V. M. Peñafiel^f

M. Andrade^f

Resumen

Se propone un modelo Monte Carlo simple orientado a simular los patrones anuales de precipitación pluvial diaria. El modelo reproduce el comportamiento cualitativo de los veinte registros (anuales) empíricos disponibles para tres estaciones colocadas a diferentes alturas sobre el nivel del mar y, aproximadamente, a lo largo del eje transversal del territorio boliviano. Se hizo énfasis, sobre todo, en las variaciones de la precipitación acumulada anual, la frecuencia anual de días secos, la correlación lineal entre registros anuales y las propiedades de la transformada de Fourier tomada sobre el conjunto total de datos.

Descriptores: Aplicaciones del método Monte Carlo - precipitación pluvial

Código(s) PACS: 87.55.kh, 92.40.eg

We propose a simple Monte Carlo model for the purpose of simulating annual profiles of daily rainfall. This model reproduces the qualitative behaviour of 20 anual records for 3 stations located at different heights above the sea level and along the transversal axis of the Bolivian territory. We have concentrated mainly on the acumulated annual rainfall, the annual frequency of dry days, the linear correlation of annual records and the properties of the Fourier transform taken oven the totality of the data.

Subject headings: Monte Carlo method and applications - rainfall  

 IntroducciónLa principal característica de los registros anuales de precipitación diaria es la estocasticidad. No es posible, sin embargo, atribuirles alguna distribución probabilística, conocida o no (al menos en la región aquí estudiada). La razón de ello es la ocurrencia, también marcadamente aleatoria, de días "secos" (precipitación igual a cero), aislados o en serie, cuyo principal efecto es de anular cualquier tendencia consecutiva en los valores para los días "húmedos".

El recurrir, más bien, a un algoritmo de simulación parece inevitable y, efectivamente, es la opción adoptada en una ya muy abundante literatura al res-pecto. Un modelo, ampliamente aceptado, recurre a procesos de Markov de primer o segundo orden para simular la transición de días secos a húmedos y viceversa (por ejemplo, [31974Katz], [41977aKatz], [51977bKatz], [22000Hayhoe] y [12009Deni & Jemain]); los valores de los días húmedos se extraen de alguna distribución probabilística ajustada a la precipitación acumulada desde un registro empírico dado. Para los registros sobre territorio boliviano, disponibles para el presente trabajo [82010SENAMHI], ese modelo tiende a una innecesaria complicación, al parecer, debido a ciertas estructuras con series persistentes de días secos aún en las regiones más húmedas de las series temporales.

En las siguientes secciones se describe en detalle tanto las características de tales registros empíricos cuanto el método alternativo -más simple- empleado para la simulación. Y, claro, se compara resultados mostrando algunas de las implicaciones.   

Registros EmpíricosSe han elegido datos de precipitación adquiridos en tres estaciones colocadas, aproximadamente, sobre el eje transversal del territorio boliviano, como se puede apreciar de los valores de latitud, longitud y altura sobre el nivel del mar que se muestran en la tabla 1. Se trata de series temporales con 7304 va-lores cada una correspondientes a 20 años, desde el 1 de Enero de 1989 hasta el 31 de Diciembre de 2008.

Table 1: Posición de las estaciones.

Figure 1: Datos de precipitación en E1 (Ayo Ayo) desde el 1 de Enero de 1989 hasta el 31 de Diciembre de 2008. Es notoria la periodicidad anual afectada por dispersión en valores pluviales altos.

(a)

(b)Figure 2:

(a) Transformada rápida de Fourier (TRF) sobre los datos de la Fig. 1. Excepto la región de períodos grandes, el patrón es notoriamente característico al de ruido aleatorio. (b) Primeros 50 puntos de la TRF de la Fig. 2a.; el pico corresponde al obvio período anual 8192/23=356 < T < 8192/22=372.36. El segundo pico, más pequeño, es sólo una resonancia en 8192/45=182.04 (medio año)y no es significativo.La propiedad (iii) sigue de que, no obstante ser -en buena parte- responsables de la periodicidad anual (zonas secas centrales), los valores nulos de precipi-tación se distribuyen también en las zonas húmedas de tal ciclo (puntos aparentemente continuos sobre las abscisas de la Fig. 1.).

Figure 3: Ajuste de la distribución alfa, por mínimos cuadrados, a las frecuencias relativas de precipitación correspondientes a un mismo día del año durante los 20 años del registro total.

Análogamente, las figuras 9, 10(a), 10(b), 16, 17(a) y 17(b) permiten reconocer las características (i), (ii) y (iii) también en los registros de las estaciones E2 y E3. En general, como se verá más adelante, el comportamiento de la precipitación pluvial es estadísticamente similar para las tres estaciones y, consecuentemente, al menos en toda la región media del territorio boliviano.

Figure 4: Datos simulados para la estación E1 donde se aprecia la aproximación, en valores máximos y dispersión relativa, al patrón formado por los datos empíricos de la Fig. 1.>

(a)

(b)Figure 5: (a) TRF a los datos de la Fig 3.

La características cualitativas son completamente análogas a las observadas en la Fig. 2a. (b) Histograma de los primeros 50 puntos de TRF de la Fig. 2a.

El único pico es el esperado para un período anual 356.17 < T < 372.36.Antes de discutir la naturaleza de ese comportamiento y, más bien, para permitir la discusión, conviene primero explicar las motivaciones y detalles del proceso de simulación empleado para imitar numéricamente a las series temporales empíricas. 3  Modelo Monte CarloLa figura 3 es un ejemplo (entre 365 posibles) de frecuencia (normalizada) de precipitación para un mismo día durante 20 años. El ajuste de la distribución alfa

es pertinente sólo por las tendencias de probabilidad (alta para precipitación baja y viceversa). Sin embargo, en varios otros casos se tiene días con 20 va-lores cero de precipitación y aún grupos de días secos para los cuales, por supuesto, ninguna distribución es apropiada.

Figure 6: Comparación entre frecuencias anuales de días secos empíricas y simuladas (puntos llenos). La aproximación es aceptable.

Figure 7: Comparación de las precipitaciones anuales empírica y simulada (puntos llenos). El comportamiento de las secuencias son muy similares aunque los valores numéricos, claro, no coinciden.

Figure 8: Correlaciones lineales entre los primeros registros anuales y los 19 siguientes para los datos empíricos y los simulados (puntos llenos).

.Para producir numéricamente este efecto y también la dispersión mencionada en la sección anterior, en vez de considerar la matriz de probabilidades de transición p_ij para un proceso de Markov, se ha preferido asignar una probabilidad fija β_s a la porción seca (90 < i < 270) y otra β_h a la zona húmeda (270 < i < 90) como umbrales encima de los cuales el día se considera seco; y un parámetro α₀ (que determina los valores máximos de preci-pitación) para la distribución exponencial (1).

El proceso de simulación Monte Carlo, entonces, procede como sigue:

Figure 9: Datos de precipitación en E2 (Cochabamba) desde el 1 de Enero de 1989 hasta el 31 de Diciembre de 2008.

La estructura básica de periodicidad anual y "ruido" dispersivo están presentes (como es el caso para E1).>

(a)

(b)

La características cualitativas son muy semejantes a las observadas en la Fig. 2a. (b) Histograma de los primeros 50 puntos de TRF de la Fig. 10a. con el único pico esperado para un período anual 356.17 < T < 372.36.Para cada valor del índice 0 ≤ i ≤ 364 se sortean dos números aleatorios, ξ₁ y ξ₂, el primero con 100 valores equidistantes en el intervalo [0, 1] y el segundo con k valores enteros 1 ≤ ξ₂ ≤ k. Ahora, si x representa a la precipitación se tiene, para la zona seca,

donde

Análogamente, para la región húmeda,

con las mismas expresiones para y y α. El sorteo de los números ξ para las variables β y k se hizo usando una rutina adaptada del "Mersenne Twister" [61998Matsumoto & Nishimura] para el ensamblador de 32 bites.

Figure 11: Datos simulados para la estación E2 con un patrón, en valores máximos y dispersión relativa, análogo al de los datos empíricos de la Fig. 9.>

(a)

(b)

Figure 12: (a) TRF de la serie en la Fig 11. El comportamiento del espectro es parecido al de la Fig. 10a. (b) Primeros 50 puntos de TRF de la Fig. 12a. El pico es también el esperado para un período anual 356.17 < T < 372.36.Los parámetros α₀, β_s, β_h, y k deben ser ajustados "manualmente" hasta que la altura de las ordenadas y la dispersión de los puntos se correspondan, tan aproximadamente como sea posible, con los registros empíricos. Por ejemplo, las figuras 4, 5(a) y 5(b) ilustran el resultado de la simulación, con los valores que figuran en la tabla 2, para la estación E1. La semejanza entre los registros empírico y simulado, así como entre sus respectivas transformadas de Fourier, son muy aceptables, más aun considerando las comparaciones cualitativas de otras propiedades que se discute en la sección siguiente. 4  Registros SimuladosComo se ha supuesto que el comportamiento pro-babilístico de la ocurrencia de días secos es independiente de la distribución para los niveles de preci-pitación, se esperaría que la evolución del número total anual de días secos y la de precipitación total anual se comportaran de manera independiente; por otra parte, es obvio que un mayor número de días secos debe tender a disminuir la cantidad total de precipitación. Estos efectos contrarios se manifiestan realmente en el respectivo coeficiente de correlación. Por ejemplo, para la estación E1, r_e=−0.555 y r_s=−0.387, esto es, el registro empírico presenta algo más anticorrelación que el registro simulado. Por lo demás, como de aprecia en las figuras 6 y 7, el comportamiento estadístico es bastante similar para ambos registros.

Figure 13: Frecuencias anuales empíricas y simuladas (puntos llenos) de días secos correspondientes a la estación E2.

Figure 15: Coeficientes de correlación lineal entre los primeros registros anuales y los 19 siguientes para los datos empíricos y los simulados (puntos llenos) de la estación E2.

Es también interesante la comparación entre las secuencias de coeficientes de correlación de los datos del primer año con los 19 restantes para los dos registros (Fig. 8).

Estas correlaciones que oscilan alrededor de cero permiten explicar el hecho de que todas las comparaciones sólo tiene significado estadístico: las series empíricas, al igual que las si-muladas, no muestran regularidades consistentes (excepto la anual) y admiten la interpretación de que cada patrón anual es sólo una instancia (un ensayo o muestra individual) aleatoria sobre un número -en principio- infinito de posibilidades (mientras las condiciones físicas causantes del fenómeno cíclico de precipitación pluvial se mantengan). Table 2:

Parámetros de las simulaciones.

Figure 16: Datos de precipitación en E3 (Puerto Suarez) desde el 1 de Enero de 1989 hasta el 31 de Diciembre de 2008. Hay periodicidad anual y dispersión, como en E1.>

(b)Figure 17: (a) TRF sobre los datos de la Fig. 16.

El espectro contiene, también, ruido aleatorio excepto en la región de períodos grandes. (b) Detalle de la TRF de la Fig. 17a. El único período significativo es el anual.Estos mismos resultados pueden ser observados en el caso de las estaciones E2 y E3. Las figuras 9, 10(a), 10(b), 16, 17(a) y 17(b) muestran que las ca-racterísticas estructurales son completamente similares, independientemente de la posición y altura sobre el nivel del mar. La misma configuración aparece en las figuras 11, 12(a), 12(b), 18, 19(a) y 19(b) que corresponden, respectivamente, a los registros simulados para E2 y E3. En todos los casos el pico de periodicidad se encuentra ente los índices 22 y 23 los cuales, para un registro de 8192 (7304 datos originales más un re-lleno de 888 ceros), indica que T se encuentra en el intervalo [356.17;372.36]. Veinte años de datos son todavía poco para observar periodicidades mayores a un año y las menores carecen de significado físico; la comparación entre espectros de potencias indica que el resto de los periodogramas contiene

solamente ruido aleatorio.

Figure 18: Serie simulada para la estación E3; el patrón es similar al de la Fig. 16.

(a)

(b)

Las características no difieren de lo obtenido para E1 y E2. (b) Primeros 50 puntos de la TRF de la Fig. 19a. Igualmente, 356.17 < T < 372.36.

El efecto que es menos obvio y más difícil de explicar es el de la dispersión de puntos, especialmente para valores medios y superiores de precipitación. Al abandonar el modelo de probabilidades de transición, como ya se vio, se adopta la idea que hay una probabilidad umbral que determina si el día puede ser considerado como seco o húmedo y un valor diario aleatorio para el parámetro de la distribución exponencial, con la cual se sortea la magnitud de la precipitación (hay una distribución exponencial aleatoria diaria).

La tabla 2. resume la elección de parámetros de simulación para las tres estaciones.

Éstos valores fueron elegidos estrictamente para imitar el comportamiento de los registros experimentales; α₀ para fijar los valores máximos de precipitación y β_s; β_h; k para controlar la dispersión.

5  ResultadosUna buena estimación de los efectos locales está dada por los coeficientes de correlación entre las series empíricas de cantidad de días secos entre las tres estaciones, éstos son r_s12=−0.031, r_s13=−0.4354, r_s23=0.327. Análogamente, los coeficientes de co-rrelación entre las series de precipitación acumulada anual, r_h12=0.300, r_h13=−0.326, r_h23=−0.114, indican que las tres estaciones tienen comportamiento pluvial diario independiente (estocásticamente); sin embargo, las figuras 13, 14, 20 y 21, como las 6 y 7, permiten -por la comparación con los resultados simulados- apreciar la analogía de los tres procesos aunque, naturalmente, los valores numéricos pueden no coincidir. También es notorio el mayor grado de aleatoriedad en los registros empíricos, los cuales presentan fluctuaciones más acentuadas que sus simulaciones respectivas.

Figure 20: Frecuencias anuales de días secos, empíricas y simuladas (puntos llenos) para la estación E3.

Figure 21: Precipitaciones anuales empírica y simulada (puntos llenos) de la estación E3.

Table

3: Valores extremos

Como consecuencia, es posible considerar a los registros anuales de precipitación diaria como ins-tancias independientes de un patrón probabilístico determinado por la superposición de condiciones físicas, un esquema similar a los estados aleatorios de la física estadística. Admitido esto, para registros mayores, se podría emplear las simulaciones para detectar cambios notables en tales condiciones físicas que darían paso a cambios perceptibles en las probabilidades que determinan las distribuciones.

Figure 22: Estación E3: correlaciones lineales entre los primeros registros anuales y los 19 siguientes para los datos empíricos y los simulados (puntos llenos).

Se concluye que, para los registros de 20 años empleados aquí, el comportamiento estadístico es "estable" en las tres estaciones consideradas, aunque las fluctuaciones estadísticas de los registros simulados son más conservadoras. En la tabla 3, para va-lores de precipitación máxima P_max muy próximos, se advierte que el número de días secos máximo C_max y mínimo C_min están siempre dentro del intervalo definido por los extremos empíricos y lo mismo acontece para la precipitación acumulada anual máxima A_max y mínima A_min. Esto hace conjeturar la posibi-lidad de producir datos subrogados por otras vías y, también, elimina la de "predecir" las configuraciones anuales de precipitación.

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On 15 Jun 2013, 21:48.