SINCRONIZACION Y ESTABILIDAD EN UN SISTEMA COMPUESTO POR DOS OSCILADORES QUIMICOS IDÉNTICOS
SYNCHRONIZATION AND STABILITY IN A SYSTEM OF TWO IDENTICAL CHEMICAL OSCILLATORS
S. A. Oporto Almaraz1"
Carrera de Ciencias Químicas
Universidad Mayor de San Andres
Campus Universitario Cota Cota. Casilla 303 ]]>
La Paz - Bolivia
G. M. RamIrez Ávila*
Instituto de Investigaciones Físicas, Carrera de Física
Universidad Mayor de San Andres c. 27 Cota-Cota, Campus Universitario, Casilla de Correos 8635
La Paz - Bolivia
(Recibido 24 de Septiembre de 2014; aceptado 17 de Octubre de 2014)
Empleando el Oregonator como modelo de la reaccion de Belousov-Zhabotinsky, se llevó a cabo el estudio del proceso de sincronizacion de dos osciladores idénticos con acoplamiento bidireccional diagonal; ademas, tomando como parámetro el coeficiente de acoplamiento, se analizo la estabilidad del régimen de sincronización en términos del máximo exponente transversal de Lyapunov. Se identifico la secuencia perturbación-regulación-ajuste tanto para la auto-organizacion del sistema compuesto sincronizado como para su mantenimiento luego de ser sometido a perturbacion.
Codigo(s) PACS: 05.45.Xt — 82.40.Bj — 82.40.Qt
]]> Descriptores: Sincronzacion; osciladores acoplados — Oscilaciones, caos y bifurcaciones — Sistemas químicos complejosABSTRACT
Using the Oregonator as a model for the Belousov-Zhabotinsky reaction, we studied the synchronization process of two identical oscillators with diagonal bidirectional coupling. We analyzed the stability of the synchronous regime in terms of the largest transversal Lyapunov exponent by considering the coupling strength as the main parameter. We identified the sequence perturbation-regulation-adjustment both for the system's self-organization and for its maintenance when it is perturbed.
Subject headings: Synchronization; coupled oscillators — Oscillations, chaos, and bifurcations — Complex chemical systems
1. INTRODUCCIÓN
La emergencia de propiedades nuevas es una característica de los sistemas complejos; un caso clásico es la situación explicada en Goldbeter (1994), donde la agregación de una población crítica de dictyostelium discoideum para formar una estructura multicelular diferenciada es capaz de generar nuevas cepas; un otro ejemplo es el fenómeno de respuesta de una población de luciérnagas hembra al proceso de sincronizacióon de una poblaci ´on de luciérnagas macho que se detalla en Ramírez Avila et al. (2011).
La sincronización constituye un aspecto de la interacción de dos o más osciladores auto-sostenidos en el que se lleva a cabo el ajuste de sus ritmos de oscilación, y puede ocurrir en poblaciones de insectos, células card´ıacas o nerviosas como se menciona en Pikovsky et al. (2001); en circuitos electr´onicos tales como los descritos en Ramírez ´ Avila et al. (2003) y Conde Saavedra (2007); o algunos que pueden ser importantes en telecomunicaciones como el referido en Pecora et al. (1997); además de osciladores químicos como los presentados en Toth et al. (2006). El acoplamiento difusivo de dos osciladores en la reaccion de Belousov-Zhabotinsky (BZ) expuesto en Field et al. (1972) ha sido estudiado tanto desde el punto de vista teorico como experimental tal como lo muestran Crowley & Epstein (1989), Bar-Eli (1990) y Doumbouya et al. (1993). Los fenomenos observados se atribuyen a su dinamica en relación con el flujo de sustancia entre los reactores. Así, en un sistema de dos osciladores identicos y con distintos volúmenes se tiene cuasiperiodicidad y caos tal como lo menciona Doumbouya et al. (1993); en otro caso, dos osciladores BZ parametricamente distintos pueden sincronizar en fase o fuera de fase, como lo senala Crowley & Epstein (1989).
En el presente trabajo se emplea como modelo de la reaccion BZ el Oregonator tal como se plantea en Field & Noyes (1974), es decir, un esquema de cinco etapas irreversibles y tres variables dinamicas asociadas a especies quımicas, a partir del cual se estudia la sincronizacion y su estabilidad en un sistema de dos osciladores identicos acoplados difusivamente. La dinamica del Oregonator está descrita por el sistema de ecuaciones diferenciales expuesto en Gray & Scott (1994):
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2. MODELO Y SU ANÁLISIS
2.1. Osciladores idénticos
2.2. Efecto del acoplamiento. ]]>
El sistema formado por los osciladores idénticos O1 y O2 acoplados difusivamente tiene dimensión 6 y está representado por las ecuaciones cinética
del Oregonator para cada oscilador, segun (1), y adicionalmente un termino de acoplamiento bidireccional diagonal entre las variables del mismo tipo tal como se explica en Stefanski (2009) y Boccaletti (2008):
dicha interaccion es la misma para todas las variables, de acuerdo a la matriz por bloques de matrices identidad 
y esta cuan-tificada por el coeficiente de acoplamiento
introducido en Crowley & Epstein (1989), donde k es la constante asociada al flujo de sustancia entre uno y otro reactor, p es la intensidad de acoplamiento y T0 = (fcoB)-1 = 1 es la constante de reescalamiento del tiempo, tal que
de modo que el tiempo físico, t, coincide con el tiempo adimensional,
Considerando que los osciladores O1 y O2 estan acoplados segun (3) con k = 0.01 y un valor de p = 1.5 de modo que C = 0.015. Entonces, la integracion del sistema de ecuaciones a partir de las condiciones iniciales r10 y r20de la Tabla 1 proporciona la informacion que se muestra en la Figura 3. En las Figuras 3(a) y 3(b) se superponen, respectivamente, las trayectorias en el espacio de fases y las series temporales de la variable x de los osciladores acoplados, observandose una perturbación de sus trayectorias y en consecuencia de las amplitudes y períodos, seguido de la regulacion de dicho efecto caracterizada por la disminucion progresiva de la diferencia de fase, hasta que esta se anula una vez que ambos subsistemas ajustan sus ritmos de oscilacion sobre el ciclo límite que caracteriza al regimen de sincronización. En la Figura 3(c) se muestra la proyeccion del espacio de fases
donde los puntos sobre la recta
conforman la componente x de dicha variedad, a la cual se denomina variedad de sincronización, simbolizada por A:
tal como se especifica en Pecora et al. (1997) y Stefanski (2009), sobre la que tiende la dinámica de los osciladores a medida que estos sincronizan; de
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modo que la dimension del sistema acoplado disminuye a la mitad, de 6 a 3. En la Figura 3(d) se observa la disminucion en el tiempo del error medio de sincronización introducido en Boccaletti (2008) y utilizado en Ramírez Avila (2007). Se lo denota por (e(r)} y esta definido por la distancia entre las trayectorias correspondientes a O1 y O2 al tiempo 
2.3. Estabilidad de la variedad de sincronización.
Una vez que los osciladores O1 y O2 acoplados y descritos por el sistema de ecuaciones (3) llegan a sincronizar completamente constituyen un sistema compuesto, O1O2, de dimensión 3, en el que la magnitud de las variables din´amicas son las mismas a cualquier tiempo en uno y otro reactor y pertenecen a la variedad de sincronización periódica cuya dinámica está descrita por las ecuaciones diferenciales del Oregonator evaluadas en A:
Se resalta el hecho de que si bien el termino difusivo en (3) se anula una vez que se alcanza el regimen de sincronización, éste puede volver a manifestarse bajo una variacion en el sistema 01O2 que hara que los osciladores O1 y O2 se distingan.
Considerando una perturbacion en las concentraciones de las especies químicas de los osciladores y manteniendo constantes los parametros de control, de modo que se generen trayectorias distintas en el espacio de fases correspondientes a los osciladores del sistema compuesto 
En este caso, la dinamica del sistema se reescribe en terminos de la componente transversal de la perturbacion respecto a la variedad de sincronización,
como se expone en Pecora et al. (1997) y Mosekilde et al. (2002); y una vez realizado el analisis de estabilidad lineal como se plantea en Pikovsky et al. (2001), Stefanski (2009) y Boccaletti (2008), se tiene la forma:
La convergencia o divergencia de la trayectoria de la perturbacion transversal determina la estabilidad de la variedad de sincronizacion, la cual es evaluada calculando el maximo exponente transversal de Lyapunov
asociado a (9); como se menciona en Stefanski (2009), la relación entre este exponente y el coeficiente de acoplamiento es:
donde
es el maximo exponente longitudinal de Lyapunov asociado a la ecuacion (11) siendo además equivalente al exponente de Lyapunov de un oscilador en ausencia de acoplamiento.
Se estudio un intervalo de valores del coeficiente de acoplamiento C de [0.0004, 0.0200], con pasos de 0.0001 para el subintervalo [0.0004,0.0015] y 0.0020 en el subintervalo [0.0020,0.0200]. La eleccion de las condiciones iniciales se hizo considerando que estas corresponden a un punto proximo a la variedad de sincronizacion, según dos casos: 1. se emplea una misma condicion inicial para cada valor de C y 2. se emplea una condicion inicial diferente para cada valor de C. En la Figura 5 se tienen los maximos exponentes transversales para el caso 2.
En la Tabla 2 se muestra el ajuste lineal de los
2.4. Aspectos numéricos
La integracion numérica de las ecuaciones diferenciales se llevo a cabo empleando el método de Runge-Kutta de cuarto orden con paso de integracion de 0.01 y tolerancias absoluta y relativa, ambas, de 10-10, a partir de la cuales se obtuvieron las trayectorias en el espacio de fases, las series temporales y, con base en estas, el error medio de sincronizacion.
Para el calculo de los exponentes de Lyapunov se empleo el algoritmo propuesto por Wolf et al. (1985), el cual se basa en el conjunto ortonormal 
que resulta de la ortonormalizacion por el metodo de Gram-Schmidt de los vectores propios obtenidos al paso de iteración
; de modo que el k-esimo exponente de Lyapunov es según Stefañski (2009) y Parker & Chua (1989):
donde L es el numero de particiones del tiempo total. Con base en este algoritmo, se empleo el programa implementado por Govorukhin (2004) con un paso de iteracion 
= 0.01, L = 600000, tolerancia absoluta de 10-3 y tolerancia relativa de 10-6.
3. DISCUSION
Segun (8), el sistema compuesto sincronizado O1O2 tiene la misma dinamica y restricciones parametricas de los osciladores a partir de los cuales se configuro; pero a la vez tiene asimilado el termino difusivo a través del cual sus partes se integran. Por tanto, el proceso perturbación-regulación-ajuste puede considerarse un fenomeno de auto-organizacion cuyo resultado es la emergencia del sistema compuesto completamente sincronizado O1O2. En este sentido el ciclo límite que caracteriza a dicho regimen adquiere el atributo de variedad de sincronizacion.
La dependencia del transiente respecto a la magnitud del coeficiente de acoplamiento segun una ley de potencia (7) indica que el acoplamiento implica la sincronizacion de 01 y O2 a un tiempo dado en el intervalo de C estudiado; segun (6), la tendencia de los osciladores acoplados a sincronizarse tambien se evidencia por la ley exponencial decreciente del error de sincronizacion a un tiempo de 250 respecto a C.
De acuerdo al analisis de estabilidad lineal de la variedad de sincronizacion correspondiente al sistema compuesto O1O2, C pasa a ser un parametro estructural a traves del cual una perturbación genera una asimetrıa que restituye el término difusivo. Lo anterior se refleja en la dinamica de la perturbacion transversal a dicha variedad (9), cuyo máximo exponente transversal de Lyapunov,
esta relacionado de forma lineal con C, tal como se muestra en la Tabla 2; salvo factores asociados al calculo numerico, estos resultados pueden aproximarse a la relación
En tanto que este valor del maximo exponente longitudinal de Lyapunov este asociado al ciclo límite que caracteriza a la variedad de sincronizacion, se tendrá que
lo que indica que dicha variedad es estable siempre que C > 0.
Las restricciones al valor de C provienen de las escalas de tiempo en las que puede llevarse a cabo un proceso disipativo, es decir, estos valores deberan estar acordes a lo que pueda observarse experimental-mente; en este sentido, es de esperarse que para valores muy grandes o muy pequenos de C no se tenga sincronizacion.
La rapidez de convergencia de la perturbacion transversal a la variedad de sincronizacion aumenta exponencialmente conforme aumenta el valor de C, de lo que se infiere que dicha variedad es estable dentro el intervalo de C estudiado.
La estabilidad de la variedad de sincronizacion que caracteriza al sistema O1O2 esta asociada al mantenimiento del mismo en terminos del proceso perturbación-regulación-ajuste propuesto anteriormente. Considerando la dimension del sistema, este proceso corresponde a la secuencia:
Una perturbacion (1) en el sistema compuesto sincronizado O1O2 hace que ambos osciladores se diferencien de modo que la dimension del sistema acoplado se duplica pasando de R3 a R6; el amortiguamiento de la perturbacion en cada oscilador se da a traves de un proceso de regulación (2) hasta el ajuste de los ritmos de oscilacion sobre la variedad de sincronizacion (3), restituyendo ası la dimensión del sistema compuesto O1O2.
La secuencia (18) no resulta el proceso inverso de (17). De hecho, respecto a (16), en el sistema compuesto O1O2 perturbado, el término
pasa a ser la perturbacion transversal a la variedad de sincronización
,y en este sentido la secuencia de regulacion-ajuste adquiere un significado nuevo pues implica el restablecimiento del regimen síncrono y en consecuencia el mantenimiento de O1O2. Lo anterior, es relevante en el sentido de que, respecto a sus partes, la complejidad del sistema compuesto sincronizado O1O2 radica en la emergencia de propiedades nuevas.
como se muestra en Pecora et al. (1997); en este caso, el coeficiente de acoplamiento tiene un caracter crítico y en consecuencia la variedad de sincronizacion puede ser estable o inestable, lo que significa que el sistema compuesto puede ya sea mantenerse o disgregarse.
4. CONCLUSIONES
Empleando como modelo el Oregonator, el acoplamiento difusivo de los osciladores identicos y fuera de fase O1 y O2 conduce a la auto-organizacion, a través del proceso perturbación-regulacion-ajuste, del sistema compuesto 0102, el cual representa una estructura emergente caracterizada por una variedad de sincronizacion que mantiene la no linealidad del Oregonator y en la que se encuentra asimilado el termino de acoplamiento difusivo. De acuerdo a una ley de potencia que relaciona el transiente con el coeficiente de acoplamiento, se deduce que la sincronizacion ocurre en el intervalo de C estudiado.
En el sistema compuesto el coeficiente de acoplamiento pasa a ser un parametro estructural a traves del cual una perturbación restablece el termino difusivo y a la vez el proceso de regulación-ajuste, dando lugar al mantenimiento del sistema O1O2. Lo anterior significa, en terminos de los exponentes de Lyapunov longitudinal y transversal a la variedad de sincronizacion, que ante una perturbacion, el ciclo límite, con
que caracteriza al regimen síncrono es estable; es decir,
para un valor de C distinto de cero.
La complejidad del sistema sincronizado O1O2 deriva del caracter compuesto de su estructura en la que sus partes se encuentran integradas a traves del acoplamiento, generando como un todo nuevas propiedades respecto a los osciladores aislados, tales como el mantenimiento del regimen síncrono.
Una de las perspectivas de este trabajo es el estudio experimental del fenomeno de sincronización de dos osciladores que siguen la reaccion BZ con diferentes tipos de acoplamiento y, de forma analoga, llevar a cabo el estudio con base en modelos mas completos para la reaccion BZ.
AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen a Andrzej Stefanski y Tomasz Kapitaniak por las sugerencias y, en este mismo sentido, S.A.O.A. agradece a Gabriela Conde Saavedra y Zui Oporto Almaraz.
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