Modelado numérico para el estudio del subsuelo en regiones urbanas a través del método de interferometría sísmica
Numerical modelling to study the subsoil of urban regions using seismic interferometry methods
Jahiro Damian Miranda Calvet† & Webe Mansur‡
Instituto Alberto Luiz Coimbra - COPPE. Universidade Federal de Rio de Janeiro
†‡ Laboratorio de Metodos de Modelaje y Geofísica Computacional - LAMEMO ]]>
†Email: jahiro@coc.ufrj.br ‡http://www.coppe.ufrj.br
(Recibido 12 de abril de 2018; aceptado 1 de junio de 2018)
RESUMEN
Medidas basadas en interferometria sísmica pueden ser usadas para monitorear constantemente ruido urbano originado por diversas fuentes como vías de tren, transito en carreteras, construcciones civiles, entre las mas usuales. El ruido de cada fuente es percibido por geo-fonos que tienen la capacidad de grabar extensos periodos de tiempo. Aplicando el metodo de correlacion cruzada sobre los registros adquiridos, es posible recuperar la reflexion de la onda sísmica y conocer el estrato de una region estudiada. La calidad de los registros principalmente depende de la distribucion de las fuentes, el tiempo de grabado y la longitud de onda de cada fuente. Para estudiar la relacion de estas variables, se realizó un modelaje computacional de una prospeccion sísmica sobre tres modelos geologicos relacionados al tunel "Prefeito Marcello Alencar" en Rio de Janeiro, Brasil. Los resultados obtenidos por cada modelo fueron comparados entre una fuente y multifuentes sísmicas. Mostrando así, el potencial que el metodo de prospección IS tiene y cómo podría servir para la prevencion de riesgo urbano.
Codigo(s) PACS: 95.75.Kk — 93.85.Rt — 02.70.Hm
Descriptores: Interferometria — metodos sísmicos — metodos espectrales
ABSTRACT
Measurements based on seismic interferometry can be used to constantly monitor urban noise produced by and transmitted through a variety of sources and media, such as, rail tracks, road traffic and civil constructions. Geophones with the ability to record for long peri-ods of time, measure the noise of each seismic source. Applying the cross-correlation method to the acquired measurements we obtain the retrieved reflection of the seismic wave and the stratum of the studied region. The quality of the data depends on the distribution of the sources, the recorded time and the wavelength of each source. To study the relationship of these variables computational modelling of a seismic survey was carried out on three geolog-ical models related to the "Prefeito Marcello Alencar" tunnel in Rio de Janeiro, Brazil. For each model, the results obtained were compared between a single seismic source and multi-sources. Results demonstrate the potential of the survey method and how it could contribute to the prevention of urban risks.
]]> Subject headings: Interferometry — seismic methods — spectral methods
1. INTRODUCCION
Diversas regiones urbanas alrededor del mundo tienen problemas en el subsuelo, ya sea por causas naturales o por la intervencion humana a través de construcciones civiles. Por ejemplo el ano 2011 en la ciudad de La Paz-Bolivia, un area entre 0.8 y 1 km2 desmorono, dejando aproximadamente 5000 personas damnificadas; la razon aparentemente fue por "una activacion geodinámica, cuyo promer registro data de 1930" (Observador 2011). El 2007 en la ciudad de Sao Paulo en Brasil, colapsó una área urbana que ha sido afectada por la construccion de la línea amarilla de metro (Francisco et al. 2017). La ciudad de Mexico tiene un proceso de subsidencia en el rango de decenas de cm/año debido a la extracción de agua subterranea para el consumo(Tomar et al. 2009).
En todos esos ejemplos es posible percibir denomi-nadantes senales de baja frecuencia, usualmente llamadas por "ruido ambiente", provenientes del subsuelo y que suelen portar informacon de la estructura geologica (estrato) de forma intrínseca en cada senal registrada por un receptor sísmico(Nakata et al. 2011).
Es este articulo se propone aplicar el metodo de interferometrıa sísmica para monitorear el ruido ambiente de forma constante y desde la superficie de areas urbanas, mediante una prospección SSP 1.
Con los datos adquiridos del modelaje computa-cional puede crearse una amplia base de datos que luego serían comparados constantemente con datos reales, adquiridos de una prospeccion sísmica; así, poder interpretar de forma mas precisa alteraciones geologicas en tiempo real y que que sirvan para definir posibles índices de riesgo urbano.
Es por esta razon se ha modelado el tunel "Prefecto Marcello Alencar"2 de la ciudad Rio de Janeio en Brasil, puesto que al rededor tunel, se encuentran diversas estructuras generadoras de ruido sısmico, como ser un aeropuerto para vuelos nacionales, puertos marítimos comerciales en la bahia de Guanabara, lineas de tren, de metro, construcciones civiles y transito urbano (Porto Maravilha 2015; Andreatta et al. 2009).
]]>2. TEORIA
En geofısica se observa los modelos geológicos como un conjunto de lentes opticos, equivalente al sistema presentado en el experimento "los anillos de Newton" en el siglo XVIII. En dicho experimento un haz de luz tiene reflexiones cuando pasa de un medio con propiedades físicas n, para otro medio con propiedades n' (∀n ≠ n'); creado ası, un padrón de interferometría compuesta por regiones de onda con-strutiva y destructiva.
De forma similar, una onda sísmica que viaja a traves de un estrato con diferentes propiedades físicas 
tiene diversas reflexiones ocasiona-dos por cuerpos incrustados en el medio, creando ası un desfase de senal conocida como "estática" (Schul-ster 2009).
La estatica sísmica puede ser corregida aplicando el concepto de "redatuming" (Zhou et al. 2018), basado en receptores virtuales (geofonos) (Mehta et al. 2007), que actuan como si grabaran la senal desde un punto diferente a su posicion de origen (fig.2).
Para expresar de mejor forma una prospeccion por interferometrıa sísmica, partimos de un sistema simple de fuente-receptor (fig.3) donde una onda sısmica que viaja a traves de un medio inhomogéneo es descrita matematicamente por la ecuación diferencial parcial 1 (Wapennar et al. 2010; berkhout 1987).
Cuya clasificacion es definida como una ecuación hyperbolica de solución ƒ(x ± vƒ) , y que expresa la perturbacion del medio percibida por el receptor como una funcion delta de Dirac (Stephenson 1975).
Considerando la función de Green (expresada por la letra G), como una solución de un sistema, se tiene que:
Ahora bien, la solución de la ecuación 1 puede ser resuelta asumiendo que la función de Green es conocida, lo que resume el problema en la integración en una integral doble.
Extrapolando el concepto para s numero de fuentes en la coordenada 
y r numero de receptores en la coordenada 
, dentro de un dominio Ω, tenemos que cada receptor percibira el registro sísmico de cada fuente.
Es decir, si consideramos dos receptores A y B que registran la perturbacion de una misma fuente S, la funcion de Green en cada receptor es determinada por una funcion independiente.
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Aplicando el operador de correlacion sobre las funciones ƒ(t) y g(t), se obtiene la respuesta de la fuente solo entre los dos receptores A y B.
En la figura 4 se observa como el operador de convolucion es aplicado sobre dos registros sísmicos (funciones ƒ(t)y g(t)), donde cada registro es gener-ado por dos receptores (geófonos) A y B, los cuales perciben la primera reflexion de onda de la fuente S. Al aplicar el operador de convolucion sobre esas funciones dan como resultado una funcion de primer orden, esto es equivalente a decir que el receptor B percibe la segunda reflexion de la onda en un desfase de tiempo 
.
En la figura 5 se observa como el operador de correlacion al ser aplicado sobre sobre un registro primario y uno de primer orden, generan una funcion con la que puede discriminarse la posicion de la fuente sısmica. Esto es clave en la IS3 ya que en una prospeccion sísmica es indispensable conocer la localizacion de la fuente para el procesamiendo de datos; sin embargo, al no ser necesario conocer la localizacion de la fuente, resulta ventajoso trabajar con la posicion de los receptores ya que puede trabajarse con una o várias fuentes sin importar su localización original. Así, la correlacion trabaja directamente sobre la funcion de Green (ec. 6), la cuál describe la respuesta de un medio que propaga la perturbacion de una fuente sísmica.
Con base en la teoría de sismologia, la generacion de sismogramas sinteticos 
se rige por la con-volucion de 4 variables fundamentales: s(t) es el ruido de la fuente sísmica, g(t) es la propagacion de la onda, q(t) la atenuacion de la señal en el medio e i(t) que es la respuesta instrumental. Sin embargo, es usual considerar la atencuacion como parte de la respuesta del medio, por lo que puede considerarse tambien a las funciones g(t) y q(t) como una sola variable. Siendo esta respuesta del medio, la función de Green (Batllo & Correig 1987).
La funcion de ruido sísmico en la realidad se comporta como una onduleta (denominada comunmente como "wavelet"), por lo que es necesario aplicar una autocorrelacion a la función s(t) antes de ser convolucionada con la funcion de Green (Wapenaar et al. 2010).
]]> Ası, los sismogramas sintéticos generdos por una fuente de ruıdo sísmico entre dos receptores, es dada por:
Finalmente, habiendo definido la fuente como ruido sísmico, solo resta expresar el caso en que cada receptor pueda percibir un campo de ruido difernete m ó n, para ello es aplicado el concepto de correlacion cruzada (Thorbecke & Draganov 2010).
Para m e n fuentes que pasan por las estaciones A y B, su producto <> dara como resultado el ruido medio del sistema < Sm(t)
Sn(t) >= δmnS(t), donde δij representa la delta de Kronecker.
3. METODOLOGIA
Con la informacion estratigráfíca observada en la figura 1, se construyo una tabla de propiedades físicas de cada material presente en el subsuelo (Mavko 2001; Elbra et al. 2011).
]]> Se implementó tres modelos geológicos (fig. 7) con los que se recuperaro la reflexión de ondas sísmicas y se construyo una comparación gráfica entre una prospeccion con 1 y 100 fuentes sísmicas. Las coordenadas para una fuente sísmica (monofuente) fueron establecidas como constantes, el tiempo de grabado en los receptores fue de 3 [s] y el funcion para la wavelet fue definida por la 1ra derivada de la funcion Gaussiana, dada por g1:
Donde f en la frecuencia maxima (definida en 30[Hz]) y ƒp es la frecuencia de pico (definida en 15 [Hz]); la razon del porqué se está usando esta wavelet es para tener una imagen mas limpia sin dobles amplitudes para una misma reflexion, como es el caso de la segunda derivada de Gauss, tambien conocida como fuente de Ricker wavelet (fig. 6).
Las coordenadas espacio-temporales de las 100 fuentes sísmicas (multifuentes) fueron establecidas como aleatorias, con tiempo de grabado en los receptores de 6, 10, 30, 60 y 120 [s], una frecuencia límite de 30 [Hz] y la wavelet para cada fuente alternada de forma aleatoria entre la funcion Gaussiana g0 , su 1ra y 2da g2 derivada, respectivamente:
Finalmente, la longitud de onda de cada fuente fue establecida en funcion al tiempo de grabación, el tiempo de actividad que tiene cada fuente es aleatoria y no esta restricta a al tiempo de grabación, con lo que cada fuente puede terminar o continuar su perturbacion al medio en cualquier tiempo.
Los geofonos fueron posicionados a cada 10 [m] en la superficie de cada modelo; todas las fuentes fueron definidas como monopolares y el medio de propagacion es de tipo acústico4.
]]> La condicion de borde aplicada en todos los modelos, es tipo PML 5 definida con paredes absorventes.El primer modelo consiste en dos capas con velocidades mınimas (Aterro) y máximas (Gneis) vistas en la tabla 1; en el segundo modelo se aplico una falla de tipo inversa sobre el primer modelo; en el tercer modelo se aplico todas las capas presentes en tPMA (fig. 1).
El hardware usado para el modelado consta de un procesador AMD Phenom(tm) II X4 945, de 4 nucleos de 64 bits, una frecuencia de procesamiento de 0.8-3 GHz y 4GB de RAM sin recurso GPU.
Todo software usado en el modelado es de codigo abierto y bajo licencias GNU: FDELMODC esta enfocado a la interferometría sísmica y permite grabar por extensos periodos de tiempo (Thorbecke 2016); Seismic Unix ejecuta parte de los calculos hechos por FDELMODC y grafica los resultados (Stockwell & Cohen 2002); adicionalmente se usaron lenguages BASH y AWK (Close et al. 1995), para la ejecucion de scripts y procemiento de datos; por último, GNUPLOT en la comparacion de sismogramas (Janert Philipp 2016).
Con esas caracteristicas de hardware, fue necesario evaluar la eficiencia del tiempo en el modelado para las multifuentes; así, se realalizaron diversas pruebas variando el numero de fuentes de 1 a 3000 y posteriormente el intervalo de tiempo de gravado en los receptores para obtener una buena resolucion de imagen (de 1 a 150 [s]); dando un buen resultado al trabajar con 100 fuentes y un intervalo maximo de tiempo de grabado en 120 [s].
El procedmiento inicial para el modejale consiste en crear una malla con espaciamiento bidimensional h entre los nodos, dado por Δh = Δx = Δz, siendo x la distancia (offset) lateral y z la profunidad, ambos dado en metros. El valor Δh es relevante en el modelaje, ya que permite establecer una estabilidad en la discretizacion del sistema a través del número de Courant (0.606 en este caso). Partiendo de las ecuaciónes de Hooke y Newton para un sistema linealizado de 1er. orden, se define la ecuacion de onda para un medio acustico, dada por:
Donde P es el campo de presion acústica, ρ es la densidad, k la compresibilidad Vx campo de veloci-dad lateral y Vz el campo de velocidad en profundidad. Los valores de P, Vx y Vz son establecidos en cada nodo de la malla, para luego ser calculadas a traves de un algoritmo implementado por el método de diferencias finitas, cuya aproximacion es realizada por la ecuacion Crank-Nicolson de 4ta. orden en2D.
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3.1. Modelo 1 con una fuente sísmica
La figura 8 es el resultado de los sismogramas sinteticos para los campos P, Vx y Vz. En las imagenes puede observarse claramente la reflexion generada por la segunda capa, compuesta por Gneis, proximo a los 0.4 [s], cuyo valor teorico es determinado por la relación 
, donde vp es la velocidad de la onda P que se propaga a traves de la primera capa del modelo.
Del conjunto de sismogramas sinteticos generados en cada geofono se extrae el sismograma central, denominado como "traza central", para observar como responde el medio a la perturbacion ocasionada por la fuente sísmica (fig. 9).
3.2. Modelo 1 para multi fuentes sísmicas
La figura 10 es resultado del conjunto de sismograma sinteticos graficados para los campos P, Vx y Vz en los primeros 4[s] de grabado de un total de 10[s]. En ella, aparecen diversas fuentes activas, no dejando clara la reflexion generada por la capa de Gneis.
]]> Para analizar el registro de cada fuente (fig. 11), se observa el sismograma que genera cada una de ellas y un fator de correlacion que permite analizar cuales fuentes pueden ser discriminadas si su valor es proximo a cero (fig. 12).Observando el instante en que cada fuente inicia su actividad y el tiempo que demora activa, puede determinarse el origen de la fuente (como ejemplo en una prospeccion real, la perturbación que ocasiona un tren al pasar por elk area de estudio). También, si la fuente es eventual, pulsante o continua en el tiempo, mediante diversos graficos a lo largo del tiempo (fig. 13).
Haciendo uso de la ecuacion 8 se obtiene la auto-correlacion de las trazas sísmicas de cada fuente y se extrae la traza central (fig. 14).
Sobre la correlacion de la traza central autocor-relacionada con el resto de trazas no autocorrela-cionadas se clasifican los registros sísmicos segun el tipo de valor de tiempo tengan. Valores de tiempo positivos son clasificados como "Funcion Causal", para valores de tiempo negativos los datos son clasificados como "Funcion No Causal". Entiendase, de forma simple, la funcion Causal como el trayecto de onda originada desde la fuente al medio y a la funcion No Causal como el trayecto de onda desde el medio hacia la fuente, siendo está última un caso no real pero con importante contribucion de análisis en el modelado computacional.
Sumando las funciones Causal y No Causal se genera una funcion llamada "ADD", con ella se identificó la reflexion de onda generada por la segunda capa del modelo 1.
La figura 15 muestra la comparacion entre una prospeccion sísmica con 1 y 100 fuentes sísmicas en el modelo 1.
]]> En ella puede observarse claramente que la reflexion generada por la segunda capa aparece proximo a los 0.4 [s] (valor teórico). Sin embargo, cabe mencionar que para el caso de 1 fuente se graficaron los datos de forma directa a la adquisicion y filtrando el ruido ambiente; para el caso de 100 fuentes, se graficaron las funciones ADD, sin filtrar el ruido ambiente y con diferentes intervalos de tiempo de grabado en los receptores. Comparando solo la traza central de cada registro mostrado en la figura 15, se observa como la amplitud del ruido se atenua y deja mas clara la amplitud de la reflexión a medida que se incrementa el tiempo de grabado.Al comparar las trazas centrales en una sola figura (fig. 16), se pbserva una amplitud de reflexion común que representa la reflexion de la segunda capa del modelo.
Sobre el punto maximo de cada cresta de reflexión comun, se hizo una lectura de tiempo con el que posteriormente se realizo una regresión lineal (fig. 17) con tendencia hacia el valor teorico, a mayor número de intervalos para el tiempo de grabado. Caso algun intervalo de tiempo (numero de muestra) esté completamente desfazada al tiempo teorico, puede ser aplicado el criterio de Chauvenet para discriminarlo.
3.3. Comparación de modelos
Repitiendo el mismo procedimiento sobre los modelos 2 y 3, acontinuacion (fig. 18) se presenta para los tres modelos, la comparacion de los sismogramas con una 1 (con 3 [s] de grabado) y 100 fuentes (con 120 [s] de grabado, sin embargo, por razones de escala se presentan ambos en 3 [s]).
Realizando una ampliacion sobre un offset de ±300[m] en el modelo 3 (multifuente), se puede ver que el modelado si muestra la reflexion de las 3 capas presentes por encima del tPMA (19), ya para poder observar la presencia del tunel (donde la senal sísmica es atenuada), es necesario incrementar un tiempo de grabado superior a los 120 [s] y aplicar otros procesamientos sísmicos como inversion de onda, migracion entre los más relevantes o espectro de velocidades en profundidad.
]]> Observando las trazas centrales para cada modelo con 1 y 100 fuentes, se observan amplitudes comunes que indican la reflexion de onda (fig. 20).
El pico comun de reflexión en las trazas centrales de los modelos 2 y 3, con 1 y 100 fuentes, se presenta en la figura 21, en ella se realiza la lectura de tiempos que son marcados sobre la mayor amplitud, indicadas por las flechas azules.
3.4. Conclusiones
La comparacion hecha en cada modelo para una prospeccion con una o varias fuentes sísmicas presentan resultados similares, esto demuestra que el metodo IS es una potencial herramienta de prospeccion no sólo aplicada en la geofísica, si no tambien, en áreas relacionadas a propagación de ondas en medios físicos, como se ve en ciencias e in-genierias. Con lo observado en este trabajo se concluye que los objetivos propuestos fueron alcanzados satisfactoriamente, puesto que la principal hipotesis planteada fue la efectividad del metodo IS comparado con una prospeccion sísmica tradicional.
En los modelos 1 y 2 (fig. 18) se observo con claridad la reflexion de onda ocasionada por la presencia de la capa de Gneis. Sin embargo, en este estudio no se aplico el análisis de mínima resolucion debido, es posible incrementar el tiempo de grabado en tiempos de grabado mucho mayores, así percibir una mınima variación de en las capas del modelo geologico, aunque esto representa un mayor costo de recursos computacionales en el modelado; pese a ello, el mismo metodo IS aplicado a fecuenciasa´un menores, permite estudiar microfallas desde el campo de la microsísmica. En el modelo 3 se puede observar la presencia de las diferentes capas geologicas del modelo propuesto inicialmente, aunque la intensidad de reflexión de las multiples ondas sísmicas haya resultado algo tenue. Para mejorar esto, es neceario incrementar el intervalo de tiempo de grabado en los receptores. Otra forma de mejorar esto es considerar regiones de mayor influencia, por ejemplo que todas las fuentes estén distribuidas aleatoriamente próximas a la superficie sin exceder unas decenas de profundidad; en un proximo articulo se espera mostrar los resultados de esta ultima afirmación sobre el tPMA y pruebas similares aplicadas a mineria.
Los resultados obtenidos en este trabajo hacen parte de una base de datos para modelos acusticos, el siguiente paso a seguir es continuar el modelado aplicado a medios con propiedades fısicas tipo elasticas, viscoelásticas y viscoacústicas, sobre estratos mas complejos que puedan reflejar en mejor medida diversas estructuras geologicas reales.
Con todo el procedimiento mostrado, puede construirse una red de receptores distribuidos en una region urbana que generen registros sísmicos constantemente, con esos datos crear modelos sinteticos que reproduzcan no solo el estrato en tiempo real, si no tambien ofrecer las propiedades del medio como ser su densidad y velocidades sísmicas entre otras importantes.
]]>NOTAS
1 SSP - Surface Seismic Profile
2 El tunel Prefecto Marcello Alencar tendrá el acrónimo de tPMA en este artículo.
3 IS - Interferometría sísmica
4 Los medios de propagación pueden ser de tipo acústico, elástico, viscoacústico y viscoeslástico.
5 PML - Perfectly Matched Layer
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