Teoría general para flexión y corte (régimen elástico)
Héctor Claiman, Cristian Reppeto
]]> (Simplificación del método propuesto por Gere-Timoshenko)
En los capítulos 9.4 y 9.8 del libro Mecánica de los Materiales de los autores (ver apéndice en jpg) citados se aborda el problema general de la flexión y corte para el caso en que los ejes y y z no sean Principales de Inercia y por razones prácticas no se desea determinar los mismos y descomponer la flexión oblicua en dos flexiones normales como es habitual.
Este es el caso para secciones abiertas (simples o compuestas) formadas, por ejemplo, por perfiles donde no se disponen de los momentos de inercia principales y sí se cuenta (o es más fácil calcularlos) con momentos de inercia respecto a ejes ortogonales no principales. Un ejemplo de ello son las secciones que se muestran en las figuras 9.13 y 9.15 del libro de Timoshenko.
Siguiendo a Timoshenko y respetando la convención por él adoptada, para una sección cualquiera sometida a flexión:
Resulta según Timoshenko:
Fórmula de difícil memorización, donde el eje neutro tiene por ecuación:
(β menor ángulo entre Lf y ng-ng) y aprovechar esta expresión que formalmente es idéntica a la ecuación 2 para determinar en forma práctica las tensiones τ y σ para los casos planteados donde la misma sea de mayor utilidad.
En efecto, para un par de ejes conjugados n y v cualesquiera siempre es posible determinar matemáticamente el ángulo que forman entre ellos (Lf y ng-ng son conjugados de inercia en el baricentro y para la figura dada):
En Fliess, 2do curso, figura 11.22. Los ejes z e y no son ejes principales.
Donde
Desarrollando se puede llegar a demostrar la igualdad de las expresiones 1 y 11.153. A nosotros nos interesa M no según z e y sino asumir que z es un eje neutro n-n e y es eje neutro z-z en cuyo caso existen dos líneas de fuerzas, conjugadas respectivamente de ellas:
De donde se pueden encontrar M' y M" ya que todos los datos son conocidos. Las direcciones de M' y M" o de sus respectivas líneas de fuerzas son también las coordenadas oblicuas del problema.
Esto resulta de utilidad no tanto en flexión sino cuando quiere determinarse tensiones de corte en perfiles donde se conoce por la propiedad de los mismos (espesor delgado y distribución constante en el ancho) que la τxresultante resulta tangente a la línea media del perfil, no conociéndose su valor, pero conociéndose Jy, Jz y Jzy siendo z e y no principales.
El plano de corte puede no coincidir con la línea de fuerza (intersección del plano de momentos con la sección). En lugar de descomponer según 1 y 2 (zp e yp) se puede en forma general (Timoshenko, 9.8):
(Suma algebraica porque se conocen las direcciones y todas son coincidentes).
]]> Este procedimiento permite también, conocida la ley de distribución de las τxresultante determinar la posición del centro de corte, C, planteando la equivalencia de los momentos de las fuerzas Qy y Qz, respectivamente en los momentos según x de las fuerzas interiores de Corte que nos dan la abcisa y la ordenada de C. Sin embargo, son de difícil memorización y se debe ser cuidadoso con los signos, por lo que también es útil el procedimiento anterior para determinar la posición del centro de corte y las tensiones τr resultantes, plantearnos para Qy solamente: (para Qz similarmente).
Se debe tener presente siempre, y para cualquiera de los procedimientos a utilizar, que las fórmulas nacen de suponer dM/dx = Q, sólo participan entonces aquellos M variables con x. Las fuerzas de resbalamiento son las originadas por ellos. Por ejemplo, si existieran pares constantes en una dirección y flexión variable en otra, la línea de fuerza (que resulta de componer todos los momentos) no coincide con la traza del plano de corte que es la que se utiliza).
Ejemplo:
En forma genérica
Si se da Q=Qy, Jy, Jz y Jzy, Calcular
fórmula general (muy engorrosa)
Otra forma: Clásica
Qy = Q1+ Q2
Los Qh se anulan (Q'h + Q''h), los Qv se suman 
Qy = Q'v + Q''v
Otra forma: Propuesta del Ing. Héctor Claiman, para este ejemplo simple conviene el método clásico
El mismo ejemplo:
En forma numérica. Determinación de τxy-max para el perfil de la figura, Angulo 100-100-10
Fórmula General, τxy-máx:
Por descomposición de Qy en Q1 y Q2, τxymáx:
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Por el método simplificado de suponer que trabaja el alma solamente, τxymedia:
Vemos que la aproximación da un error >20% con τxy en defecto.
Por descomposición según Q' y Q" (Respectivos conjugados de z e y), τxymáx:
Resumen (la unidad de τ = [Q]/cm2)
Con el método propuesto para perfiles compuestos. (Genérico)
Coordenadas Oblicuas.
Q" dirección conjugada de y
Q' dirección conjugada de z
Caso Particular: Q = Qy se resuelve (similar).
g-g conjugada de "y"
]]> β ángulo entre g-g e "y"c1 y c2 centro de corte de los perfiles simples (son datos o se calculan previamente)
Comentario:
Existe otra fórmula general más complicada
o bien τxy(Qy) = txy(Q2) simplificando ya que se conoce Q2 en C2.
Ejemplo Genérico:
Determinar la posición del centro de corte según z (de la misma forma que según y). Ver la sencillez del método. Mediante la descomposición de Qtotal en Qparciales para cada perfil proporcional a sus rigideces flexionales respecto del eje z(eje de referencia respecto del que se calcula la coordenada del centro de corte total, ver pág 10).
Ejemplo: Determinar la posición de Qy (la abcisa según Z solamente) para que no haya torsiones en la sección compuesta.
Suponemos 2 UPN 200.
Aquí es muy fácil el cálculo de los momentos de inercia respecto de z e y.
F1 = F2 = 32,2cm4
JzG2 = JyG1 = 1910.cm4
JzG1 = JyG2 = 148.cm4
Posición de G:
Posición de e2:
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Otra forma(Timoshenko)
Jgg: Momento de inercia respecto de g1 — g1 (conjugados de LC1) de la sección 1.
Luego como M = M1 + M2, M1 = (Jgg1/JggT) * M y M2 = (Jgg2/JggT) * M, distribución de M según rigideces a flexión de los perfiles.
Posición de s: (por donde debe pasar Qy respecto de G). Ver Timoshenko 9.5 - pág 521.
s' = 9,378cm, desde G1, o sea, s = 5,96cm desde G. Similarmente respecto de "y” nos daría la otra coordenada del centro de corte del perfil compuesto.
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