Acerca de la Definición de Caos Según Devaney

Ramiro Lafuente

Universidad Mayor de San Andrés
e-mail: ramirolafuente@yahoo.com

1.    Introducción

En 1989, R.L. Devaney publicó su libro "A Introduction to Chaotic Dynamical Systems" que es una introducción muy amable a la teoría de Sistemas Dinámicos Caóticos [1] cuya atención fue significativa en los años siguientes. En este libro, Devaney define a una función caótica como una función continua ƒ : X → X (X esp. métrico) tal que:

1. ƒ es transitiva

2.  El conjunto de puntos periódicos de ƒ es denso en X.

3. ƒ tiene dependencia sensitiva sobre las condiciones iniciales.

Aparentemente estas tres condiciones son "independientes", sin embargo sucede que (1) y (2) implica (3). J. Banks, J. Brooks, G. Cairns, G. Davis y P. Stacey fueron los que primero hicieron esta observación. En el presente artículo presentamos una demostración de nuestra autoría.

2.    El Caos según Devaney

■ Se dice que ƒ es transitiva si para todo par de abiertos no vacíos U y V de X, existe k ∈ tal que ƒ^(k)(U) V ≠ ø

■  Se dice que x ∈ X es un punto periódico de ƒ si ƒ^(k)(x) = x para algún k ∈ ⁺.

■  Se dice que ƒ tiene dependencia sensitiva sobre las condiciones iniciales si existe δ > 0 (llamada constante sensitiva) tal que para todo x ∈ X y para toda vecindad N de x, existen y ∈ N y n ∈ tal que

Definición 2. Sea X un esp. métrico infinito. Una función continua ƒ : X → X es caótica sobre X si

1.  ƒ es transitiva,

2.  El conjunto de puntos periódicos de ƒ es denso en X, y

]]> 3.  ƒ tiene dependencia sensitiva sobre las condiciones iniciales.

 

3.    Teorema de simplificación

Teorema 1. (1) y (2) implica (3)

Demostración. Supongamos que ƒ es transitiva y que los puntos periódicos de ƒ forman un conjunto denso en X.

Escojamos dos puntos periódicos arbitrarios q₁ y q₂ con órbitas distintas O(q₁) y O(q₂).

Sea δ₀ ≡ d(O(q₁), O(q₂)) > 0.

Entonces ∀x ∈ X, d(x, O(q_i)) ≥ para algún i = 1,2. Es cierto, pues:

Entonces ∀x ∈ X, d(x, O(q_i)) ≥ Para algún i = 1, 2.

Lema 1. Existe un número δ₀ > 0 tal que para todo x ∈ X, existe un punto periódico q X tal que d(x, O(q)) > .

Probaremos que ƒ tiene tendencia sensitiva sobre condiciones iniciales con constante sensitiva δ ≡ δ₀/8.

Sea x un punto arbitrario de X y sea N una vecindad cualquiera de x.

Como el conjunto de puntos periódicos de ƒ es denso en X, existe un punto periódico p ∈ N B_δ(x)=:U.

Supongamos ƒⁿ(p) = p (n es el período de p). Como ya probamos antes, existe un punto periódico q tal que d(x, O(q)) ≥ 4δ. Consideremos ƒ^-i(B_δ(ƒⁱ(q))), i = 0, 1, ..., n. y fijemos V = ƒ^-i(B_δ(ƒⁱ(q))). Claramente V es abierto y V ≠ ø (pues q ∈ V).

Como ƒ es transitiva, ∃y ∈ U y ∃k ∈ tal que ƒ^(k)(y) ∈ V.

Sea . Así, 1 ≤ nj — k ≤ n. Entonces

Ahora bien, ƒ^nj(p) = p y, por la desigualdad triangular,

Entonces, como p ∈ B_δ(x) y ƒ^nj(y) ∈ B_δ(ƒ^nj-k(q)), tenemos que d(ƒ^nj(p), ƒ^nj(y)) > 4δ-δ-δ = 2δ.

Nuevamente, por la desigualdad triangular, tenemos que

En cualquiera de estos casos, tenemos encontrado un punto z ∈ N (z = p ó y) tal que d(f^nj(x), f^nj(z)) > δ, con la cual hemos probado que ƒ tiene dependencia sensitiva sobre las condiciones iniciales con constante sensitiva δ.

Referencias

[1] R.L. Devaney. an Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Addison-Wesley, 1989.        [ Links ]

[2] I. Stewart. Does god play dice, Mathematics of Chaos. Blackwell, 1989.        [ Links ]