A.ARTÍCULOS

Dinámica de opinión en
redes sociales multicapa

Opinion dynamics in multilayer
social networks

José María Lino-Blacutt¹, Gonzalo Marcelo Ramírez-Ávila^2,3,4

Resumen

Se exploró la dinámica de opinión en redes multicapa mediante un modelo de evolución discreta. Mediante las distintas combinaciones de tres topologías de red (aleatoria, mundo pequeño y libre de escala), se estudiaron tres casos donde dos de ellos presentan características similares a sistemas sociales reales; en tanto que el otro es una situación idealizada. Se observó distintos comportamientos en la evolución del estado de opinión promedio (S) hasta alcanzar su estabilización en la red, notándose que esta estabilización ocurre en la mayoría de los casos para tiempos mayores a 100 pasos. Mediante la desviación estándar para cada configuración, se evidenció el alcance o no del consenso, destacando que algunas configuraciones requieren más de 600 pasos en llegar a dicha situación. Finalmente, se analizó el impacto de individuos intransigentes, mostrando que la presencia de al menos uno de estos individuos en cada una de las capas, genera mayor dispersión de las opiniones en la red.

Palabras clave: Sistemas sociales - Sistemas complejos - Redes en transiciones de fase -Dinámica no lineal - Teoría de grafos.

Abstract

The opinión dynamics in multilayer networks were explored using a discrete evolution mo-del. Three different network topologies (random, small-world, and scale-free) were combined to study three scenarios: two approximating real social systems and the other representing an idealized case. Various behaviors were observed in the evolution of the mean opinión state (S) until it stabilized in the network. It was observed that stabilization occurred in most cases after more than 100 steps. Through the standard deviation for each configuration, the achievement of consensus was evidenced and it was found that some configurations require more than 600 steps to reach this state. Finally, the impact of intransigent individuáis was analyzed, showing that the presence of at least one such individual in each layer results in a greater dispersión of opinions in the network.

Subject headings: Social systems — Complex systems — Networks in phase trasitions — Nonlinear dynamics — Graph theory.

Para este trabajo se considera un modelo de tiempo discreto el cual ya fue utilizado en otros trabajos como ser en (Subieta-Frías & Ramírez-Ávila, [2017,Subieta-Frías & Ramírez-Ávila, [2023]). El modelo describe la dinámica de opinión de un grupo social compuesto por N individuos y está representado mediante la siguiente ecuación:

con j = 1, 2, 3,..., N; donde S_j (t+1) es el estado de opinión del individuo j en un tiempo t+1; este valor está determinado por el estado de opinión precedente del mismo individuo j y de los individuos i con los cuales interactúa. El grupo social está representado por una matriz de adyacencia simétrica donde los elementos de la matriz a_ij toman los valores 1 ó 0 dependiendo si existe o no un vínculo entre el individuo i con el individuo j. Este modelo sigue la estructura planteada por Degroot, [1974], en la que las opiniones se actualizan de acuerdo con un promedio ponderado de los vecinos conectados en la red.

En este trabajo, la matriz con la que se describe al sistema es en realidad una matriz de supra-adyacencia. Esta matriz nos permite representar los vínculos que existen entre los individuos tanto dentro de las capas como entre las capas en una red multicapa. La matriz de supra-adyacencia está compuesta por matrices de adyacencia menores, a las cuales podemos interpretar como bloques. Los bloques diagonales codifican las matrices de adyacencia correspondientes a cada capa por separado. En otras palabras, los bloques diagonales capturan los vínculos que existen entre los individuos que están presentes dentro de una capa en específico. Los bloques fuera de la diagonal codifican conexiones entre capas; es decir, los vínculos que existen entre los individuos que están presentes en diferentes capas están representados en los bloques no diagonales de una matriz de supra-adyacencia.

3. Metodologíía

Primeramente, se consideraron los tres tipos de topologías que luego son utilizados mediante diferentes combinaciones para así crear diferentes configuraciones de redes multicapa. Posteriormente, para cada topología de red se obtuvo su respectiva matriz de adyacencia. Estas matrices tienen la característica de ser no pesadas y no direccionadas lo que implica que la interacción entre el individuo i y j es bidireccional y de la misma magnitud por lo que la matriz es simétrica. Entonces, cada topología de red representa una capa dentro de la red multicapa, y por ende, cada capa está descrita por su respectiva matriz de adyacencia; en tanto que, la red multicapa estará descrita por la matriz de supra-adyacencia de dimensión N×N, donde:

siendo n’ el número total de individuos presentes en toda la red multicapa y L es el número de capas.

Los vínculos que posibilitan la interacción entre capas son debidos a individuos que están presentes en cada una de las ellas; estos individuos son conocidos como nodos réplica (o nodos comunes) n_c. Otro tipo de vínculos que se da entre las capas es cuando individuos de una capa que representa un grupo social conocen a otras personas de otro grupo social; es decir, tienen un vínculo con otros individuos presentes en otras capas. El número de personas que se conocen entre las capas L₁ y L₂ está denotado por ; mientras que las personas que se conocen entre las capas L₁ L₃ está representado por y de la misma forma representa el número de individuos que se conocen entre las capas L₂ y L₃. Nótese que la notación hace referencia al número de individuos que tienen vínculos entre las capas L_q y L_r, donde el subíndice "il" indica "intercapas" por su denominación en inglés "interlayer".

Todos estos vínculos creados gracias a los n_c nodos réplica y los vínculos creados por los n_il individuos que conocen a otras personas de las distintas capas son representados en las casillas correspondientes de los bloques no diagonales presentes en la matriz de supra-adyacencia.

En la Fig. 1 se ilustra un ejemplo de una red multicapa y su respectiva matriz de supra-adyacencia. En la parte izquierda de la Fig. 1 observamos que el nodo réplica que se encuentra en todas las capas es el individuo 2. También nótese que, las personas 1, 5 y 8 son aquellas que presentan un vínculo intercapa entre ellas. En la parte derecha de la Fig. 1 se muestra su respectiva matriz de supra-adyacencia. Los bloques diagonales capturan la interacción de los individuos al interior de las capas mientras que los bloques alrededor de estos capturan la interacción de los individuos entre las capas. Las casillas rojas representan la presencia del nodo réplica en las tres capas; las casillas naranjas representan la conexión entre los individuos 1, 5 y 8.

3.1. Aplicación del modelo discreto a la red multicapa

Para aplicar el modelo discreto a la red multicapa fue necesario primeramente dotar de opiniones iniciales a todos los individuos presentes en la red. Por lo tanto, para un tiempo t = 0 se realizó un sorteo para asignar estas opiniones a los mismos con valores en el intervalo [0,1], siguiendo una distribución Gaussiana con una media y varianza iguales a 0.5.

Para aquellos nodos réplica que estuvieron presentes en las tres capas de la red, se hizo que el valor de su estado de opinión inicial fuera el mismo en todas las capas. Para entender este punto, tomemos el ejemplo en el que existe un único individuo, el cual está presente en todos los grupos; es decir, un nodo réplica. Cuando se debate un tema en particular, todas las personas tendrán una opinión inicial respecto al mismo y con un valor comprendido en el intervalo [0,1]. El individuo presente en todos los grupos sociales debe tener la misma opinión inicial ya que de otra forma sería ilógico que el individuo comparta una opinión inicial distinta del mismo tema en los diferentes grupos.

Una vez que todos los individuos de la red multicapa tienen un valor inicial para su estado de opinión; estos evolucionan considerando la Ec. (1). En cada paso de tiempo se obtuvieron los estados de opinión de todos los individuos y mediante estos se logró establecer el valor promedio del mismo () de la red multicapa. Conjuntamente, para cada valor del estado de opinión promedio se obtuvo su respectiva desviación estándar.

3.2. Casos de estudio

Para cumplir el objetivo de estudiar la dinámica de opinión mediante redes multicapa; se analizó la evolución del estado de opinión promedio mediante diferentes casos que presentan diferentes características de conectividad entre los individuos en cada capa.

Cada caso fue estudiado mediante 10 configuraciones de red multicapa las cuales están presentadas en la Tabla 1. Cada red multicapa presenta una combinación distinta de topologías en cada capa, siendo el número de individuos en cada capa:

donde n_Lirepresenta el número de individuos presentes en la capa L_i . Se elige que 5 sean los nodos comunes n_c y los que vinculan entre las distintas capas n_il:

3.2.1. Casos analizados en ausencia de individuos intransigentes

A. Redes altamente conectadas - Consideramos que en cada capa, los individuos están altamente vinculados con los otros.

B. Redes con pocas conexiones - Los individuos en cada una de las capas no presentan una alta conectividad; es decir, que en general, las personas no tienen muchos conocidos dentro de cada capa.

C. Redes artificiales o idealizadas - Al igual que en los anteriores casos se tienen las tres topologías, con la particularidad que se tienen situaciones extremas en las correspondientes a mundo pequeño (red lineal con condiciones de borde periódicas) y libre de escala (red árbol), denominándose por este motivo como “artificiales”.

En la Fig. 3, se presentan las diferentes topologías de red utilizadas en los tres casos analizados. Los incisos (A1), (A2) y (A3) corresponden a una red aleatoria, una de mundo pequeño y una libre de escala, respectivamente, bajo el caso A, donde las redes están altamente conectadas. En estas representaciones, los individuos (puntos negros) mantienen una gran cantidad de conexiones entre sí (enlaces que los vinculan). Por otro lado, los incisos (B1), (B2) y (B3) muestran las mismas topologías de red, pero bajo el caso B, donde la conectividad entre los individuos es considerablemente menor. De manera similar, los incisos (C1), (C2) y (C3) presentan las mismas estructuras de red en el caso C (redes artificiales), siguiendo el mismo orden que en los casos anteriores. El inciso (D) ilustra un ejemplo de red multicapa con la configuración 10 descrita en la Tabla 1, donde L₁, L₂ y L₃ corresponde a redes aleatoria, mundo pequeño y red libre de escala, respectivamente, bajo el caso B (baja conectividad dentro de cada capa). En este ejemplo, los vínculos entre los individuos de la capa L₁ que conocen a los de la capa L₂ están representados mediante enlaces rojos; los enlaces azules representan los vínculos entre individuos de la capa L₁ con la capa L₃; los enlaces verdes son los vínculos entre individuos de la capa L₂ con la capa L₃. Finalmente, mediante los enlaces amarillos se representa el vínculo que tiene un individuo réplica consigo mismo en las otras capas.

3.2.2. Individuos intransigentes en la red multicapa

Como último objeto de estudio, se introdujo a la red multicapa individuos intransigentes. Para esta parte se trabajó únicamente con la configuración de red multicapa 10 presentada en la Tabla 1 (L₁: Red aleatoria; L₂: Red mundo pequeño; L₃: Red libre de escala). En esta red multicapa se consideraron diferentes casos los cuales se diferencian unos de otros por el número de intransigentes y la distribución de estos en las distintas topologías de red. Estos casos son presentados como distribuciones en la Tabla 2. Todas las distribuciones fueron consideradas en cada uno de los casos mencionados en § 3.2.1.

Todo el trabajo fue elaborado mediante simulaciones con códigos propios en lenguaje Python.

4. Resultados y discusión

4.1. Redes multicapa sin intransigentes

Se presentan los resultados obtenidos para cada uno de los casos mencionados en § 3.2.1. Para cada situación se tienen 10 curvas las cuales representan las configuraciones de redes multicapa con las que se trabajó (ver Tabla 1) . Para cada configuración se realizaron 100 experimentos numéricos y gracias a estas se obtuvo la curva de la evolución del estado de opinión promedio y su respectiva desviación estándar.

Mediante se muestra la evolución de opinión del sistema. Inicialmente la opinión de un individuo puede ser diferente a la opinión de los demás, pero después de un transitorio, la opinión promedio se mantiene constante en el tiempo aunque las opiniones individuales puedan seguir variando. Es aquí donde el sistema alcanza la estabilización caracterizada por el valor de equilibrio que la opinión promedio alcanza, denotado como _eq.

En la Fig. 4, se muestra la evolución del grado promedio de la red multicapa obtenido a partir de 100 simulaciones numéricas para las configuraciones presentadas en la Tabla 1. La variación del grado promedio se estudió en función de la probabilidad de conexión, lo que permite evaluar cómo cambia la estructura de la red a medida que aumenta la densidad de enlaces. Se observa que, para valores de probabilidad cercanos a 1, la red se vuelve altamente conectada; en otras palabras, los individuos están altamente vinculados. Para valores cercanos a 0.2, la conectividad es significativamente menor lo cual nos indica que los individuos en una red multicapa no tienen muchos conocidos dentro de cada capa.

En la Fig. 5, se distinguen las curvas correspondientes a cada configuración de red multicapa en relación a cada uno de los casos mencionados en §3.2.1. Se puede observar que las curvas presentan evoluciones muy diversas del estado de opinión promedio. Algunas mostrando inicialmente la tendencia de una evolución a valores crecientes y otras a valores decrecientes de (S); esto se debe a la sensibilidad a las condiciones iniciales de las opiniones individuales (Subieta-Frías & Ramírez-Ávila, [2017]). Sin embargo, todas llegan a una situación de estabilización después de un transitorio. También se observa que algunas curvas no presentan evolución o simplemente la evolución de estas ocurre entre 1 a 3 pasos de tiempo como, por ejemplo, en la Fig. 5(a) las configuraciones 1 (azul), 4 (celeste) y 7 (negro). Esto puede deberse al hecho de que para el primer caso, las redes multicapa presentan una alta conectividad entre los individuos presentes, lo que provoca una rápida estabilización del estado de opinión promedio. Otro motivo por el cual pudiese existir esta rápida evolución a la estabilidad es por el hecho de que estas redes multicapa presentan la misma topología de red en sus capas: La configuración 1 presenta una topología de red aleatoria; la configuración 4 presentan una topología de red mundo pequeño; y en la configuración 7, todas las capas tienen una topología libre de escala.

Notemos también que las redes que tienen un mayor transitorio son las configuraciones 8 (naranja) y 9 (morado). El tiempo en el que ambas alcanzan su estabilización es cercano a los 300 pasos. Lo común a estas dos redes multicapa 8 y 9 es que ambas presentan una topología de red libre de escala en sus dos primeras capas, y la restante capa presenta una topología de red aleatoria, y mundo pequeño, respectivamente.

En la Fig. 5(b), se presentan las curvas obtenidas para el caso B. A diferencia de la Fig. 5(a), notamos que una mayor cantidad de configuraciones presentan un transitorio. La mitad de estas configuraciones que son la configuración 2 (verde), 3 (rojo), 6 (mostaza), 9 (morado) y 10 (marrón), llegan a su estabilización entre los 120 y 140 pasos de tiempo, mientras que las configuraciones 5 (fucsia) y 8 (naranja) la alcanzan entre los 170 y 190 pasos. En la Fig. 5(c) observamos las distintas curvas de las configuraciones de redes multicapa aplicadas al caso C. Las curvas que más destacan dentro de este caso son las configuraciones 2 (verde) y 5 (fucsia). El transitorio de la configuración 5 es apreciable y puede llegar a ser de alrededor de 240 pasos de tiempo; en tanto, para la configuración 2, el valor transitorio de (S) es menos pronunciado, aún cuando su estabilización puede tomar más de 300 pasos. En estas dos redes multicapa solo existe la presencia de dos topologías de red: aleatoria y mundo pequeño.

A partir de todas estas observaciones podemos resaltar el hecho de que en redes multicapa es posible llegar a la estabilización al igual que se logró en (Subieta-Frías & Ramírez-Ávila, [2017]) donde solo se trabajó con redes monocapa. La diferencia radica en los pasos de tiempo; en las redes monocapa estudiadas en (Subieta-Frías & Ramírez-Ávila, [2017]), la estabilización se alcanza entre los 5 y 10 pasos de tiempo; en cambio para las redes multicapa, alcanzar la estabilización toma un número de pasos de tiempo mayor a 100.

El valor del estado de opinión promedio inicial (el cual es aproximadamente 0.5) usado como referencia está representado mediante una línea gris segmentada (Fig. 5). Mediante este valor se determina en cuánto las curvas de los estados de opinión promedio se alejan de la referencia. Las curvas de las configuraciones presentadas para el caso A (Fig. 5(a)) son las que más se alejan de la línea segmentada referencial (exceptuando algunas configuraciones como ser la 1 (azul) y la 2 (rojo)), lo opuesto a lo que ocurre para el caso C (Fig. 5(c)) donde las curvas presentan valores más próximos al valor de referencia. Esto corrobora los resultados presentados en (Subieta-Frías & Ramírez-Ávila, [2017]), lo que nos indica que la evolución del estado de opinión promedio se aleja más del valor de referencia cuando los individuos están altamente conectados; mientras que, cuando no existen muchos vínculos (bajo valor del grado de la red), la evolución se mantiene cercana al valor inicial.

Cuando se estudia este tipo de sistemas sociales y la evolución de opinión del grupo, se busca determinar si el sistema alcanza el consenso, el cual es un estado que indica el acuerdo de opinión de todos los individuos respecto a un determinado tema de discutido. Es por eso que para lograr este estado es necesario la interacción entre las personas que conforman el grupo social.

Un indicador estadístico que está ligado a este concepto y el cual nos ayuda a determinar el grado de consenso alcanzado es la desviación estándar; mediante la misma se puede observar la dispersión de los datos (en este caso, las opiniones de los individuos). Si el valor de la desviación estándar es alto, las opiniones individuales del grupo difieren unas de otras; caso contrario, el valor de la desviación estándar es nula o tiende a cero, mostrando así una tendencia al consenso.

En la Fig. 6, se presentan las desviaciones estándar de las configuraciones en cada caso. En la Fig. 6(a) se observa que todas las curvas de desviación estándar para el caso A tienden a disminuir y asintóticamente a cero; sin embargo, ninguna de ellas alcanza el valor cero a pesar que sus respectivas curvas de la evolución del estado de opinión promedio llegaron a la estabilización. El caso A es una buena situación para poder entender la diferencia entre estabilización y consenso. Se observa que en la Fig. 5(a), las curvas llegan a estabilizarse después de un determinado tiempo; pero no se observa una estabilización de sus respectivas desviaciones estándar. Lo anterior es un indicador de que no se llegó al consenso. Sin embargo, la tendencia seguida por las curvas de desviación estándar nos dan los elementos para prever un eventual alcance del consenso, aunque para lograr lo anterior, se requiere tiempos mayores a 600.

En la Fig. 6(b) se observa que todas las curvas de la desviación estándar tienden asintóticamente a cero, mostrando así que los grupos sociales de las 10 redes multicapa alcanzan el consenso cuando estas están débilmente vinculadas (valor pequeño del grado de la red).

La situación del caso C mostrada en la Fig. 6(c), las configuraciones 3 (rojo), 7 (negro) y 8 (naranja) tienden al consenso en pasos de tiempo cercanos a los 300. En cambio, las demás configuraciones aún no llegaron a un consenso, pero , al igual que en la Fig. 6(a), se puede prever una tendencia asintótica a cero.

En la Fig. 7, se presenta una comparación tanto de las evoluciones de los estados de opinión promedio (S) como de sus respectivas desviaciones estándar para la configuración 10 aplicada a los tres casos. Se escogió hacer la comparación de esta configuración debido a que es la única que presenta tres distintas topologías de red en cada una de las capas de la red multicapa; es decir, la capa L₁ tiene una topología de red aleatoria, L₂ es una red mundo pequeño y L₃ es una red libre de escala. En la Fig. 7(a) se muestra las evoluciones de los estados de opinión promedio notando que para el caso A (morado) la estabilización ocurre para un valor cercano a los 200 pasos; para el caso B (verde añil) a los 130 pasos; y finalmente para el caso C (rosa), observamos que la estabilización no llega hasta después de los 235 pasos de tiempo. En la Fig. 7(b) se presentan las respectivas curvas de la desviación estándar. Notamos que para los casos A (morado) y C (rosa) las curvas parecen tender asintóticamente a 0; en cambio, para el caso B (verde añil) vemos que se alcanzó el consenso para un valor cercano a los 420 pasos de tiempo.

4.2. Intransigentes en la red multicapa

A continuación se procede a analizar el efecto de la presencia de los individuos intransigentes en las redes multicapa (ver § 3.2.2). Al igual que en la sección anterior, se obtuvieron las curvas que muestran la evolución del estado de opinión promedio realizando 100 experimentos numéricos para cada distribución, lo que se presenta en la Tabla 2. La Fig. 8 resalta este hecho tomando como ejemplo ilustrativo la distribución 3 (cuando en la red multicapa existe la presencia de un individuo intransigente en las capas L₁ y L₂) dentro del contexto en el que los individuos presentes en las capas de la red multicapa están altamente vinculados unos con otros (caso A). En la Fig. 8 se observa la evolución del estado de opinión promedio que se obtuvo para cada uno de los 100 experimentos numéricos (curvas grises). Se nota que algunas curvas alcanzan su valor de equilibrio _eq cercano a los valores extremos 0 y 1, mostrando así la alta influencia que puede llegar a tener la presencia de los intransigentes en la red multicapa (Hu et al., [2017]). La curva azul representa la curva promedio correspondiente a los 100 experimentos numéricos.

En la Fig. 9 se muestran las respectivas curvas de las evoluciones del estado de opinión promedio de cada caso presentado en la Tabla 2. La distribución 0 (azul) es aquella en la que no existe presencia de intransigentes en las capas de la red lo cual hace que su respectivo valor de _eq sea el más cercano al valor de referencia 0.5, representado por la línea segmentada gris. Por otro lado, la introducción de intransigentes hace que los valores de _eq sean considerablemente diferentes, llegando a ser en algunas situaciones mayores que 0.52 o menores que 0.48. También se observa que el valor de _eq alcanzado difiere según las distribuciones analizadas; de la misma forma, los valores _eq de las diferentes distribuciones analizadas, varían según el caso dentro de la cual se esté aplicando (ver § 3.2.1). En la Fig. 9(a), la cual representa la situación de redes multicapa altamente conectadas (caso A); los casos que más se alejan del valor de referencia corresponden a las distribuciones 4 (fucsia) y 5 (mostaza), alcanzando sus valores de equilibrio _eq aproximadamente en 0.53 y 0.47, respectivamente. Para la situación donde las redes multicapa presentan pocas conexiones (caso B), en la Fig. 9(b), las distribuciones 1 (verde) y 4 (fucsia) son aquellas cuyos valores de _eq están por encima y por debajo de 0.51 y 0.49, respectivamente. Finalmente, para la situación de redes artificiales (caso C), en la Fig. 9(c), los valores de _eq alcanzados sobre están por debajo de 0.48 que se da para las distribuciones 3 (celeste) y 4 (fucsia). Nótese que para la distribución 4 (fucsia), correspondiente a la presencia de un individuo intransigente en cada una de las capas de la red, es aquella que presenta el mayor valor de _eq dentro de los tres casos.

Analizando los transitorios más relevantes observamos que, para el caso A (redes altamente conectadas) (Fig. 9(a)), los transitorios de las distribuciones 1 (verde) y 2 (rojo) son más largos en comparación a las demás distribuciones dentro de esta situación. Para la distribución 1 (donde existe la presencia de un intransigente en las capas L₂: Red mundo pequeño y L₃: Red libre de escala) la evolución del estado de opinión promedio alcanza el equilibrio después de de 2500 pasos de tiempo; en tanto que para la distribución 2 (donde existe la presencia de un intransigente en las capas L₁: Red aleatoria y L₃: Red libre de escala) la convergencia del estado de opinión promedio ocurre después de los 2300 pasos.

Tanto para el caso B (redes con pocas conexiones) (Fig. 9(b)) como para el caso C (redes artificiales) (Fig. 9(c)), el transitorio mayor ocurre nuevamente para la distribución 1 (verde) donde la evolución llega a su valor de equilibrio _eq para valores cercanos a 2400 y 2200 pasos de tiempo, respectivamente. De esta forma, se puede resaltar que la distribución que mayor tiempo le toma alcanzar su estabilización es la 1; esto debido a la presencia de un intransigente en las capas L₂ (red mundo pequeño) y L₃ (red libre de escala).

Otro punto importante surge de la observación de la Fig. 9 en la evolución del estado de opinión promedio de la distribución 5 dentro de los tres casos de red. Esta distribución caracterizada por tener la presencia de dos intransigentes en cada una de las capas de la red es la que presenta una mayor pendiente en todas las situaciones; su estabilización es más rápida comparada a las otras distribuciones.

En la Fig. 10 se presenta la desviación estándar de cada distribución de la Tabla 2. Se observa que la evolución de la curva para la distribución 0 (azul) tiende a cero para los tres casos, lo cual nos muestra que, en ausencia de individuos intransigentes, la red multicapa tiende al consenso.

Debido a la presencia de intransigentes se observa que las desviaciones estándar para cada distribución presentan distintas evoluciones, y estas alcanzan el equilibrio para valores diferentes de cero. Lo anterior indica que estos grupos sociales no alcanzan el consenso. En la Fig. 10(a) observamos que el comportamiento de la dispersión de opinión para las distribuciones 1 (verde) y 2 (rojo) es similar llegando a estar casi sobrepuestas. Las distribuciones que muestran un mayor alejamiento del consenso en todos los casos corresponden a la 4 (fucsia) y 5 (mostaza), que denotan situaciones en las que existe un individuo intransigente en cada capa y dos individuos intransigentes en cada capa, respectivamente. Entonces, se constata el hecho de que mientras más intransigentes estén presentes en la red multicapa, estas tienden a alejarse del consenso. Para finalizar, observe que en las distribuciones 1 (verde), 2 (rojo) y 3 (celeste), el número de intransigentes a lo largo de la red multicapa es de 2. Estos 2 individuos están distribuidos teniendo a uno por capa y dejando una capa libre de intransigentes. Por lo tanto, podemos resaltar que, entre estas tres distribuciones, la 3 (cuando un intransigente está presente tanto en la capa L₁: Red aleatoria como en la capa L₂: Red mundo pequeño) es la que está más alejada del consenso.

5. Conclusiones y perspectivas

Se estudiaron redes multicapa analizando la dinámica de opinión de los individuos presentes mediante un modelo de evolución discreta. Se consideraron distintas configuraciones de redes multicapa haciendo que las capas involucradas presenten distintas combinaciones de topología de red (ver Tabla 1). Mediante estas configuraciones se estudiaron tres casos (ver § 3.2.1) donde dos de ellos presentan una semejanza a grupos sociales de la vida real y el otro tiene características más artificiales.

El caso A simula la existencia de una alta conectividad entre los individuos de las redes multicapa mostrando así que las configuraciones 8 (L₁: Red libre de escala, L₂: Red libre de escala, L₃: Red aleatoria) y 9 ((L₁: Red libre de escala, L₂: Red libre de escala, L₃: Red mundo pequeño) son aquellas que toman mayor tiempo en alcanzar la estabilidad.

El caso B representa cuando los vínculos entre los individuos presentes en las capas son pocos obteniendo así que las configuraciones 5 (L₁: Red mundo pequeño, L₂: Red mundo pequeño, L₃: Red aleatoria) y 8 (L₁: Red libre de escala, L₂: Red libre de escala, L₃: Red aleatoria) llegan a su valor de estabilización entre los 170 y 190 pasos, siendo estas las configuraciones con mayor transitorio.

En el caso C, las topologías de red presentan características las cuales no son muy cercanas a la realidad; sin embargo, estas redes artificiales nos sirven como objeto de estudio y también desde una perspectiva conceptual. El análisis de la evolución del estado de opinion en estos supuestos grupos sociales nos lleva a concluir que la configuración 10 (L₁: Red aleatoria, L₂: Red mundo pequeño, L₃: Red libre de escala) es aquella que presenta un mayor transitorio antes de lograr su estabilización en aproximadamente 235 pasos de tiempo.

Se obtuvieron las respectivas desviaciones estándar para cada configuración de red multicapa dentro de los tres casos considerados. Mediante la observación de la evolución de las desviaciones estándar se concluye que, después de un cierto tiempo es posible alcanzar la situación de consenso. Sin embargo, para algunas configuraciones de redes multicapa alcanzar dicha situación tomaría tiempos mayores a los 600 pasos.

Posteriormente se estudió el efecto de la presencia de los individuos intransigentes en la configuración 10 de red multicapa (L₁: Red aleatoria, L₂: Red mundo pequeño, L₃: Red libre de escala). Mediante esta red, los intransigentes fueron repartidos entre las capas generando diferentes distribuciones de estudio (ver Tabla 2). Se obtuvieron diferentes curvas de la evolución del estado de opinión promedio para las distintas distribuciones que fueron aplicadas dentro del contexto de cada caso mencionado en § 3.2.1. La distribución 4 en la cual existe la presencia de un individuo intransigente en cada una de las capas de la red, es aquella que presentó un mayor valor de _eq en todos los casos.

También se analizaron las curvas de evolución de la desviación estándar para las distintas distribuciones demostrando que a medida que aumenta el número de individuos intransigentes en la red multicapa, esta tiende a alejarse más del consenso.

Mediante este trabajo se mostró la importancia de las topologías de red en las redes multicapa y cómo la combinación de estas a lo largo de la red genera diferentes comportamientos del estado de opinión promedio hasta alcanzar su estabilización. Por otro lado, se mostró el alejamiento del consenso y la dispersión de opiniones debido a la presencia de los individuos intransigentes en las redes multicapa.

Este trabajo marca los primeros lineamientos en el estudio de redes multicapa y puede ser ampliado a otras situaciones como ser: Considerar otras combinaciones de topologías de red; incluir más individuos intransigentes en las diferentes capas para así poder hallar una correlación entre el número de intransigentes y el tiempo de estabilización del sistema; además de estudiar otros fenómenos sociales tales como el surgimiento de polarización.

Agradecimientos

GMRA agradece el financiamiento del programa de investigación e innovación Horizonte 2020 de la Unión Europea en virtud del acuerdo de subvención Marie Sklodowska-Curie Nº 101034383.

Conflicto de intereses Los autores declaran que no existe conflicto de intereses respecto a la publicación de este documento.

References

[Balenzuela et al. 2015]

Balenzuela, P., Pinasco, J. P., & Semeshenko, V. 2015, PloS ONE, 10, e0139572        [ Links ]

[Barabási 2003]

Barabási, A. L. 2003, Linked: The New Science of Networks (Perseus Publishing, Cambridge)        [ Links ]

[Barabási & Albert 1999]

Barabási, A. L. & Albert, R. 1999, Science, 286, 509

[Degroot 1974]

Degroot, M. H. 1974, Journal of the American Statistical Association, 69, 118        [ Links ]

[Domenico 2022]

Domenico, M. D. 2022, Multilayer Networks: Analysis and Visualization-Introduction to muxViz with R (Springer, Cham)        [ Links ]

[Erdös & Rényi 1960]

Erdös, P. & Rényi, A. 1960, Publications of the Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences, 5, 17        [ Links ]

[Galam 2013]

Galam, S. 2013, Sociophysics: A Physicist’s Modeling of Psycho-Political Phenomena (Springer, New York)        [ Links ]

[Galam & Jacobs 2007]

Galam, S. & Jacobs, F. 2007, Physica A, 381, 366

[Granovetter 1973]

Granovetter, M. S. 1973, American Journal of Sociology, 78, 1360        [ Links ]

[Holley & Liggett 1975]

Holley, R. A. & Liggett, T. M. 1975, The Annals of Probability, 643        [ Links ]

[Hu et al. 2017]

Hu, H. B., Li, C. H., & Miao, Q. Y. 2017, Advances in Complex Systems, 20, 1750015        [ Links ]

[Ising 1925]

Ising, E. 1925, Zeitschrift für Physik, 31, 253        [ Links ]

[Krause & Bornholdt 2012]

Krause, S. M. & Bornholdt, S. 2012, Physical Review E, 86, 056106        [ Links ]

[Kuperman & Zanette 2002]

Kuperman, M. & Zanette, D. 2002, European Physical Journal B, 26, 387        [ Links ]

[Maity et al. 2012]

Maity, S. K., Manoj, T. V., & Mukherjee, A. 2012, Physical Review E, 86, 036110        [ Links ]

[Nardini et al. 2008]

Nardini, C., Kozma, B., & Barrat, A. 2008, Physical Review Letters, 100, 158701        [ Links ]

[Noble et al. 2004]

Noble, J., Davy, S., & Franks, D. W. 2004, in From Animals to Animats 8: Proceedings of the Seventh (ie Eighth) International Conference on Simulation of Adaptive Behavior, Vol. 8, MIT Press, 395        [ Links ]

[Schweitzer 2018]

Schweitzer, F. 2018, Physics Today, 71, 40        [ Links ]

[Subieta-Frías & Ramírez-Ávila 2017]

Subieta-Frías, V. & Ramírez-Ávila, G. M. 2017, Revista Boliviana de Física, 31, 3        [ Links ]

[Subieta-Frías & Ramírez-Ávila 2023]

-. 2023, AIP Conference Proceedings, 2731, 050003

[Watts & Strogatz 1998]

Watts, D. J. & Strogatz, S. H. 1998, Nature, 393, 440        [ Links ]

[Xiong & Liu 2014]

Xiong, F. & Liu, Y. 2014, Chaos, 24, , 013130 1        [ Links ]

[Zanette 2009]

Zanette, D. H. 2009, Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 367, 3311        [ Links ]