y 
, como entrada, y debido a la linealidad de la mecánica cuántica la salida será la superposición F(+), es decir, llevo a cabo dos cálculos en un solo paso ([102005Heiss]).
Bits cuánticos en un circuito LC con carga discreta
Quantum bits in a LC circuit with discrete charge
M. Calcina Nogalesa,b,f
aDepartamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá,
Casilla 7-D, Arica, Chile ]]>
bInstituto de Alta Investigaci ´on, Universidad de Tarapacá,
Casilla 7-D, Arica, Chile
(Recibido 26 de Febrero de 2014;
aceptado 29 de Abril de 2014)
Resumen
Se propone un circuito LC con carga eléctrica discreta como sistema alternativo para la realización de un bit cuántico. Considerando la energía de una fuente oscilatoria como perturbación, se da una descripción de la manipulación de un bit cuántico a través de las oscilaciones de Rabi. A diferencia de las oscilaciones de Rabi estándar, se demuestra que la frecuencia de Rabi tiene una dependencia con el parámetro mesoscópico C/L.
Código(s) PACS: 85.85.+j - 03.67.-a - 73.23.-b
Descriptores: Sistemas nano-electromecánicos - Información cuántica (qubits) - Transporte electrónico (en sistemas mesoscópicos)
Abstract
]]> We propose an LC circuit with discrete electric charge as an alternative system for the realization of a quantum bit. Considering the energy of an oscillatory source as a perturbative term, we describe the manipulation of such quantum bit by means of Rabi oscillations. Unlike the standard Rabi oscillations, we show that the Rabi frequency depends on the mesoscopic parameter C/L.Subject headings: Nano-electromechanical systems - Quantum information (qubits) - Electronic transport (in mesoscopic systems)
1 Introducción
La teoría mesoscópica y nanofísica son hoy en día importantes áreas de investigación gracias a sus diversas aplicaciones en nanotecnología ([111997Imry,52005Datta,41995Datta]). Dichos campos contemplan dispositivos tales como: puntos cuánticos, alambres cuánticos, resonadores electrónicos, corriente persistentes en anillos metálicos, etc. ([111997Imry,52005Datta,41995Datta,102005Heiss,62005de los Santos,92001Gardner et al.Gardner, Varadan & Awadelkarim]). En particular, muchos de estos sistemas pueden ser modelados y estudiados a través de los llamados circuitos cuánticos mesoscópicos ([141996Li & Chen]), los cuales tienen como característica sustancial contemplar en su teoría la naturaleza discreta de la carga eléctrica. Fenómenos tales como bloqueo de Coulomb ([32005Chen et al.]), corrientes persistentes ([141996Li & Chen]), magnificación en la corriente cuántica ([82002Flores et al.]) han sido estudiados dentro de este contexto.
El presente trabajo, muestra una nueva aplicación de la teoría de circuitos cuánticos a la computación cuántica ([172000Nielsen & Chuang]). La computación cuántica ha prometido ventajas importantes desde el punto de vista de la realización de tareas computacionales en tiempos menores que cualquier ordenador convencional. Existen varios sistemas propuestos y ampliamente estudiados como candidatos para construir bits cuánticos (qubits) ([162008Nakahara & Ohmi]). En el contexto estándar, una computadora clásica de un bit es una maquina que toma una entrada de 0 o 1, y calcula la correspondiente salida f(0) o f(1) evaluando la función f dos veces. Por otro lado, una computadora cuántica de un bit puede tomar la superposición de los estados y , como entrada, y debido a la linealidad de la mecánica cuántica la salida será la superposición F(+), es decir, llevo a cabo dos cálculos en un solo paso ([102005Heiss]).
En el presente trabajo, tratamos un candidato para la construcción de un bit cuántico (qubit), el cual es básicamente un circuito LC mesoscópico con carga discreta y con dos estados energéticos. Daremos una breve descripción del sistema LC y plantearemos las características necesarias para la construcción del bit cuántico. Asimismo, daremos la descripción de la manipulación de estos estados a través de las oscilaciones de Rabi.
2 Circuito LC con carga discreta: Construcción de un sistema de dos estados (qubit)
La manera más simple de construir un qubit es a través del uso de un sistema cuántico que actúe solamente entre dos niveles energéticos, por ejemplo, los estados fundamental y primer estado excitado de un circuito LC de carga continua. Sin embargo, en este sistema todas las transiciones entre estados vecinos son degenerados como resultado de la forma parabólica del potencial. Ello hace que cualquier intento de producir oscilaciones de Rabi, necesarias para la manipulación de estados cuánticos, originaría transiciones entre niveles superiores ([132005le Bellac]) (participación de más de dos estados). De esta manera, la energía de transición entre los estados fundamental y primer estado excitado debe ser suficientemente diferente con la energía de las transiciones entre niveles superiores ([72004Devoret et al.Devoret, Wallraff & Martinis]), ello con el fin de que al sistema le sea menos accesible dichos niveles energéticamente altos y así reducir el sistema n-dimensional a uno de dos niveles. Para lograr esta diferencia se debe introducir efectos no lineales, en nuestro caso, estos efectos son logrados a partir de la introducción de un inductor de carga discreta, la cual, como se verá, deberá originar un espectro no lineal. A continuación, damos la descripción del completo set de estados del sistema LC de carga discreta.
]]> Acorde a la cuantización estándar, obtenemos un hamiltoniano clásico en función de las variables conjugadas q (carga) y
(flujo), luego, se asocia a cada una de estas variables clásicas un operador hermítico y el hamiltoniano cuántico correspondiente al sistema LC con carga discreta ([141996Li & Chen]) es:
donde C es la capacitancia del condensador, L la inductancia del solenoide. Los operadores carga
y flujo 
satisfacen la regla de conmutación 
Naturalmente, el primer término del lado derecho de la Ec. (1) hace referencia a la energía del capacitor y el segundo término a la energía del inductor. Notemos que en el límite
, la Ec. (1) se reduce al hamiltoniano usual de un circuito LC con carga continua.
Es posible reducir la ecuación de Schrödinger, para el hamiltoniano de la Ec. (1), a una forma de ecuación de Mathieu ([141996Li & Chen]) cuya solución es ampliamente conocida. Las funciones de onda del sistema son:
donde se ha tomado las soluciones de orden par debido a la periodicidad 
de la función de onda en el espacio
En este caso r=0, 1,2,… , 
son las funciones periódicas de Mathieu. El espectro de energía se expresa en términos de los valores a2r and b2r+2 de la ecuación de Mathieu ([151964McLachlan,11970Abramowitz & Stegun]), dicho espectro es:
La figura 1 muestra el espectro del sistema E(ξ) como función del parámetro ξ. Naturalmente, es posible colocar al sistema en un régimen capacitivo o inductivo dependiendo del valor del parámetro. Cabe mencionar que este espectro es altamente no lineal y muy diferente al de un circuito LC de carga continua.
Ahora para construir un qubit, truncamos el espacio de Hilbert y nos quedamos con los dos primeros estados. Desde un punto de vista físico, el sistema puede adoptar cualquier estado del espacio de Hilbert multidimedional (r=1,2,…). Sin embargo, notemos que la diferencia entre niveles contiguos de energía se hace aun más grande para niveles superiores de energía (Fig. 1). Esto es en un sentido muy conveniente, pues garantizamos que al sistema le sea menos accesible dichos niveles superiores, es decir, el sistema necesitará de energías aun más grandes para acceder a ellos. Naturalmente, esto es logrado siempre y cuando se mantengan las condiciones experimentales necesarias de mantener al sistema en órdenes de energía equivalentes a los primeros estados energéticos.
Figure 1: Espectro de energía como función de
. Las curvas solidas y segmentadas corresponden a E2r y E2r+2 respectivamente. Las fluctuaciones térmicas pueden ser también una fuente de decoherencia1 y el sistema podría adoptar otros estados cuánticos diferentes a los dos primeros estados y 
, es por ello que se supone que las temperaturas son cercanas a cero satisfaciendo
, donde 
está asociado con la diferencia de energía del primer estado excitado y el fundamental. Asumiendo lo previo, el espacio de Hilbert infinito puede ser reducido a aquel generando por los vectores y (bit cuántico). Luego tenemos que:
donde A y B son constantes de normalización,
con autovalor:
y
con autovalor:
3 Manipulación de qubits: Oscilaciones de Rabi
La manipulación de un qubit es lograda a través de la aplicación de parámetros de control externo, como la de una onda de frecuencia 
y amplitud 
. Si la frecuencia de la onda aplicada al sistema es ajustada a la frecuencia de resonancia, ′, de la transición entre los estados 
, un periódico intercambio de energía pude ocurrir entre la onda y el sistema de dos niveles. Este periódico intercambio es denominado oscilaciones de Rabi ([132005le Bellac,122010Kok & Lovett]). Para la manipulación de nuestro sistema de dos niveles (qubit), introducimos una fuente de potencial periódico 
, como agente externo, y utilizamos la teoría estándar de perturbación en el tiempo ([21951Bohm]) para la solución del problema. La energía de la fuente está dada por:
donde
.
Después de aplicar la perturbación 
, tenemos la ecuación diferencial
con la función de onda
donde, en este caso, los coeficientes A y B son funciones del tiempo. A y B representan la amplitud de probabilidad de encontrar al sistema en los estados
y
respectivamente y en el tiempo t. Como consecuencia de la ortogonalidad de los estados y (
= 1, 
= 1, 
= 0 y 
= 0 ([151964McLachlan])), se deduce que A*(t)A(t)+B*(t)B(t)=1. Introduciendo la Ec. (7) en (6) y usando la propiedades de ortogonalidad tenemos:
donde previamente se utilizó las trasformaciones
. Todavía son inasequibles las soluciones de las Ecs. (8) debido a la dependencia en el tiempo del hamiltoniano. Sin embargo, existe una aproximación que puede ser usada para remover esta dependencia temporal. Para ello, primero aplicamos la transformación unitaria
al hamiltoniano correspondiente de la Ec. (8). Ya que la transformación es dependiente del tiempo debemos redefinir la ecuación de Schrödinger en el nuevo marco rotado. De este modo, la ecuación de Schrödinger será 
. Entonces, las Ecs. (8) se transforman en:
Figure 2: Solución numérica y analítica de las Ecs. (10) (a) y (11) (b) respectivamente como función del tiempo.
Ahora podemos aplicar el método de aproximación de onda rotante (Rotating wave approximation, RWA) ([122010Kok & Lovett]), el cual consiste en despreciar aquellos términos que oscilan rápidamente. Esta aproximación es válida siempre y cuando la onda externa tenga aproximadamente la frecuencia de resonancia 
. Usando RWA las Ecs. (10) se trasforman en:
las cuales son sustentables si y solo si se cumple:
Dada la remoción de la dependencia temporal del hamiltoniano, las Ecs. (11) son resolubles por métodos estándares. Con las condiciones iniciales A"(0) = 1 y B"(0)=0, dichas soluciones son:
donde
(frecuencia de Rabi), 
= 
y 
. La probabilidad de encontrar al sistema en el estado fundamental y excitado, en el tiempo t, es respectivamente
La figura 2 muestra una comparación entre la solución numérica (2(a)) y la derivada con RWA (2(b)). La solución numérica converge hacia la analítica siempre y cuando se cumpla que 
. Como se mencionó, las oscilaciones de Rabi son importantes en la manipulación de estados cuánticos, particularmente, es posible generar las ondas y /2.
La oscilación entre los niveles y tiene una amplitud máxima cuando = 0, en tal caso tenemos 
. Para poder cambiar el estado de a es suficiente ajustar el tiempo t durante el cual la onda actúa, es decir, se logra el cambio cuando el campo aplicado tiene la duración 
. En este caso diremos que habremos aplicado una onda π. Por otro lado, si deseamos que nuestro sistema sea una superposición de ambos estados, el campo debe ser aplicado en el tiempo 
, en dicho caso habremos aplicado una onda /2.
4 Consideraciones finales
A diferencia de un circuito LC con carga continua, el cual ofrece dificultades en la realización de qubits cuánticos ([132005le Bellac,72004Devoret et al.Devoret, Wallraff & Martinis]), se ha propuesto un circuito LC con carga discreta como sistema alternativo para la construcción de dichos qubits. Se ha demostrado que este sistema multidimensional efectivamente puede ser reducido a un sistema de dos niveles, adecuado para la realización de un qubit. Una característica sustancial en nuestro sistema es la dependencia de la frecuencia de Rabi R con el parámetro mesoscópico C/L, lo cual sugiere la posibilidad de ajustar experimentalmente dicho parámetro a fin de manipular los bits cuánticos en un régimen capacitivo o inductivo respectivamente.
]]>Agradecimientos
Este trabajo fue financiado por el proyecto UTA−MINEDUC, Convenio de Desempeño. Se agradece al Prof. César Flores (Instituto de Alta Investigación, Universidad de Tarapacá; Arica, Chile) por sus valiosas sugerencias.
Notas
Footnotes: 1La decoherencia, relacionada con la interacción del sistema cuántico con su entorno inmediato, originaria perdida del carácter cuántico del sistema ([182007Schlosshauer]).
Referencias
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