadas, su análisis tiene como meta expresar una variable dependiente ' y' en función de efectos directos e indirectos de variables independientes x_i.

Cuando se estudian las relaciones que existen entre una variable dependiente 'y' y un conjunto de variables independientes x_i, generalmente se utiliza un análisis de regresión y/o correlación, no obstante, el análisis de coeficientes de sendero, es un método que permite analizar la interdependencia entre dichas variables; empleando de este modo, la regresión y correlación, sólo de forma complementaria.

Por ejemplo, la selección indirecta de variables relacionadas con una variable de respuesta, necesita la identificación de características simples y altamente asociadas con la variable dependiente. Esta identificación se basa generalmente en el análisis de correlación; que determina un índice (coeficiente de correlación) o referencia acerca de la relación entre las variables, pero este análisis es restringido en el sentido de que sólo brinda información entre variables una a una, vale decir, que es una información entre pares de variables, entonces muchas características que aparentemente no tienen relación con la variable dependiente, se debe a que los efectos de las variables independientes no son directos; sino que se relacionan indirectamente y el análisis de coeficientes de sendero, es una técnica bastante útil para determinar dichas relaciones de efecto-causa y la magnitud de dichos coeficientes; precisamente brindan información de la relación, en función de efectos directos e indirectos.

Este método es muy conocido en el campo de la agronomía y ya fue empleado en diversos cultivos, por tanto, a manera de ejemplo se verá su aplicación brevemente sobre el cultivo del tubérculo ajipa (pachiryzus ajipa).

Entonces, se realiza primero un análisis de regresión sobre el rendimiento de vainas en cultivos de ajipa, rescatando las variables estadísticamente más significativas (a un nivel de 0,05), y posteriormente se aplica el análisis de correlación con las variables restantes ya que ayudará en la interpretación final corroborando las relaciones existentes y de este modo ratificar la interrelación mediante el análisis de sendero. Los resultados que ofrece este análisis, serán más precisos dentro de la aplicación del problema.

Palabras clave: Coeficientes de sendero, correlación, dependencia, regresión, técnicas de interdependencia.

When studying the relationships that exist between a dependent variable 'y' and a set of independent variables 'x_¡', a regression and / or correlation analysis is generally used, however, the analysis of path coefficients is a method that allows to analyze the interdependence between these variables; using in this way, the regression and correlation, only in a complementary way.

For example, the indirect selection of variables related to a response variable requires the identification of simple characteristics highly associated with the dependent variable. This identification is usually based on the correlation analysis; which determines an index (correlation coefficient) or reference about the relationship between variables, but this analysis is restricted in the sense that it only provides information between variables one by one it means that, it is information between pairs of variables, so, many characteristics that apparently have no relation with the dependent variable, is due to the fact that the effects of the independent variables are not direct; but they are related indirectly and the analysis of path coefficients, is a very useful technique to determine these effect-cause relationships and the magnitude of said coefficients; they precisely provide information on the relationship, based on direct and indirect effects.

This method is well known in the field of agronomy and it was already used in several crops, so, as an example its application will be briefly on the crops of the ajipa tuber (pachiryzus ajipa).

Then, a regression analysis is performed first on the yield of pods in ajipa crops, rescuing the most statistically significant variables (at level of 0.05), and subsequently the correlation analysis with the remaining variables is applied since it will help in the final interpretation, corroborating the existing relationships and in this way validating the interrelation through the path analysis. The results offered by this analysis will be more precise at the application of the problem.

Key words: Path coefficients, correlation, dependence, regression, techniques of interdependence.

1    Introducción

Los coeficientes de sendero son valores que describen las relaciones efecto-causa, o más propiamente se los puede traducir como magnitudes que indican cuan fuerte es la relación entre las variables. Es posible representar los coeficientes de sendero mediante una gráfica conocida con el nombre de diagrama de sendero. El análisis de coeficientes de sendero en sí, determina los efectos directos e indirectos de las variables independientes x_i sobre la variable de respuesta 'y' a través de una relación de sendero llamada causa (x) y efecto (y).

El precursor de este análisis fue Sewall Wright que conjuntamente Ching Chung Li descubrieron la manera de descomponer la correlación en componentes de efectos directos y de efectos indirectos de (x) sobre (y).[6].

Entre otros autores se tiene también a Mosqueda y Molina [7], quienes determinaron por ejemplo en la papaya (Carica papaya L.) que el peso del fruto en posición media de la planta es una variable muy característica o un buen "indicador" del peso promedio de los frutos producidos por una planta. Y utilizando el método de coeficientes de sendero de Wright S.; se determinó que el número de frutos por planta y el ancho máximo del fruto son los componentes más importantes de rendimiento entre un total de 14 componentes o variables analizadas, entonces los investigadores sugieren la selección individual mediante el número de frutos por planta, en lugar de hacer la selección directa para el rendimiento.

Todos estos resultados son importantes para el desarrollo de nuevas técnicas que incrementan la producción y el rendimiento, que vale la pena probar y poner en conocimiento su práctica, a continuación, se realiza una descripción teórica del análisis de coeficientes de sendero.

2    Objetivo

Objetivo general

• Determinar variables indicadoras de efecto directo e indirecto (variables independientes x), sobre una variable de respuesta o dependiente y.

• Definir de acuerdo al análisis de coeficientes de sendero, las variables indicadoras más relevantes de efecto directo e indirecto; sobre el rendimiento de vainas en el cultivo de ajipa.

3    Sustento Teórico

En estadística, el análisis de sendero se utiliza para describir las dependencias directas entre un conjunto de variables. Esto incluye modelos equivalentes a cualquier forma de análisis de regresión múltiple, análisis factorial, análisis de correlación canónica, análisis discriminante, así como familias más generales de modelos en el análisis multivariante de varianza y análisis de covarianza. ANOVA, MANCOVA, etc.

El análisis de senderos, puede considerarse como un caso especial de modelización de ecuaciones estructurales (SEM), en el que sólo se emplean indicadores individuales para cada una de las variables del modelo causal. Es decir, el análisis de sendero es SEM con un modelo estructural, pero ningún modelo de medición. Otros términos utilizados para referirse al análisis de sendero incluyen modelado causal, análisis de estructuras de covarianza y modelos de variables latentes.

Se podría decir que es un método cuyo fin es determinar relaciones de efecto-causa, descomponiendo la relación de una variable x, y otra y en efectos directos e indirectos.

En este entendido, los coeficientes de sendero son valores o magnitudes que expresan la relación entre la variación de las variables que son resultados, inicialmente, de un análisis de sendero; este análisis describe las relaciones efecto-causa, las cuales es posible representar en un sistema de variables en forma de diagrama conocido con el nombre de diagrama de sendero.

4    Metodología

Se partirá de un modelo de regresión múltiple, que tiene su base en los modelos de ecuaciones estructurales, (SEM) ya mencionados anteriormente.

Sea y la variable dependiente o de "efecto" y las variables independientes o de "causa" (x₁, x₂, ..., x_p), entonces y es una combinación lineal de estas variables x_i; más un término de perturbación, es decir:

Y se denota σ_y la desviación estándar total de la variable de respuesta y, y σ_X1 denota la desviación estándar de y debido a la influencia de x_1; mientras que las demás variables (x₂, x₃,..., x_p) se mantienen constantes, y se define como r_1y al coeficiente de correlación entre la variable x₁ y la variable y; análogamente para el resto de las variables independientes x_i.

Para explicar mejor la teoría de los coeficientes de sendero, se verán dos casos: el primero en el que las variables x_i son independientes entre sí y el segundo donde son dependientes entre sí.

Caso 1. Variables x_¡ independientes:

Si se asume que las variables (x₁, x₂, ..., x_p) son independientes entre ellas, entonces se tiene que la correlación entre ellas es igual a 0; (véase Figura 1:; r_ij = 0) y tampoco existe covarianza entre éstas, lo cual la ecuación (1) se puede convertir en la siguiente fórmula aplicando simplemente varianzas:

Dividiendo cada uno de los términos entre la varianza de y se tiene la siguiente relación:

Finalmente, los coeficientes de sendero vienen dados por:

• Efecto directo de x₁ sobre y con una cantidad de

• Efecto directo de x₂ sobre y con una cantidad de

• Efecto directo de x_p sobre y con una cantidad de

• Efecto directo de ε sobre y con una cantidad de

Para este caso, la relación funcional que representa el análisis de coeficientes de sendero, se puede describir esquemáticamente en la Figura 1:

Caso 2. Variables x_¡ dependientes:

Ahora se considerará la situación general y más común, donde las variables (x₁, x₂,..., x_p) no son variables independientes entre sí y por lo tanto nuevamente la variable y se puede explicar como una combinación lineal, igual que en la fórmula (1):

Se considerará primero la relación, por definición del coeficiente de correlación de Pearson, entre la variable x_1; y la variable y así:

Luego aplicando propiedades de covarianza se obtiene:

Tomando en cuenta que la Cov(X_i,ε) = 0

Pero utilizando la relación de la fórmula (3), se puede obtener un resultado simplificado y más explícito:

De donde la relación entre una variable x₁ y la variable y se puede descomponer en:

• Efectos directos de x₁, sobre y con una cantidad de

• Efecto indirecto de x₁ sobre y vía x₂ con una cantidad de r_1,2P_2,y.

• Efecto indirecto de x₁ sobre y vía x_p con una cantidad de r_1,pP_p,y.

En general, la relación encontrada en la fórmula (4) y entre cada una de las variables (x_1; x₂, ..., x_p) y la variable de respuesta y , (véase Figura 2:) se puede expresar en términos de efectos directos e indirectos como:

El criterio más importante para graficar los coeficientes de sendero, es tomar en cuenta su magnitud, ya que miden la fuerza causal de las variables; y generalmente basta con graficar los valores cuya magnitud excede al valor del residual, en el caso en que dichas magnitudes sean muy numerosas, solamente se tomarán en cuenta los primeros valores más elevados de las variables. También otros criterios se pueden basar en el objeto de estudio, por ejemplo, si bien no importa la magnitud, puede interesar más el estudio de algunas variables cuyos coeficientes de sendero no sean significativos en magnitud; como se puede ver es más cuestión de criterio que de generalizar una estructura precisa.

Las relaciones que se encontraron en la fórmula (5), se expresan en un sistema de ecuaciones matricial, cuyas soluciones son los coeficientes de sendero o efectos directos y pueden representarse de la siguiente manera:

La solución de este sistema se determina como sigue:

Donde R_x; deberá ser una matriz no singular, es decir que admita una inversa o que sea una matriz invertible y esta matriz se denota .

Y los efectos indirectos vienen a ser r_iyp_iy; y se los puede identificar del modo siguiente:

Donde D_p es una matriz diagonal, cuyos elementos son los efectos principales.

En términos generales, estos resultados se pueden transformar en teoremas, cuyas demostraciones fueron los pasos seguidos en el desarrollo y definición de los coeficientes de sendero; por tanto en esta sección se resumirá su teoría en dos teoremas principales: el primer teorema, que tiene que ver con la determinación de las variables utilizadas en el Caso 1; y el segundo teorema que hace referencia al Caso 2 en lo que es la correlación total entre los efectos de las variables y que asimismo puede aplicarse a variables independientes cualesquiera (x₁, x₂,..., x_p), en un diagrama de causas o senderos.

Teorema 2. (Ley de Correlación). La correlación entre las variables (x₁, x₂,..., x_p) y la variable y; es la suma de los productos de los coeficientes de sendero y las correlaciones respectivas, a lo largo de todos los senderos por los cuales se hallan conectados. (ver fórmula 5)

Por último, se puede generalizar el teorema de determinación, para el caso del teorema de correlación; en el que las variables están correlacionadas unas con otras, en el siguiente teorema.

Teorema 3. Sea la variable de respuesta y, determinada por las variables (x₁, x₂, ..., x_p) las cuales están correlacionadas entre ellas como sucede en el Caso 2, (ver Figura 2:); entonces se tiene la siguiente relación:

Este último resultado, tiene que ver con la determinación del efecto del término del residual, (véanse fórmulas 6 y 7), cuyo desarrollo que se explicará a continuación.

Efecto residual

Por último, para tener un análisis completo es importante conocer el efecto del residual (P_Ry); puesto que éste será un indicador para el criterio de selección de las magnitudes de los coeficientes de sendero más relevantes; y se lo encuentra retomando el modelo originalmente planteado, de la siguiente manera:

De donde el cuadrado del coeficiente de sendero del residual se expresa así:

Expresando la misma igualdad en términos de sumatoria se tiene:

Se tiene la misma ecuación, en forma matricial:

Este proceso, tiene una secuencia lógica haciendo especial hincapié en los coeficientes de regresión y coeficientes estandarizados de regresión, éstos últimos no son más que los "coeficientes de sendero".

La aplicación del método se realiza en cultivos de ajipa, una planta cuyas raíces tuberosas son comestibles y se le atribuyen ciertas propiedades digestivas y medicinales; además como recurso renovable tiene una superior importancia por su contenido de almidón, donde el total de proteína de tubérculo producido por hectárea de ajipa, sobrepasa al de la proteína de la semilla de soya. Los datos fueron tomados en Tarija, de forma aleatoria sobre cada unidad experimental (constituida por 3 surcos de 3 m., con espacio de 45 cm.), cuyo diseño experimental fue un látice rectangular simple de 5x6 con dos repeticiones, en el cual se evaluaron 27 accesiones de Ajipa y se utilizaron 34 variables cuantitativas (incluyendo las variables de respuesta: Rendimiento de raíz y vaina), de las cuales solamente se tomaron en cuenta 25 para este trabajo.

El modelo de regresión desarrollado para el rendimiento de las vainas es el siguiente:

i = 1, 2, 3,..., p = 24. Número de variables independientes empleadas en el análisis.

y: Valor observado del rendimiento de las vainas.

x_¡: Variables independientes, para el estudio de vainas. (Se detallarán abajo).

ε: Efecto del residual, ε ~ NIID (0, ).

Las 24 variables utilizadas para este análisis son las siguientes:

x₁: Días a la emergencia                             x₁₃: Longitud del pedúnculo de la flor

x₂: Porcentaje de germinación                     x₁₄: Longitud del cáliz de la flor

x₃: Días a la floración                                 x₁₅: Longitud del raquis de la inflorescencia

x₄: Días a la formación de vaina                   x₁₆: Longitud de la vaina

x₅: Susceptibilidad a enfermedad                 x₁₇: Ancho de la vaina

x₆: Altura de la planta                               x₁₈: Número de vainas por planta

x₇: Grosor del tallo a la madurez                  x₁₉: Número de semillas por vaina

x₈: Número de tallos secundarios                 x₂₀: Número de semillas por planta

x₉: Número de inflorescencias por planta       x₂₁: Longitud de la semilla

x₁₁: Número de flores por planta                x₂₃: Grosor de la semilla

x₁₂: Longitud de la flor                             x₂₄: Peso de 100 semillas

Se realizó el análisis de regresión múltiple con estas variables predictoras relativas a la "vaina" y a las partes de la planta que puedan involucrar este rendimiento, se rescatan las más significativas, a un nivel de significancia de 0.05, y se desecharon las siguientes variables por ser las que no explican muy bien a la variable dependiente o bien, ya se encuentran representadas por otra variable con la cual se hallan altamente correlacionadas:

x₈: Número de tallos secundarios                 x₁₄: Longitud del cáliz de la flor

x₉: Número de inflorescencias por planta       x₁₈: Número de vainas por planta

x₁₀: Números de flores por inflorescencia      x₂₀: Número de semillas por planta

x₁₂: Longitud de la flor

La Tabla 1, indica un ANOVA para el modelo de regresión, el cual se ajusta bastante bien a los datos con un coeficiente de determinación igual a R² = 93.2% y se interpreta como el porcentaje de la variación en el rendimiento de las vainas, explicada mediante todas las variables seleccionadas.

Ahora bien, las pruebas de hipótesis para los coeficientes del modelo de regresión se muestran en la Tabla 2:

Se observa que las variables que no son estadísticamente significativas a un nivel estadístico de 0.05 y que no intervendrán en el siguiente paso (análisis de correlación), son las siguientes:

x₃: Días a la floración                             x₇: Grosor del tallo a la madurez

x₅: Susceptibilidad a enfermedad              x₁₁: Número de flores por planta

Algunas de las correlaciones más importantes resultaron entre las variables predictoras x₁₆: Longitud de la vaina y x₁₉: Número de semillas por vaina, con un coeficiente de correlación de 0.871, así como x₄: Días a la formación de vaina y x₆: Altura de la planta; con un valor igual a 0.855. Y por último las variables que también están relacionadas son x₂₁: Longitud de la semilla y x₂₂: Ancho de la semilla, con su coeficiente de correlación igual a 0.828, estos valores ayudan a confirmar las relaciones obtenidas en la investigación.

En la Tabla 4, se presentan los efectos directos de las variables predictoras retenidas x_i, sobre el rendimiento de las vainas y, asimismo los efectos indirectos entre estas variables independientes y finalmente en la última columna se muestran las correlaciones con la variable de respuesta. También está el efecto del residual, que es un indicador primordial para el criterio de selección de las magnitudes de los coeficientes de sendero más importantes.

Los principales motivos a los cuales se debe el rendimiento de las vainas son las variables, x₄: Días a la formación de vaina, pero negativamente con un coeficiente igual a -1.800; esto significa que mientras menos días tarde la planta en formar las vainas, aproximadamente 70 días, será mejor dicho rendimiento, y está asociada a un efecto indirecto vía la variable x₆: Altura de la planta y como éste es positivo, indica que mientras más alta sea la planta en promedio superior a 40 cm., más rápido se formará la vaina e indirectamente se obtendrá mejor rendimiento de las mismas.

Luego se encuentra la variable x₆: Altura de la planta, corroborando que tiene un efecto directo también significativo positivo igual a 1.498 y su efecto indirecto análogamente es vía la variable x₄: Días a la formación de vaina, con un valor negativo de -1.539, mientras más rápido se forman las vainas, la planta de la ajipa alcanzará una altura elevada, pasando los 40 cm. promedio.

La variable x₂₁: Longitud de la semilla, es la tercera en importancia de efecto directo con un coeficiente de 1.1776; lo cual señala que mientras más larga la semilla, hablando en promedio superior a 0.76 cm.; el rendimiento de la vaina será mejor; ésta a su vez tiene dos efectos indirectos vía las variables x₄: Días a la formación de vaina, con un valor de 0.925 y el otro efecto indirecto vía la variable x₆: Altura de la planta, con un valor negativo igual a -0.889; lo cual indica que para poder obtener una semilla grande y a su vez, se logre un rendimiento superior en la vaina; la planta no deberá exceder su altura, alcanzando un promedio de 30 cm.

La variable x₁₇: Ancho de la vaina, en este caso tiene un efecto directo de -1.1141; como es negativo señala que en promedio, no se deberá superar los 1.5 cm. de ancho, esto es importante para su rendimiento; esta variable no reporta efectos indirectos significativos.

El x₁₉: Número de semillas por vaina, aporta un efecto directo negativo -1.0861, lo que corrobora el hecho de que mientras menos semillas existan en una vaina mejor para su rendimiento, se tiene en promedio menor a 6 semillas por vaina. Los efectos indirectos de esta variable son mediante las variables x₄: Días a la formación de vaina, x₆: Altura de la planta (negativamente) y x₁₆: Longitud de la vaina.

7    Conclusiones y recomendaciones

Sobre el método de coeficientes de sendero, se concluye lo siguiente:

• La importancia de la utilización del método de coeficientes de sendero, desde el punto de vista matemático, es que a través de estos modelos y diagramas se puede interpretar la magnitud del efecto de una serie de variables independientes "x", ya sea directa o indirectamente, sobre una o más variables dependientes "y", de esta manera, llegar a uno o varios modelos y diagramas definitivos.

• Así como en el caso de agronomía nos ayuda también reconocer las variables indicadoras para un mejoramiento genético.

• El análisis de coeficientes de sendero sería de gran aporte y calidad para emplearlo en cualquier tipo de cultivos, que eventualmente se podría aplicar en nuestro medio siendo así de mucha utilidad y principalmente beneficioso para mucha gente.

• Consecuentemente se podría implementar el estudio de este trabajo para cualquier empresa que requiera mejorar cualquier tipo de productos, con la debida adecuación del modelo a los datos obtenidos; y poder mejorar un poco, en cierta forma la calidad de vida.

• En general, se puede utilizar esta técnica en cualquier área donde intervengan variables de interés y se desee conocer las relaciones causa-efecto más relevantes para un posterior análisis específico.

Sobre la aplicación en cultivos de ajipa sobre el rendimiento de vainas, se puede concluir:

• El rendimiento de vainas está en función principalmente de los días a la formación de vaina, altura de la planta, la longitud y ancho de las vainas y de las semillas y el número de granos por vaina; el pedúnculo de la flor y el raquis de la inflorescencia.

• Para lograr un mayor incremento, es necesario identificar plantas cuyo tiempo de formación de vainas sea mínimo, con mayor altura, donde las semillas sean largas y delgadas y se cuente con un número mínimo de semillas por vaina.

]]> • Asimismo que el pedúnculo de la flor sea largo y el raquis de la inflorescencia sea más bien corto.

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