ACERCA DEL MOVIMIENTO ORBITAL DE LA LUNA

ON THE MOON'S ORBITAL MOVEMENT

Diego Sanjinés C.
Instituto de Investigaciones Físicas, Carrera de Física
Universidad Mayor de San Andres
C. 27 Cota-Cota, Campus Universitario, Casilla de Correos 8635 La Paz - Bolivia

Resumen

Se sabe que el Sol ejerce sobre la Luna una fuerza gravitacional aproximadamente igual al doble de la que la Tierra ejerce sobre la Luna. Entonces, ¿por que la Luna permance en su orbita alrededor de la Tierra? Esta cuestión se presenta como una oportunidad para revisar los conceptos basicos de la física heredados de los cursos tradicionales de la educacion en ciencias. El problema del movimiento de la Luna se resuelve con un mínimo de aproximaciones y se demuestra que mientras la Tierra y la Luna se mueven simultaneamente en torno al Sol, la influencia de la Tierra perturba el movimiento de la Luna de tal forma que su movimiento relativo con respecto a la Tierra resulta ser aproximadamente elíptico, como si la Tierra estuviera en reposo y se ignorara la interaccion entre la Luna y el Sol.

Codigo(s) PACS: 01.65.+g— 96.12.De

Descriptores: Historia de la ciencia — Dinamica orbital y rotacional

Abstract

We know that the Moon is acted upon by the Sun with a force which is approximately the double of that with which the Moon is acted upon by the Earth. What is therefore the reason for the Moon to stay in its orbit around the Earth? This question is presented here as an opportunity to review basic concepts in physics inherited from the traditional courses in science education. The problem of the Moon's movement is solved here with a minimum of approximations and we demonstrate that while the Earth and the Moon move simultaneously around the Sun, the influence of the Earth perturbs the Moon's movement such that its resulting relative movement respect to the Earth is approximately elliptic, as if the Earth laid in rest and we ignored the interaction between the Moon and the Sun.

Subject headings: History of science — Orbital and rotational dynamics

La forma usual de introducir el concepto de gravitacion universal en los cursos iniciales de ciencias es el enfoque newtoniano tradicional. Ası, siguiendo la descripcion original de Newton (Fig.1), el sistema Tierra-Luna sigue la misma evolucion dinámica que los planetas en torno al Sol. Esto se sugiere en libros de texto conocidos, por ejemplo, Resnick-Halliday-Krane (Resnick et al. 2000) (capítulo 16) y aun en textos de Mecanica Clásica intermedia, como por ejemplo, Symon (Symon 1953), donde el sistema Tierra-Luna se puede considerar como un sistema gravitacionalmente aislado, es decir, donde la influencia de otros cuerpos celestes sea despreciable (Fig.2). Una cuestion interesante que se plantea en Resnick et al. (2000) llama sin embargo la atencion: La fuerza gravitatoria ejercida por el Sol sobre la Luna es de alrededor el doble de la fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra sobre la Luna. ¿Por qué, entonces, no escapa la Luna de la Tierra? La razon del "sin embargo" -lo confieso- es que durante casi 3 decadas de enseñar física siempre pense que la fuerza ejercida por el Sol sobre la Luna era despreciable comparada con la que la Tierra ejerce sobre la Luna, así que era natural considerar de manera aproximada al sistema Tierra-Luna como un sistema gravitacionalmente aislado del resto de los cuerpos celestes. Los calculos confirman esta suposición pues las cifras que se obtiene son bastante aproximadas a los valores conocidos para la distancia y periodo del movimiento orbital de la Luna en torno a la Tierra (Resnick et al. 2000; Symon 1953). Y para mayor confirmacion encontramos en los célebres Principios Matemáticos de la Filosofía Natural (Newton 1934) (Libro III) las palabras del mismo Newton:

PHENOMENON VI: That the moon, by a radius drawn to the earth's centre, describes an area proportional to the time of description. This we gather from the apparent motion ofthe moon, compared with its apparent diameter. It is true that the motion of the moon is a little disturbed by the action of the sun: but in laying down these Phenomena, I neglect those small and inconsiderable errors.¹

Y en otro lugar de la obra citada se lee la suposicion que hace Newton del sistema Tierra-Luna como un sistema gravitacionalmente aislado (ya que si no hubiera atraccion de la Tierra, la Luna seguiría una trayectoria rectilínea):

PROPOSITIONIV.1 THEOREMIV: That the moon gravitates towards the earth, and by the force of gravity is continually drawn off from a rectilinear motion, and retained in its orbit.

Notese que en la última frase del PHENOMENON VI Newton sostiene despreciar los "pequeños e inconsiderables" errores debidos a la accion del Sol sobre la Luna. Sin embargo, un calculo elemental muestra que esta afirmacion debe interpretarse cuidadosamente, pues de otra forma podríamos suponer que Newton se equivoco. Veamos: la expresión para la fuerza de atraccion gravitacional F entre dos cuerpos de masas m1 y m₂ que estan separados por una distancia r1₂ es , donde G es la constante de gravitacion universal. Tomando los datos de las masas de la Tierra (M), el Sol (M_S) y la Luna (m), junto a las distancias Tierra-Luna (r), Sol-Luna (Rl) y Sol-Tierra (R), se obtiene los siguientes cocientes aproximados: M/M_S = 3 x 10^-6, m/M = 0.01228, r/R = 0.00255, R_L/R = 1 ± 0.00255 1; luego, el cociente aproximado de las fuerzas Sol-Luna (F_L) y Tierra-Luna (F) es F_L/F = 2.16. Es decir, la fuerza Sol-Luna es aproximadamente el doble de la fuerza Tierra-Luna, tal como se refiere en (Resnick et al. 2000).

donde la aceleracion de la Tierra obedece a su vez . Por otro lado, ya que el cociente de las distancias Tierra-Luna y Sol-Luna es pequeño , se puede desarrollar en serie . Luego, la ecuacion (1) se escribe como

Ya que 1 ≫ m/M ≫ M/MS ≫ (r/R)³, la ecuación (2) se puede aproximar por

donde el valor numerico del segundo término en el lado derecho es aproximadamente 0.005 veces el valor del primer termino. Vemos entonces que dicho segundo termino es una corrección de la ecuación que corresponde al movimiento orbital de la Luna en torno a la Tierra cuando este sistema se considera gravitacionalmente aislado. Esta es la forma en que se debe considerar que el efecto dinamico del Sol en el sistema Tierra-Luna es relativamente pequeno (recordemos que aún el Sol ejerce sobre la Luna casi el doble de la fuerza que la Tierra ejerce sobre la Luna), de donde resulta que el movimiento orbital de la Luna en torno a la Tierra es aproximadamente una elipse. La palabra "aproximadamente" esta enfatizada pues contrasta de manera radicalmente opuesta con una frase que se encuentra en El Nuevo Cosmos (Unsóld 1977) de A. Unsold (cap. 4): "La órbita de la Luna alrededor de la Tierra es exactamente una elipse con excentricidad e = 0.055" (las italicas son mías).

En vista del resultado expresado en la ecuacion (3), ya podemos redactar una respuesta adecuada a la pregunta formulada al principio de este trabajo (¿Por que, entonces, no escapa la Luna de la Tierra?): la Luna y la Tierra se mueven de forma simultanea en sus trayectorias orbitales en torno al Sol, donde el movimiento de la Luna esta perturbado por la presencia proxima de la Tierra, por lo que la trayectoria orbital relativa de la Luna con respecto a la Tierra resulta ser aproximadamente una elipse.³ Así, en la frase Perturbatur autem motus Lunaris aliquantulum a vi Solis (traducida como "Ya que el movimiento de la Luna es ligeramente perturbado por la fuerza del Sol") del PHENOMENON VI de los Principia podemos conceder que lo que Newton quiso decir fue que el desprecia los pequeños e inconsiderables "efectos dinamicos" que resultan de la acción del Sol sobre la Luna, aunque la fuerza entre el Sol y la Luna no sea pequena comparada con la fuerza entre la Tierra y la Luna.

NOTAS

² El angulo entre el plano orbital de la Luna en torno a la Tierra y la eclíptica es aproximadamente 5^o (Unsold 1977).

³ Esta conclusion puede suponerse provisional en tanto no se demuestre que los posibles efectos de no tomar en cuenta las aproximaciones (i) y (ii) consideradas en este trabajo tienen magnitudes numericas suficientemente pequeñas con respecto a la magnitud de la correccion en la ecuación (3) (segundo término en el lado derecho). Sin embargo, no existe una razón a priori por la que dichos efectos puedan cancelar la correccion de la ecuación (3), por lo que aun sin las aproximaciones (i) y (ii) habra una corrección al movimiento orbital elíptico de la Luna.

REFERENCIAS

Resnick R., Halliday D. & Krane K. (2000), FISICA, Vol. 1 (Grupo Patria Cultural)        [ Links ]

Sir Isaac Newton's. (1934), Mathematical Principles of Natural Philosophy and his System of the World (University of California Press)        [ Links ]

Symon K. (1953), MECHANICS (Addison-Wesley) Unsóld A. (1977), EL NUEVO COSMOS (Siglo XXI)        [ Links ]