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4.-Tipler. 1995, Física (Reverte)

LA OCARINA DE ZANAHORIA A CARROT OCARINA

Choque Saire M. P.

Laboratorio de Física 121 Universidad Mayor de San Andrés

RESUMEN

En los instrumentos prehispánicos aerófonos el sonido es producido por la vibración de una columna de aire como es el caso de la quena, la zampona y la tarkha. Se suele olvidar, sin embargo, a otros instru­mentos pertenecientes a esta misma familia, como es el caso de la ocarina, cuya afinación y fabricación es dificultosa. Este instrumento musical es de tamaño reducido, su sonido es agudo (523 - 1046 kHz) y se la encuentra en múltiples diseños. Su construcción es ardua debido a que habitualmente las ocarinas están hechas de cerámica o madera, con un centro hueco y orificios con áreas iguales o desiguales que son cubiertas para producir diferentes notas; esta dificultad se puede remediar usando un material dócil. Este material tiene que ser de forma alargada, cilindrica y de consistencia maciza para evitar una deformación posterior; además, tal material debe permitir labrar el instrumento cómodamente. Entre las posibles opcio­nes disponibles se eligió a una zanahoria (aunque parezca inusual) pues reúne todos los requisitos para la construcción de la ocarina; el único inconveniente es su sensibilidad al paso del tiempo ya que su volumen se puede reducir por la deshidratación.

Descriptores: instrumentos musicales — propiedades acústicas de sólidos

ABSTRACT

In pre Colonial wind instruments sound is produced through the vibration of an air column such as in the Quena, Zampona and Tarka. A less well known wind instrument of the same family is the Ocarina whose fabrication and tuning are particularly difficult. The Ocarina is a small wind instrument with a high pitch (523 - 1046 kHz) and is found in many forms and designs. The instrument is arduous to make given that it is usually crafted from materials such as ceramic or wood and is composed of a hollow centre and finger holes of varying or equal diameter This difficulty can be remedied by using a more pliable and yet durable material that can be formed into an elongated, and cylindrical form. Looking into the possible available alternative materials the carrot was chosen. The carrot met all the requirements although the material shrinks over time due to dehydration.

Subject headings: musical instruments — acoustical properties of solids

1.  INTRODUCCIÓN

Cabe recalcar que aunque existe teoría que se refiere al origen de este instrumento en Europa, se trata de otro ins­trumento de similares características ya que la Ocarina Sud-Americana tiene orígenes de cientos de años atrás.

La podemos encontrar en modelos sencillos, dobles o tri­ples y con diferente número de orificios, como muestra la Fig. 1. Su tono depende de la relación entre el volumen del aire y el área del agujero destapado. Por ejemplo, en una oca­rina de cuatro agujeros de áreas iguales, cubriendo todos los

FIG. 1.— Los tipos de ocarinas dependen del tamaño y del agujeros que posee.

FIG. 2.-temático.

Ocarina artesanal hecha de arcilla usada para el modelado maorificios previamente para luego pasar a quitar el dedo de uno de ellos, se obtiene la nota Sol, independientemente de qué agujero se destape. Si el área descubierta es igual, la nota producida es la misma.

2.  ESCALA PENTATÓNICA

En nuestro sistema musical occidental, es conveniente uti­lizar sólo unas frecuencias concretas, a las cuales se las llama notas.

Con el oído humano solamente se pueden captar notas que sean superiores a 18/fz y por debajo de los 20kHz (muy aproximadamente). Es así que sólo podemos oír unas diez octavas como mucho, con doce notas cada una. Por debajo de 18/fz se llaman infrasonidos y por encima, ultrasonidos. El margen auditivo de las personas varía según la edad y otros factores. Los animales tienen un margen auditivo diferente; así, es muy conocido el hecho que los perros pueden sentir frecuencias mucho más altas, dentro del margen de los ultra­sonidos.

Para que nuestra ocarina produzca sonidos agradables al oído humano es necesario ajustaría a una escala musical pentatónica porque es la escala más simple e intuitiva. La pentafonía —sistema musical en que se usa la escala pen­tatónica— se usa en la generalidad de los sistemas musicales tradicionales por ser usados por los músicos antiguos.

Nuestro oído humano tiene una "construcción" tal, que los sonidos cuyas frecuencias están en la proporción simple (2/1, 3/2, 4/3, etc.), suenan juntos de una manera agrada­ble. Por ejemplo, la nota Do en su quinta octava tiene apro­ximadamente una frecuencia de 1046.5Hz y junto a un Sol en la misma octava de frecuencia 1567.9 Hz suena agradable porque están a una proporción de 3:2, respectivamente. Esta proporción es la combinación de sonidos más pura y se la suele llamar quinta justa.

En un sistema musical pentafónico se necesita una nota base que es la nota más grave que puede producir nuestro instrumento y una configuración de frecuencias de las notas;

FIG. 3.— Relación lineal que existe entre el área descubierta y la frecuen­cia.

esta configuración es:

Tono, 9/8 Tono, (3/2)(8/9) = 4/3 Tono, 3/2 Tono, (3/2) (9/8) = 27/16 Tono, (3/2)²(8/9) = 2 Tono

3.  MODELO MATEMÁTICO PARA EL NÚMERO DE ORIFICIOS DE LA OCARINA

Los orificios de la ocarina son la parte más importante en el diseño de la ocarina ya que aportan la variedad tonal pro­puesta en la Tabla 1.

Así que tuvimos que diseñar un modelo que pueda relacio­nar el área del orifico con la frecuencia que deseamos obte­ner, recordando que la nota depende de la suma de orificios destapados.

Primeramente se tomó una ocarina artesanal (Fig. 2) hecha de arcilla que constaba de seis orificios de \mm de diámetro cada uno y se aumentó nueve orificios más; teniendo un total de quince orificios. La posición de los orificios fue relevante porque no perturbó en gran magnitud a las frecuencias obte­nidas.

Luego se procedió a tomar la frecuencia del total de ori­ficios descubiertos con ayuda del software Analysis Center 2010. Su diseño nos da la facilidad de poder obtener la fre­cuencia con el micrófono en tiempo real.

Las frecuencias que se obtuvieron en relación con el área destapada (Tabla 2) nos dan una idea de que existe una re­lación lineal. Esta relación se puede observar en la Fig. 3.

TABLA 2

FlG. 4.— Pasos realizados para la construcción de la ocarina. Las primeras dos fotos muestran la parte resonadora y la boquilla. Las dos últimas fotos muestran la parte que permite el flujo del aire.

Así que procedemos hacer el ajuste de curvas (1): Usando la regresión lineal observamos que>> es el área y x es la frecuen­cia. Con todo esto podemos concluir que nuestro modelo está hecho y es:

donde A es el área del orificio y i⁷ es la frecuencia deseada. O, en función del diámetro D del orificio, la cual emplea­remos más adelante para la construcción de la ocarina de za­nahoria:

4.  CONSTRUCCIÓN DE LA OCARINA DE ZANAHORIA

En la construcción se necesitaron dos zanahorias lo más uniformes posible y de mayor volumen para poder evitar po­sibles fisuras al afollar. Y los pasos fueron los siguientes:

•    Tomamos la primera zanahoria y la cortamos por la parte delgada, después con un taladro ahuecamos la za­nahoria por la porción central. Esta sirve para la parte resonante de la ocarina (Fig. 4a).

•    Agarramos la segunda zanahoria y la cortamos de tal

TABLA 3

manera que pueda ingresar en la primera zanahoria (Fig. 4c).

• Cortamos en la parte que se inserta en la primera za­nahoria un canal cuadrangular que permite el flujo de aire (Fig. 4d).

Cuando pasamos al último paso, el tallado de los orificios, tenemos que hacer uso del modelo (2) y la Tabla 1.

Reemplazamos la frecuencia de la segunda nota (porque la primera la obtenemos sin necesidad de orificios) en (2) y obtenemos el diámetro del primer orificio, es decir, con F = 775.2 se obtiene D = 6.7mm.

Para el segundo orificio debemos modificar (2) porque si lo usáramos directamente obtendríamos el área necesaria más el área del primer orificio obteniendo datos que no nos sirven de manera inmediata. Es por ello que usaremos:

Ya construida la ocarina ahora pasamos a analizar su afi­nación, es decir, con un análisis espectral observamos los pi­cos más altos de frecuencia frente a su amplitud. Estos picos obtenidos gracias a las herramientas del software MATLAB 7.4.0 como la transformada rápida de Fourier (FFT) nos di­cen su acercamiento a la nota musical que esperamos obte­ner.

Inicialmente de manera un tanto obvia podemos asegurar que las notas más graves, de manera específica las tres pri­meras notas (Fa, Sol y La# ) suenan mejor afinadas que las ultimas tres (Do, Re y Fa), posiblemente por la variación en la octava a que corresponden. Pero más específicamente se puede ver por las gráficas obtenidas que se muestran en la Figs. 5 a 10, que las dos primeras notas tienen una mayor precisión respecto al tono.

La frecuencia de la primera nota Fa de la cuarta octava (nuestra nota base) tuvo un rango de frecuencia entre 660 Hz y 680 Hz, se acercó bastante al resultado esperado, exacta­mente unos 9AHz de diferencia (Fig. 5).

En la segunda nota Sol (Fig. 6) se esperó que diera 115.2Hz y obtuvimos un rango entre 160Hz y 780Hz. El re­sultado requerido se encuentra dentro de nuestro rango. Sin embargo, se observa que el rango va en aumento.

.

FlG. 9.— Esta gráfica corresponde a la frecuencia de la quinta nota Re.

Los resultados de las notas La sostenido y Do tienen una similitud bastante interesante: Para la nota La sostenido cal­culamos una frecuencia de 918.8/fz, y en la Fig. 7 vemos

que la mayor amplitud se encuentra entre 900Hz y 950Hz; en la cuarta nota Do se calculó una frecuencia de 1033.6Hzy como se muestra en la Fig. 8 se observa una mayor amplitud entre 1000Hz y 1050Hz. Las Figs. 7 y 8 muestran un inter­valo de mayor amplitud, de 50Hz y la frecuencia calculada está dentro de los rangos.

Cuando las notas de nuestra ocarina subieron a una quinta octava el sonido de las notas Re y Fa simplemente ya no se escuchó y esto se puede ver en la gran dispersión de las Figs. 9 y 10.

6.  CONCLUSIONES

La ocarina, y en especial esta ocarina hecha de un vege­tal muy común, tiene una cierta ventaja en la construcción pero una seria desventaja de duración puesto que mientras el tiempo se prolongue su sonido irá decayendo en claridad ya que la boquilla se deshidrata cada vez más perdiendo el corte en el flujo que hace el sonido. Otro problema con este instrumento es que, como explicamos en su construcción, la zanahoria que dirige el flujo del aire tiene que caber exac­tamente sin dejar que escape el aire del resonador, y por el mismo problema de la deshidratación este va perdiendo vo-lumeny cada vez deja escapar más aire, cambiando las notas y el tono del instrumento.

Pero al estar éste fresco, ésto es, aproximadamente unos dos días después de la inmediata construcción, puede darnos sonidos muy claros, variados y afinados de la manera que se requiera. Si usamos notas que pertenezcan a la cuarta o ter­cera octava obtendremos sonidos mucho más claros porque el instrumento hecho de zanahoria no alcanza frecuencias tan altas demandadas para la quinta octava en adelante.

Y se puede decir que este es el instrumento más senci­llo, de bajo costo y sorprendente, porque al no depender de la resonancia, es decir, siendo su forma relevante a la hora de la construcción, se puede formar de materiales orgánicos—aunque parezca humorístico— como pepinos manzanas o hasta muy difícilmente de huevo, porque estos tienen un gran volumen y una gran versatilidad al momento de su cons­trucción.

REFERENCIAS

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CONDICIONES DE SINCRONIZACIÓN EN DOS PÉNDULOS ACOPLADOS

Sinchronization Conditions of Two Coupled Pendula

A. R. Ticona Bustillos¹, G. M. Ramírez Ávila^1,2

¹Instituto de Investigaciones Físicas, Universidad Mayor de San Andrés
Casilla 8635, La Paz, Bolivia
²AG Nichtlineare Dynamik (S) / Kardiovasculäre Physik
Institut für Physik
Humboldt-Universität zu Berlin, Robert-Koch-Platz 4, 10115 Berlin, Alemania
(Recibido 5 de febrero de 2010; aceptado 7 de marzo de 2010)

Abstract

Based on a damped pendulum discrete model, we studied the synchronization conditions for two coupled pendula, varying both the pendula's features and coupling conditions. We found the basis for attraction in several situations in which the control parameters were fixed. Varying the control parameters (length, mass and damping coefficient), we found phase diagrams related to the initial conditions of one of the pendula; in these diagrams we identified synchronization regions. We emphasize the synchronization with a winding number ρ ≈ 1 (synchronization 1:1); nevertheless, other synchronization orders are possible (ρ ≠ 1).

Subject headings: dynamical systems (non-linear) - synchronization - coupled oscillators Código(s) PACS: 05.45._a, 05.45.Xt

Descriptores: sistemas dinámicos no-lineales - sincronización - osciladores acoplados

1  Introducción

El fenómeno de sincronización es muy común en la naturaleza y muchos sistemas de diversa índole exhiben este comportamiento [212003Strogatz,172003Rosenblum & Pikovsky], destacándose entre ellos los sistemas biológicos [42001Glass], las reacciones químicas [192003Shabunin et al.Shabunin, Astakhov, Demidov, Provata, Baras, Nicolis, & Anishchenko,32005Fukuda et al.Fukuda, Morimura, & Kai], los circuitos electrónicos [91998Kittel et al.Kittel, Parisi, & Pyragas,132003 Ramírez Ávila et al. Ramírez Ávila , Guisset, & Deneubourg], los láseres [181994Roy & Thornburg,112009López-Gutiérrez et al.López-Gutiérrez, Posadas-Castillo, López-Mancilla, & Cruz-Hernández] y por supuesto, los péndulos [71986Huygens,202003Smith et al.Smith, Blackburn, & Baker] que desde el punto de vista histórico, constituye el primer sistema en el cual se observó sincronización [61673Huygens]; los péndulos, a pesar de ser sistemas en apariencia simples siguen concitando la atención y son sujetos de investigación tanto desde el punto de vista teórico como experimental [22009Baker & Blackburn]. En este trabajo, nos abocamos a encontrar las condiciones de sincronización para dos péndulos acoplados. Se sabe que para sistemas no lineales disipativos, es posible la existencia de más de un atractor, por lo que diferentes condiciones iniciales pueden evolucionar hacia cualquiera de los atractores coexistentes; así, el conjunto de condiciones iniciales que se aproxima a un atractor, es llamado la cuenca de atracción de este atractor [81999Kapitaniak & Bishop]. En §2 se describe el modelo utilizado para estudiar el sistema de dos péndulos acoplados con disipación, en la primera parte de §3 se muestran diferentes cuencas de atracción del sistema que nos dan una idea de cómo obtener condiciones de sincronización; posteriormente, se muestran las regiones de sincronización, que pueden asociarse a las llamadas lenguas de Arnold (en el sentido de que representan regiones de sincronización de una manera similar a la utilizada en [162001Pikovsky et al.Pikovsky, Rosenblum, & Kurths,122004 Ramírez Ávila ]¹) para diferentes situaciones en las que los parámetros varían. Se darán finalmente en §4 las conclusiones y las perspectivas de este trabajo.

2  Modelo

Al igual que en [142008 Ticona Bustillos & Ramírez Ávila ], utilizamos el modelo discretizado de péndulo y lo adaptamos para la situación en la cual se tienen dos péndulos acoplados con disipación, cuyas ecuaciones están dadas por:

donde los superíndices 1 y 2 identifican a cada uno de los péndulos acoplados² y w representa las condiciones de acoplamiento, la cual contiene a la distancia de separación entre los péndulos y a la rigidez del material usado para acoplar los mismos; además:

con i = 1, 2.

Este modelo fue comparado con valores experimentales en [142008 Ticona Bustillos & Ramírez Ávila ], dando muy buenos resultados, con lo que pudimos estudiar las principales características de transmisión de movimiento en función de las características del sistema. Además, se pudo verificar la fuerte dependencia de este sistema con las condiciones iniciales y algunas características de sincronización, las cuales estudiamos con más detalle a continuación.

3  Resultados

Primeramente, se determinaron las cuencas de atracción para posibles situaciones en las cuales se pueden controlar ciertos parámetros, como la masa de la lenteja y la longitud del péndulo, la disipación y el factor de acoplamiento. Para el trabajo numérico, se utilizó el valor de la aceleración debida a la gravedad en La Paz: g = 9.775 m/s²; este valor ya fue utilizado en [142008 Ticona Bustillos & Ramírez Ávila ], para comparar los resultados con medidas experimentales, las cuales fueron realizadas en esta ciudad. Analizamos el comportamiento de la relación ρ = T₂/T₁ = 1 de los períodos de los péndulos, variando las condiciones iniciales de los mismos. Esta consideración, nos permite identificar las condiciones iniciales para las cuales es posible la sincronización 1:1 entre los péndulos. Tomamos condiciones iniciales desde -0.7 hasta 0.7 rad. Nuestro primer estudio (Figs. 1-2) implica el establecimiento de las regiones de sincronización 1:1 (regiones oscuras) de las que no siguen esta relación (regiones claras), utilizando los siguientes valores para el factor resultante de disipación y el factor de acoplamiento: b⁽¹⁾ = b⁽²⁾ = 0.9999 y w = 1×10⁻⁶ respectivamente. Cada punto mostrado en estas figuras corresponde a un promedio de ρ obtenido sobre las 50 últimas oscilaciones consideradas en las simulaciones para cada péndulo. En la Fig. 1 mostramos un caso en el cual ambos péndulos tienen una masa de 0.0500 kg y los largos son de 1.00 m y 2.00 m, respectivamente. Los puntos nos muestran los valores obtenidos para ρ a partir de las diferentes condiciones iniciales, donde hacemos la distinción entre las regiones en las cuales se presenta la sincronización 1:1 (oscura) de las que no presentan esta característica (clara). Podemos observar que la región en forma de cruz corresponde a las condiciones de sincronización 1:1 ya que se obtienen valores de ρ muy cercanos a la unidad. Es interesante observar la simetría en la Fig. 1, lo que nos indica por una parte que el conjunto de condiciones iniciales que nos llevan a ρ ≈ 1 es bastante reducido y por otra parte que para obtener esta situación, las condiciones iniciales de ambos péndulos deben ser muy próximas a cero o en su defecto, uno de los péndulos debe tener una condición inicial cercana a cero y el otro un ángulo inicial considerable, situación que da lugar a que la región de sincronización 1:1 se ensanche. Esto último implica que es más fácil alcanzar una sincronización 1:1 entre los péndulos cuando uno de ello empieza en el reposo relativo (θ₀ = 0) y el otro con una amplitud grande.

Para los resultados de la Fig. 2 el largo de ambos péndulos es de 1.00 m y las masas son de 0.050 kg y 1.000 kg respectivamente. En este caso, se observa que también existe una simetría en las regiones de sincronización 1:1, donde se pueden resaltar tres aspectos interesantes, a saber: (i) Los extremos inferior izquierdo y superior derecho presentan una simetría que implica que las condiciones iniciales de ambos péndulos deben tener valores similares y del mismo signo. (ii) La región rectilínea de pendiente negativa muestra que los péndulos deben comenzar cada uno en extremos opuestos para favorecer la sincronización 1:1. (iii) Las otras regiones de sincronización muestran que los valores de las condiciones iniciales pueden ser bastante diferentes pero deben tener el mismo signo y además uno de los péndulos debe comenzar con un ángulo pequeño no muy alejado de cero. En las Figs. 3 y 4 utilizamos valores iguales para los largos y las masas de ambos péndulos (l₁ = l₂ y m₁ = m₂), fijando el valor de b⁽¹⁾ = b⁽²⁾ = 0.999. En la Fig. 3, la densidad de regiones de sincronización 1:1 es mayor, resaltando las regiones en las cuales los ángulos iniciales deben ser pequeños para ambos péndulos y de diferente signo (parte central), notándose luego un ensanchamiento considerable a medida que los ángulos iniciales son mayores; se observa también la aparición de nuevas regiones de sincronización no simétricas como la que aparece en la parte central y derecha de la Fig. 3, en la cual, ambos ángulos iniciales tienen valores positivos pero el del péndulo 2 puede permanecer cercano a cero, en tanto que el del péndulo 1 puede crecer linealmente. Finalmente, en la Fig. 4 fijamos el factor de acoplamiento en w = 5×10⁻⁶. La distribución de las regiones de sincronización es parecida a la de la Fig. 3 pero estas regiones se ensanchan, lo que nos lleva a pensar que gracias al mayor acoplamiento entre los péndulos, la sincronización 1:1 se ve favorecida. Nuevamente, la lógica de condiciones iniciales de la misma magnitud pero de signos contrarios son las que llevan a la sincronización 1:1; sin embargo, como se señaló anteriormente, existe un aumento notorio de estas regiones con una tendencia a ocupar gran parte del plano θ₀₂ vs. θ₀₁. También se pueden observar manchas difusas representando regiones de sincronización 1:1 lo que muestra una vez más la tendencia que tienen las regiones de sincronización a hacerse más extensas, máxime si el factor de acoplamiento aumenta su valor. A continuación, se estudian la sincronización cuando se hacen variar un parámetro de control y las condiciones iniciales del segundo péndulo, fijando los valores del primer péndulo en: m₁ = 0.050 kg y l₁ = 1.00 m, siendo la condición inicial del primer péndulo en todos los casos θ₀₁ = 0.5 rad. De esta manera, se obtienen las regiones que guardan similitud con las lenguas de Arnold como se mencionó anteriormente, por lo que se utilizará en lo sucesivo esta terminología.

En primer lugar tomamos en cuenta la variación del largo del segundo péndulo, consideramos valores desde 0.10 m hasta 50.00 m, la masa de la lenteja de este péndulo es mantenida en 0.050 kg. En las Figs. 5-11, se muestran las regiones equivalentes a las lenguas de Arnold, donde nos concentramos en la región con ρ ≈ 1, aunque, otras regiones con otros órdenes de sincronización pueden estar también presentes. En la Fig. 5, se muestra el diagrama de fase l₂ vs. θ₀₂, en el cual aparece claramente la lengua de Arnold con ρ ≈ 1 (región oscura identificada con el número 1). Además, se identifican regiones en las que ρ toma valores comprendidos en los intervalos (0,1), (1,2), ... , (6,7) que se identifican con los números 0, 2, ... . , 7 respectivamente. Es interesante notar que estas regiones, en general, están bien definidas y son simétricas respecto de la situación en la cual θ₀₂ = 0. Modificando el valor del coeficiente de disipación, no se notan cambios apreciables, pero cambiando el valor de la masa del segundo péndulo, por ejemplo a 0.010 kg, constatamos que la lengua de Arnold para ρ ≈ 1 es más extensa que en el caso de masas iguales de las lentejas de ambos péndulos, como se puede observar en la Fig. 6. Además, se constata que la simetría existente en el caso anterior (Fig. 5) se rompe y se podría pensar que el eje de simetría ya no pasa por θ₀₂ = 0, sino que está desplazado a la izquierda del plano (θ₀₂ < 0). Como en el anterior caso, se identifican otras regiones en las cuales ρ = (0,1), ρ = (1,2), ... , ρ = (4,5), identificando las mismas con los números 0, 2, ... , 5 respectivamente, siendo ρ real y positivo lo que puede dar lugar a regiones en las cuales el comportamiento de los péndulos es periódico, cuasi-periódico o caótico. Un aspecto interesante es la aparición de regiones claras al interior de la lengua de Arnold; en principio, esto significaría que regiones con ρ < 1 rompen la simetría de la lengua de Arnold: Sin embargo, estas regiones en particular si bien poseen ρ < 1, este valor es muy cercano a 1 por lo que se podría pensar que los errores propios del cálculo numérico hacen que no se consideren estas regiones en el intervalo elegido para ρ. Otro aspecto a resaltar es la aparición de una pequeña región ρ = (4,5) sólo en la parte derecha del plano; esto se justifica fácilmente por el hecho de la ruptura de simetría referida líneas arriba. Ahora, fijando l₁ = l₂ = 1.00 m y variando el valor de m₂, podemos observar en la Fig. 7 que la lengua de Arnold para ρ ≈ 1 ya no tiene una estructura sencilla como era el caso en las Figs. 5-6 y ocupa varias regiones del plano, el cual contiene también regiones con ρ = (0,1) y ρ = (1,2). Nuevamente, nuestros resultados son conservadores en cuanto a la región de sincronización 1:1 puesto que la precisión numérica que se considera supera la precisión que se podría tener en las mediciones experimentales, por lo que es posible que las regiones de sincronización 1:1 ocupen una extensión mayor en el plano de fases m₂ vs. θ₀₂. Por otra parte, es interesante notar que en la zona en la cual m₂ ≈ m₁, se tiene una tendencia a que la región de sincronización esté presente casi para todos los valores de θ₀₂, lo que en cierta manera confirma los resultados obtenidos en la Fig. 3.

En cambio si l₂ = 2l₁ = 2.00 m, la lengua de Arnold en el plano m₂ vs. θ₀₂ es muy pequeña, como se ve en la Fig. 8. Es claro que la mayor parte del plano corresponde a valores ρ = (1,2) por lo que en estas regiones bien podrían haber sincronizaciones de otros órdenes, cuasi-periodicidades o caos. Se observa también que cuando m₂ → m₁, las únicas condiciones iniciales θ₀₂ que preservan la sincronización 1:1 son aquellas en las que θ₀₂ → 0, en concordancia con los resultados de la Fig. 1. Los anteriores resultados indican que tanto la masa de la lenteja como la longitud del péndulo juegan papeles importantes en la sincronización de los dos péndulos acoplados. De igual manera podemos analizar la sincronización en función del factor de acoplamiento. En la Fig. 9 se nota que para valores pequeños del factor de acoplamiento, existe sincronización casi para todas las condiciones iniciales, en cambio para valores grandes de dicho factor, la sincronización parece desaparecer dando lugar a una "granularidad" en la que se tienen valores de ρ = (0,2). En la Fig. 9, se consideraron masas de las lentejas de los péndulos iguales pero no las longitudes de los mismos; sin embargo, el comportamiento cuando se tiene l₁ = l₂ no se modifica sustancialmente. Finalmente, si variamos el valor del coeficiente de disipación λ = λ⁽¹⁾ = λ⁽²⁾ tenemos que para péndulos con las mismas características (l₁ = l₂ y m₁ = m₂), la región de sincronización 1:1, abarca casi todo el plano de fases, como se puede observar en la Fig. 10. Regiones con ρ = (0,1) y ρ = (1,2) están también presentes en el plano pero al igual que en los anteriores casos, las regiones con ρ = (0,1), en general pueden ser absorbidas por las regiones de sincronización 1:1, lo que aumentaría aún más la densidad de regiones con ρ ≈ 1. Otro aspecto interesante es el referido a los valores elevados de λ, para los cuales, la sincronización se pierde; esto está en relación con el hecho de que cuando la disipación es muy grande, los péndulos tienden a volver a su situación de reposo relativo y las medidas de comportamiento síncrono de los péndulos ya no es posible hacerlas con un transientes adecuado.

En cambio si las longitudes de los péndulos son diferentes, la región de sincronización 1:1 se reduce drásticamente, como se puede observar en la Fig. 11. Trabajando con ρ = 1.0000 ± 0.0013 se observa que la lengua cerca de la parte central contiene regiones blancas y grises que en principio significan valores de ρ = (0,1) y ρ = (1,2) respectivamente; sin embargo, si se considera ρ = 1.0000 ± 0.0097, estas regiones desaparecen de la lengua, la cual queda bien definida y además, la región correspondiente a valores elevados del coeficiente de disipación considerados en el plano, pasa a ser considerada como región de sincronización 1:1. En este último caso, se puede pensar también que el hecho de trabajar con valores elevados del factor de disipación λ, no permite cuantificar adecuadamente las oscilaciones tal como se explicó para la Fig. 10. El hecho que la región de sincronización 1:1 sea relativamente pequeña concuerda con los anteriores resultados para situaciones en las que l₁ ≠ l₂ (Figs. 1 y 8), en las cuales se tiene la misma situación; sin embargo, no se debe olvidar los resultados mostrados en las Figs. 5 y 6 en las cuales, el intervalo de condiciones iniciales θ₀₂ que conducen a la sincronización 1:1 crece con la longitud l₂.

4  Conclusiones y Perspectivas

Se determinaron las cuencas de atracción para varios valores de parámetros, pudiéndose observar que las mismas presentan diferentes formas según el valor que toman los parámetros. Nos concentramos en las condiciones iniciales de los péndulos para las que puede existir sincronización 1:1.

Se han identificado las regiones de sincronización para varias condiciones de los péndulos, en función a las condiciones iniciales del péndulo 2. Si bien nos abocamos a la determinación de la sincronización de orden 1:1, es claro que existen otros órdenes de sincronización. Además, como se tienen valores de ρ  ⊂ P⁺, pueden existir también comportamientos cuasi periódicos y caóticos. Se puede observar que la longitud y la masa de los péndulos ejercen una gran influencia en la sincronización. Se ve claramente en todos los casos estudiados, la importancia de la precisión numérica con la que se trabaja y su relación con la exactitud que se puede lograr en mediciones experimentales. A partir de estos resultados, podemos analizar cuasi periodicidades, diagramas de bifurcación, rutas hacia el caos, en las regiones donde no existe sincronización. Evidentemente, este modelo es susceptible a ampliarse a más de dos péndulos lo que constituye la continuación natural de esta investigación. Una parte importante de nuestra investigación es trabajar tanto con mediciones experimentales como con modelos que justamente son validados por estas mediciones. Si bien, por el momento se tienen concordancias importantes entre los resultados experimentales con los obtenidos a partir del modelo, no se descarta para el futuro considerar el sistema de ecuaciones diferenciales para describir el sistema de péndulos acoplados. Finalmente, se pretende que este tipo de trabajos pueda a posteriori encontrar su aplicación también en aspectos académicos y didácticos, tal como ocurrió con la primera parte de nuestra investigación con péndulos [152010 Ticona Bustillos & Ramírez Ávila ].

Agradecimientos

Agradecemos los valiosos comentarios de los árbitros de la revista, gracias a los cuales pudimos expresar con mayor claridad las ideas de este trabajo. GMRA agradece al Deutscher Akademischer Austausch Dienst (DAAD) por la beca de investigación otorgada.

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Footnotes:

¹Estas regiones de sincronización se diferencian de las lenguas de Arnold, en el sentido que en lugar de representarlas en un plano intensidad de acoplamiento vs. frecuencia, son representaciones en el plano parámetro de control vs. condiciones iniciales. ²Por razones de comodidad en la notación, se utilizará a lo largo del artículo m_i = m⁽ⁱ⁾ y l_i = l⁽ⁱ⁾.

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On 8 Nov 2010, 09:37.

^rND^sKittel^nA.^rND^sParisi,^nJ.^rND^sPyragas^nK.^rND^nLi, Y.-N.^sChen^rND^sCai^nZ.-S^rND^sZhao^nX.-Z.^rND^sLópez-Gutiérrez^nR. M.^rND^sPosadas-Castillo^nC.^rND^sLópez-Mancilla^nD.^rND^sCruz-Hernández^nC.^rND^sRamírez Ávila^nG. M.^rND^sGuisset^nJ. L.^rND^sDeneubourg^nJ. L.^rND^sTicona Bustillos^nA. R.^rND^sRamírez Ávila^nG. M.^rND^sPikovsky^nA.^rND^sRosenblum^nM.^rND^sKurths^nJ.^rND^sRosenblum^nM.^rND^sPikovsky^nA.^rND^sRoy^nR.^rND^sThornburg^nK. S. J.^rND^sShabunin^nA.^rND^sAstakhov^nV.^rND^sDemidov^nV.^rND^sProvata^nA.^rND^sBaras^nF.^rND^sNicolis^nG.^rND^sAnishchenko^nV.^rND^sSmith^nH. J. T.^rND^sBlackburn^nJ. A.^rND^sBaker^nG. L.^rND^sStrogatz^nS. H.^rND^sSugawara^nT.^rND^sTachikawa^nM.^rND^sTsukamoto^nT.^rND^sShimizu^nT.^rND^nFrancesco^sZaratti^rND^nRicardo^sForno^rND^nGonzalo^sGutiérrez^rND^nRoger^sApaza^rND^nFernando^sVelarde^rND^nFrancesco^sZaratti^rND^nRicardo^sForno^rND^nGonzalo^sGutiérrez^rND^nRoger^sApaza^rND^nFernando^sVelarde^rND^nFrancesco^sZaratti^rND^nRicardo^sForno^rND^nGonzalo^sGutiérrez^rND^nRoger^sApaza^rND^nFernando^sVelarde

 

MEDIDAS DE ALBEDO EN UV-B EN EL SALAR DE UYUNI

Albedo's Measurements in UV-B at Uyuni's Salt Lake (Bolivia)

Francesco Zaratti^a, Ricardo Forno, Gonzalo Gutiérrez,
Roger Apaza & Fernando Velarde

Laboratorio de Física de la Atmósfera
Instituto de Investigaciones Físicas, FCPN, UMSA
^aEmail:fzaratti@fiumsa.edu.bo
(Recibido el 28 de julio de 2010; aceptado el 11 de agosto de 2010)

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Abstract

We report the final results of a biannual project concerning two measurement campaigns of ultraviolet radiation (RUV) at Uyuni’s Salt Lake: in May and November 2008. The gathered data and their respective analysis resulted in important findings relating to the project’s principle objectives: the measurement of superficial albedo of the UV band and the quantification of the extent of albedo in the area surrounding the Uyuni salt lake., In the first case we found that the albedo depends not only on the time of year, such as, the rainy season between January and March but also on climate change effects in the region which could lead to a decrease in albedo, a sign of the salt lake's environmental contamination in particular from anthropogenic activities. In addition we measured the extent of the albedo effect in the salt lake and surrounding area however the analysis of these results has so far given inconclusive findings. Subject headings: UV radiation - radiative processes - solar radiation (albedo) Código(s) PACS: 61.80.Ba, 92.60.Vb Resumen

Se reportan los resultados finales del proyecto bianual, centrado en dos campañas de medición de la Radiación Ultravioleta (RUV) en el Salar de Uyuni: la primera en mayo de 2008 y la otra en noviembre de 2008. Los datos recogidos en ambas campañas y el análisis respectivo han permitido llegar a importantes resultados en los dos objetivos principales del proyecto: medida del albedo superficial en la banda UV y cuantificación del alcance del mismo en la región circundante al Salar. En el primer objetivo, se han encontrado indicios sólidos de que el albedo depende no sólo de la estación del año, como se podría esperar debido al régimen de lluvias localizado en los meses de enero a marzo, sino también de los cambios climáticos que se están dando en la región, lo que podría conllevar una disminución del albedo, señal del "ensuciamiento" del Salar. Adicionalmente se ha medido el alcance de los efectos de albedo en el Salar, pero el análisis no muestra aún resultados concluyentes. Descriptores: radiación UV - procesos radiativos - radiación solar (albedo)

 

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]]> 1  Antecedentes

Figure 1: Arreglo experimental utilizado para medir el albedo. El sistema permite la variación de altura entre los domos y el suelo y, además, permite calibrar la horizontalidad.

El año 2004 se realizó una campaña, junto a colegas de la Universidad e Munich en el Salar de Uyuni para medir el albedo "plano" en UV y realizar mediciones de la irradiancia solar en la banda UV. Si bien esa campaña resultó exitosa en cuanto se pudo medir el albedo y la irradiancia UV en diferentes sitios del Salar, quedaron algunas preguntas abiertas que el presente trabajo intenta responder. En especial nos interesaba conocer el alcance que tiene el albedo UV del Salar en su entorno, o sea hasta dónde afecta a la irradiancia total el cambio de albedo UV del suelo, con la mirada puesta en la problemática del cambio de uso de suelo. El desarrollo, dificultades y resultados de la I campaña en el Salar (mayo de 2008), han sido reportadas en el artículo "Resultados preliminares del proyecto: Medidas de albedo en el Salar de Uyuni" presentado en noviembre de 2009. A partir de los resultados de esa campaña, en el presente artículo analizaremos los datos colectados en la II campaña (noviembre de 2008).

]]> Figure 2: La imagen muestra la dependencia del valor del offset del radiómetro YES_139 con el valor del voltaje proporcionado por la batería de alimentación en un experimento realizado en laboratorio.

2  Objetivos

El proyecto fue planificado para un período de dos años, mediante dos campañas, una exploratoria y otra final. La campaña exploratoria, realizada en mayo de 2008, tenía el objetivo de medir el albedo del Salar en diferentes lugares, diferentes por su distancia a la orilla o por las características de la superficie [42008Zaratti et al.Zaratti, Forno, Gutiérrez, Apaza, & Velarde]. La hipótesis para verificar era que la superficie del Salar no es homogénea y le corresponde más de un valor de albedo. Asimismo, se asume que el albedo depende de la época del año, razón por la cual se planeó repetir la campaña en noviembre, aplicando las lecciones aprendidas. El otro objetivo del proyecto era medir la irradiancia en función de la distancia a la orilla, suponiendo que, a medida que nos adentramos en el Salar la irradiancia aumenta y a medida que nos alejamos hacia el altiplano la irradiancia disminuye. La pregunta interesante es: ?`a qué distancia de la orilla se deja de percibir el efecto de borde?

3  Planificación de la campaña

En la campaña de noviembre de 2008 participaron dos investigadores, un tesista y un técnico y en ella se realizaron varias innovaciones, como consecuencia de los resultados de la campaña de mayo. La lección principal aprendida en la campaña de mayo fue la dificultad de realizar mediciones alimentando los equipos con baterías. En un primer momento se optó por usar baterías de motos, por su fácil manejo y recarga, pero los resultados no fueron buenos, debido al elevado consumo de carga de los equipos durante las más de seis horas de trabajo dentro del Salar, sin posibilidad de recarga. Las consecuencias principales se manifestaban en variaciones de los valores del offset de los radiómetros, en función del voltaje de las baterías.

Figure 3: Variación del Offset y de la temperatura del domo del instrumento YES 139 con el valor del voltaje de la batería.

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Figure 4: Datos originales (en milivoltios) tomados por el instrumento YES 139 conectado a un datalogger Campbell que tenía un divisor de voltaje para evitar saturaciones. La curva superior es la irradiancia medida con el domo mirando al cenit, la inferior mirando al nadir.

El equipo instrumental consistía de dos radiómetros de radiación ultravioleta YES UVB-1. Se trata de dos radiómetros de banda ancha (280-320 nm) fabricados por Yankee Environmental System Inc. que miden la radiación solar global UV-B. Usan filtros de vidrio colorado y fósforo UV-B que convierte la radiación UV-B en luz verde, la cual es medida por fotodetectores de estado sólido. Sus principales características de operación son [21997 Yankee Environmental System (YES) ]: respuesta espectral característica (Diffey simulada), respuesta de coseno ±5% (para 0^° <SZA,<60^° ), tiempo de respuesta ±0.1 s y temperatura de operación entre -40^° C y +40^° C. El primero de los radiómetros funciona en el LFA desde el año 1998 (YES 138) y otro ha sido recientemente adquirido (llamado YES 139). Asimismo se contó con dos dataloggers Campbell CR-200 que fueron adecuados para funcionar con los radiómetros y dos GPS para registrar la posición de los sitios de medición. Un aspecto preocupante era el desgaste que presentaba el YES 138 después de más de 10 años de operación casi continua y en ambientes extremos, como Chacaltaya. Por esa razón se planificó realizar medidas "en paralelo" de los dos radiómetros, en el sentido que cada instrumento tomara datos independientemente del otro, como se explicará más adelante.

Figure 5: Curva de irradiancia UVB, representada en mV, del YES 139 con el domo mirando al cenit (día 17/11/08) interpolada con un polinomio de cuarto grado.

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Figure 6: El equivalente de la Fig. 5 con el domo mirando hacia abajo (día 17/11/08).

4  Realización de la campaña

Las medidas de la segunda campaña se realizaron durante cinco días, del 15 al 19 de noviembre, con el apoyo logístico de una agencia de turismo local. Los cinco días fueron despejados, registrándose la insolación máxima anual, debido al paso del sol por el cenit de esa localidad. La rutina diaria fue ajustada a los resultados del día y a la emergencia de algunos problemas que se presentaron con las medidas. En efecto, los primeros dos días se realizaron medidas de albedo en el mismo sitio de las medidas de albedo de la anterior campaña (20^° 27' 41" S, 67^° 15' 24" W, 3670 msnm), esto es, casi en el centro del Salar, pero con los dos radiómetros en posición fija (uno mirando al zenit y el otro al nadir), utilizando el mismo arreglo experimental ya probadodo durante la campaña de mayo (ver Fig. 1). El tercer día, debido a algunas dificultades de intercalibración bajo condiciones térmicas y eléctricas diferentes, como se explicará más adelante, se repitieron las medidas alternando la posición de los radiómetros cada 20 minutos. El día martes 18 se realizó el cruce del Salar midiendo la irradiancia RUV mediante uno de los radiómetros en sitios distantes unos 15 km entre sí, a medida que nos adentrábamos en el Salar hasta el centro del mismo. Luego, a la vuelta, se repitieron las medidas hasta unos 10 km desde la orilla en el altiplano. El segundo radiómetro se quedó midiendo en un lugar fijo (el Hotel de Sal a unos 6 km de la orilla), como referencia. Finalmente, el día miércoles 19 se realizó una medida de absorción sobre superficies con diferente inclinación. Cabe añadir que, en cada sitio donde se realizaron medidas, se tomaron muestras de la superficie de sal para ser analizadas posteriormente.

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Figure 7: Valor del albedo UVB, medido mediante comparación de las curvas de irradiancia con domo mirando hacia arriba (eje abscisas) y hacia abajo (eje ordenadas) para el día 17/11/08. Los valores, en mV, representan la mitad del valor real.

Figure 8: Curva del albedo UVB instantáneo del YES 139 (día 17/11/09).

5  Resultados de las medidas de albedo

Con base a las lecciones aprendidas de la primera campaña, se puso particular atención a los problemas del offset (y de corriente oscura) de cada instrumento. En efecto, el estudio realizado en el LFA ha mostrado la dependencia del offset del voltaje de la batería, siendo estable entre 12 y 12.5 V, condiciones que no siempre se puede mantener cuando se trabaja en el campo. Asimismo se puso en evidencia un transitorio en el tiempo de estabilización de la temperatura del sensor de aproximadamente 20 minutos, lo que invalidaba algunos datos que se tomaron durante ese tiempo, después de conectar los instrumentos a la batería (ver Figs. 2 y 3). En particular, se llegó a la conclusión de que era preferible utilizar medidas de cada instrumento por separado (como se hizo el día 17) que intentar corregir y recalcular los datos con radiómetros en posición fija (datos de los días anteriores). Por tanto, sobre la base de los datos originales, mostrados en la Fig. 4, se procedió a reconstruir, por interpolación las curvas con el domo arriba y con el domo abajo.

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Figure 9: Variación temporal del albedo medido en la campaña de mayo de 2008. Es evidente el desgaste del instrumento YES 138.

Figure 10: Intercomparación de las señales de los domos YES 139 (en dirección al nadir) y YES 137 (en dirección al cenit) durante la campaña de mayo 2008. La pendiente de la recta de regresión nos muestra el albedo del lugar.

Para simplificar el cálculo se normalizaron los datos de ambas series, se hizo un ajuste de curva de cuarto grado, lo más apropiado en torno al mediodía, se interpolaron las curvas y se volvió a los datos en mV. Las figuras siguientes muestran el resultado final. Una vez obtenidas las curvas anteriores, sin necesidad de mayores ajustes, tratándose del mismo instrumento, se calculó el valor del albedo en UV con diferentes métodos. El primero consiste en graficar las dos curvas una contra la otra y deducir, de la pendiente, el valor del albedo A. De ese modo, se halla el valor: A= 0.387 ± 0.001 (Fig. 7). Si se obligara a la recta de ajuste a pasar por el origen, lo que parece lógico tratándose de un mismo instrumento, el valor del albedo resultaría: A'= 43 %. El otro método consiste en calcular el valor instantáneo del albedo, para cada dato, y luego calcular el valor medio. La Fig. 8 muestra los valores del albedo "instantáneo" medidos. En el intervalo temporal 10am - 4pm, las horas centrales del día, el albedo resulta A"= 41.0% ± 1.2%. En resumen, el albedo medido con el radiómetro YES 139 está entre 39 y 41 %. Cuando analizamos los datos del YES 138, tomados al mismo tiempo que los del YES 139 pero en sentido invertido, obtenemos los valores respectivos: A = 39% (R² =1). A' = 47.6% (R² = 0.92) entre 10am y 4pm. A" = (49 ± 3)% entre 10am y 4 pm. Las significativas diferencias en el albedo instantáneo del YES 138, se deben posiblemente a variaciones de valores del offset con la temperatura y el voltaje de la batería a lo largo del día, pero es importante recordar, además, que el YES 138 se ha demostrado muy poco confiable, debido a su largo tiempo de vida (10 años). Una prueba de esta afirmación es la curva temporal del albedo del YES 138, comparada con la equivalente del YES 139 (Fig. 9).

]]> 6  Discusión de las medidas de albedo

Como se mencionó en la sección 4, en mayo y en noviembre de 2008 las medidas de albedo se realizaron en el mismo sitio, localizado con los GPS y con señales dejadas en el lugar. La Fig. 10 muestra el resultado obtenido con dos radiómetros, el 137 y el 139, en esa campaña. Además se cuenta con las medidas de albedo realizadas, con otra clase de radiómetro (Scie-tech), en mayo del año 2005 [32007Reuter et al.Reuter, Ghezzi, Palenque, Torrez, Andrade, & Zaratti]. Por tanto, podemos intentar una comparación somera entre las tres medidas, de acuerdo a la Tabla 1:

Table 1: Valores del albedo medidos en las tres campañas realizadas por el LFA-UMSA.

	Fecha	Albedo medido
	mayo 2005	69%
	mayo 2008	56%
	noviembre 2008	39%

Figure 11: Variación temporal del albedo medido en la campaña de mayo de 2005 en torno al medio día (cero en las abscisas). La asimetría cenital es despreciable.

La Tabla 1 nos muestra dos fenómenos. Por un lado no debería sorprender que el albedo en noviembre sea inferior al albedo en mayo, por la simple razón que en mayo el Salar resiente todavía de la época de lluvias, mientras en noviembre la superficie viene de soportar más de seis meses de sequía y vientos que suelen transportar polvo y tierra hacia el Salar desde el Altiplano. Desde luego, el exacto valor de esa disminución del albedo dependerá de las particularidades de la estación de lluvias primero y de vientos después. En efecto, cuando se analizan cortes de la costra del Salar es posible reconocer diferencias en la acumulación de tierra en el subsuelo del Salar, dependientes del clima. Más interesante es la disminución de un 20% del albedo en el mes de mayo a distancia de tres años. Si bien se trata de instrumentos diferente, y por tanto con una diferente respuesta coseno y espectral, es posible asumir que esas diferencias no son suficientemente significativas como para explicar las diferencias de los albedos, particularmente para pequeños ángulos cenitales, como a los que se hicieron las medidas en el mes de noviembre. Asimismo los lugares de observación fueron distintos; sin embargo, en vista de que el año 2005 se realizó la medida a menso de 10 km de la orilla del Salar (y, por tanto, dentro del rango de influencia de la frontera Salar-Altiplano), es más llamativo que esa medida resulte bastante mayor a la realizada en mayo de 2008. Por tanto, sin descartar fluctuaciones locales del clima, es posible avanzar la hipótesis, con cargo a comprobación futura, de un real "ensuciamiento", o obscurecimiento, del Salar, debido no tanto, como a veces se escucha, a los efectos del turismo masivo sino a un verdadero cambio climático de la región que se manifiesta, de acuerdo a algunos datos meteorológicos del Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología (SENAMHI) en lluvias más concentradas en los primeros tres meses del años, con períodos de sequía más prolongados. De hecho los resultados de los modelos climáticos más acreditados apuntan a patrones climáticos como el que acabamos de describir (mayor duración de la época seca) en la región de los Andes Occidentales [12007Magrin et al.Magrin, Gay García , Cruz Choque , Giménez, Moreno, Nagy, Nobre, & Villamizar].

]]> 7  Medidas del alcance del albedo

El otro objetivo del proyecto era medir el alcance de la influencia de una región con determinado albedo (el altiplano) sobre la irradiancia medida a diferente distancia de aquella en una región de diferente albedo (Salar). Para ese fin se diseñó un experimento para medir, estáticamente, la irradiancia durante períodos de 20 minutos en diferentes puntos dentro del Salar (en lo posible sobre el mismo paralelo, para evitar correcciones de latitud), y así poner en evidencia el porcentaje de disminución de la irradiancia al acercarse a la orilla del Salar. Para fines de comparación, uno de los radiómetros (YES 138) se quedó midiendo en un punto fijo, cerca del Hotel de Sal, a 6 km de la orilla. El análisis de los resultados se ha revelado más complejo de lo esperado y requiere más tiempo y dedicación. De hecho, las diferencias que se quieren medir no son muy significativas, debido a que están tomadas cerca al mediodía y las correcciones temporales son bastante delicadas. Adicionalmente se tuvieron algunos percances experimentales que obligaron a un trabajo aún más complejo de reconstrucción de la curva con base a los valores del día anterior. Por todas estas razones estimamos que este tema merece un artículo a parte, el cual ya está bastante avanzado.

8  Conclusiones

Las dos campañas, llevadas a cabo en el marco del proyecto bianual, han permitido aprender algunas lecciones y han logrado importantes resultados. Las lecciones se refieren principalmente a la dificultad, no siempre considerada, de realizar medidas ópticas en condiciones extremas, con fuentes de potencia no confiables, con instrumentos que requieren particular cuidado, debido a su tiempo de uso y al tiempo limitado que se dispone. No obstante, se han logrado resultados que ponen en discusión anteriores conclusiones, por la dinámica climática de la región del Salar. El principal es el ensuciamiento progresivo del Salar, debido posiblemente a la acumulación de polvo por la reducción del período anual de lluvias, aspecto que deberá ser confirmado por el análisis de datos meteorológicos. Desafortunadamente la estación situada en la isla central del Salar (Incahuasi) ha estado parada y abandonada en los últimos años, pero se tienen datos de la estación de Uyuni. En todo caso, los resultados obtenidos, alientan al Laboratorio de Física de la Atmósfera a emprender otra campaña en un futuro próximo para confirmar y cuantificar las anomalías encontradas.

Agradecimientos

Nuestros sinceros agradecimientos al personal del Instituto de Investigaciones Físicas de la Universidad Mayor de San Andrés (UMSA) por el apoyo generoso en la ejecución de las campañas, empezando por el Director Dr. Wilfredo Tavera. Asimismo agradecemos el apoyo logístico proporcionado satisfactoriamente por las empresas Peru Bolivian Tours y Licancabur. Finalmente, agradecemos a la Empresa Ferroviaria Andina por el transporte gratuito de los equipos a Uyuni.

 

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File translated from T_EX by T_TH, version 3.89.
On 8 Nov 2010, 09:35.

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EFECTO DEL CAMPO ELÉCTRICO ATMOSFÉRICO SOBRE EL CONTEO DE PARTÍCULAS CARGADAS DETECTADAS POR UN CENTELLADOR EN EL LABORATORIO DE FÍSICA CÓSMICA DE CHACALTAYA

The Effect of the Atmospheric Electric Field on the Counting of Charged Particles Detected by a Scintillator in the Laboratory of Cosmic Ray Physics at Mount Chacaltaya (Bolivia)

Winkelmann R.

Carrera de Física
Universidad Mayor de San Andrés
La Paz-Bolivia
(Recibido el 30 de julio de 2010; aceptado el 15 de agosto de 2010)

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Abstract

]]> Secondary particles produced by primary cosmic rays are affected by diverse atmospheric factors such as pressure and temperature. The Atmospheric Electric Field is one such factor. There is evidence that during electric storms the counting rate of particles can increase considerably. In this work we look at the relationship between the Atmospheric Electric Field and the secondary particles, at the Chacaltaya Cosmic Ray Physics Laboratory, under two distinct weather conditions: good and unsettled weather.

Subject headings: atmospheric electric field - cosmic rays Código(s) PACS: 92.60.Pw, 95.50.S-, 95.45._i

Resumen

Las partículas secundarias que son producidas por rayos cósmicos primarios se ven afectadas por diversos factores en la atmósfera, como presión, temperatura, y otros. El Campo Eléctrico Atmosférico (CEA) es uno de estos factores. Se observa que durante tormentas eléctricas la tasa de conteo de las partículas puede incrementarse considerablemente. En el presente trabajo se busca observar en el Laboratorio de Física Cósmica de Chacaltaya (5220 msnm) la relación existente entre el CEA y las partículas secundarias producidas por rayos cósmicos primarios, bajo dos distintas condiciones climáticas: buen tiempo meteorológico y tiempo meteorológico perturbado.

Descriptores: campo eléctrico atmosférico - rayos cósmicos.

 

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1  Introducción

El conjunto de partículas generadas por un rayo cósmico primario posee tres componentes: hadrónica, electromagnética y muónica; éste conjunto de partículas se ven inmersas en una serie de condiciones atmosféricas, como modulación de campo eléctrico [52000Feynman et al.Feynman, Leighton, & Sands], presión y temperatura [32008Alvarez] entre otros, presentes desde el momento de su formación, pero no todas las partículas se verán afectadas de la misma forma. La idea de una posible influencia del Campo Eléctrico Atmosférico (CEA) durante tormentas eléctricas sobre partículas cargadas, en principio electrones, fue planteada por primera vez en la década de los 20 [111925Wilson]; durante las siguientes décadas varios fueron los intentos por observar una aceleración en partículas cargadas antes y/o durante tormentas eléctricas, los resultados de dichas observaciones fueron contradictorios y nada claros. En 1985 Alexeenko et al. realiza la primera inspección minuciosa entre medidas del CEA y variaciones en el registro de rayos cósmicos encontrando correlaciones de corta duración (alrededor de 8 a 16 minutos) con un incremento en la tasa de conteo en el registro de rayos cósmicos de 0.2 a 0.3%; trabajos posteriores como el de [11999Aglietta et al.], [42000Brunetti et al.] y [102001Vernetto et al.], entre muchos otros, demostraron que el CEA afecta tanto a muones como electrones de carga positiva y negativa, además de mostrar un incremento en la radiación X y γ. Vernetto reporta un incremento en la tasa de conteo de un Chubasco Atmosférico Extenso (EAS por sus siglas en inglés) de 10 a 15% en un periodo de 10 a 20 minutos además, [21985Alexeenko et al.] reportan incrementos en la tasa de conteo de hasta un 20% antes de una descarga eléctrica.

]]> Figure 1: Datos correspondientes al 06 de Octubre. (a) Registro al segundo de un día para el centellador. (b) Registro al segundo de un día para el CEA. (c) Registro del centellador promediado al minuto, la curva negra corresponde a los datos alisados. (d) Registro del CEA promediado al minuto, la curva negra corresponde a los datos alisados.

La generación del CEA se debe a la diferencia de potencial existente entre la Tierra y la Electrósfera, otras influencias atmosféricas como las nubes cargadas eléctricamente son capaces de producir intensos campos eléctricos. El modelo clásico de la distribución de cargas en las nubes establece que ésta puede llegar a tener hasta tres centros de carga: uno ubicado en la cima de la nube, con una carga de +40 coulombs, alrededor de los 10 a 12 Km desde la superficie terrestre, una segunda concentración de carga, con -40 coulombs, ubicada alrededor de los 5 a 7 Km, también medida desde la superficie, y una tercera carga no tan significativa que puede o no estar presente, con +3 coulombs, ubicada en la base de la nube alrededor de los 2 Km, éstos valores solo son referenciales, ya que dependerán del tipo de nube, su desarrollo, topología del terreno, etc. Las partículas que se ven inmersas en un CEA son aceleradas bajo el mecanismo Electrón Fugitivo (Runaway Breakdown) propuesto por [61999Gurevich et al.Gurevich, Zybin, & Roussel], el cual establece que las partículas que son aceleradas dentro del campo eléctrico atmosférico experimentan un incremento en su energía y pueden llegar a producir nuevas partículas mediante interacciones con núcleos de la atmósfera, a su vez éstas producen nuevas partículas por el mismo mecanismo hasta que las últimas partículas no tengan la energía suficiente para continuar con el proceso, de manera que el número de partículas aumenta de forma exponencial. El presente trabajo esta destinado a realizar un estudio de la influencia del CEA en el conteo de partículas generadas a partir de rayos cósmicos detectados en el Laboratorio de Física Cósmica de Chacaltaya (ubicado a 5230 m.s.n.m.) por un centellador, durante dos diferentes escenarios climáticos: días con buen tiempo meteorológico y días con tiempo meteorológico perturbado por nubes, en un período de tres meses.

2  Detectores de Partículas en Chacaltaya

Existen diversos arreglos experimentales instalados en el Laboratorio de Física Cósmica de Chacaltaya destinados a detectar partículas secundarias, las cuales, al igual que en cualquier parte del mundo, son afectadas por factores atmosféricos. Los registros de partículas cargadas son constantemente corregidos por presión y temperatura, ya que se cuenta con instrumentos para realizar éstas medidas. Variaciones en el conteo de partículas durante tormentas eléctricas son observadas constantemente, algunas de ellas son reportadas en [72002Huaygua et al.Huaygua, Velarde, & Saavedra], encontrando un número estadísticamente significativo de tales eventos mediante correlaciones con equipos improvisados para detectar descargas eléctricas atmosféricas; no es sino hasta Septiembre del año 2008 que el Laboratorio empieza a registrar medidas del CEA con un instrumento específico para éste propósito, es así que por primera vez, en éste trabajo, se realiza un estudio de las variaciones en el registro de partículas acompañadas por medidas del CEA.

Figure 2: Modulaciones promedio. (a) Campo eléctrico atmosférico. (b) Cuentas de partículas.

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Figure 3: (a) Correlación promedio con los datos de las curvas alisadas. (b) Ajuste cuadrático en la región de descenso del número de partículas.

3  Obtención y Metodología de Datos

En el Laboratorio de Física Cósmica de Chacaltaya se encuentran instalados los equipos utilizados en éste trabajo. El primero, un sensor de campo eléctrico atmosférico de la marca Boltek, modelo EFM- 100 con un tiempo de respuesta de 0.1 segundos, un rango de resolución digital de 0.01 kV/m, y un rango de medición desde -20 kV/m hasta +20 kV/m, sí los valores medidos superan éstos límites el sensor se satura; para evitar saturaciones es posible disminuir la sensibilidad del EFM- 100 a través de resistencias con valores adecuados. Debido al intenso campo eléctrico registrado durante las pruebas preliminares a la instalación del EFM- 100, se opta por reducir la sensibilidad del mismo a un 25% del valor original. El segundo es un detector de partículas compuesto por un centellador de plástico de 0.25 m² de área y 0.1 m de espesor. Como se sabe, los centelladores sólo detectas partículas cargadas, fundamentalmente electrones y muones, por lo tanto resulta muy adecuado para nuestro propósito.

3.1  Selección de datos

]]> Los datos utilizados para éste trabajo son los registrados durante los meses de Septiembre a Noviembre de 2008; se seleccionan y separan primero los registros diarios del CEA que presenten una modulación suave y de baja intensidad, luego se escogen días en los cuales la intensidad del CEA muestre alteraciones bruscas y saturaciones en el equipo. El primer caso es denominado "días con buen tiempo meteorológico", ya que presentan un cielo con poco o nada de nubosidad, esto se corrobora con imágenes satelitales obtenidas en [82010NASA]. El segundo grupo es llamado "días con tiempo meteorológico perturbado" por tratarse de días con alteraciones eléctricas en la atmósfera debidas a la presencia de nubes cargadas eléctricamente, precipitaciones, rayos y otros, así, el primer grupo suma un total de 14 casos, en cambio, el segundo tiene 24 casos.

Figure 4: Variación porcentual en el registro del centellador vs. variación porcentual del CEA. Cada punto representa un día.

]]> Figure 5: Incremento en el número de partículas registrado el 07 de Octubre de 2008. Las líneas verticales muestran la coincidencia temporal entre ambos registros: CEA (a) y N (b).

3.2  Metodología

3.2.1  Días con buen tiempo meteorológico

Los datos obtenidos por ambos detectores son registrados al segundo, lo que hace un total de 86400 valores al día para cada detector. La Fig. 1 (a) y (c) muestran dicho registro para el centellador y el CEA respectivamente (los datos corresponden al 06 de Octubre). En el caso del centellador (Fig. 1(a)) puede apreciarse tan sólo una franja, sin una modulación, sin embargo, si se toma el promedio de los valores sobre un minuto reducimos el número de registros a 1440 y posteriormente se realiza un alisado de la curva a través de una media móvil, aparece claramente una modulación. La Fig. 1(b) muestra el resultado de dicho proceso, donde la curva negra es el alisado del registro promediado. Un proceso idéntico se lleva acabo para el caso del CEA, la Fig. 1(d) muestra el resultado para este caso. Una vez que se obtienen las curvas alisadas de ambos registros para los 14 casos se realiza una gráfica promedio de ambas modulaciones (Fig. 2). Se ve que ambas modulaciones tienen inicio a la misma hora aproximadamente, entre las 7 y 8 de la mañana hora local.

]]> Figure 6: Dos incrementos notables en el registro de partículas coincidentes con alteraciones en el CEA registrados el 13 de Octubre de 2008. Las líneas verticales muestran la coincidencia temporal entre ambos registros: CEA (a) y N (b).

Figure 7: Variaciones notables en el registro de partículas no coincidentes temporalmente con alteraciones en el CEA registrados el 10 de Noviembre de 2008. El desfasaje es de aproximadamente de siete horas. Las líneas verticales muestran el tiempo aproximado de duración de las perturbaciones en cada registro: CEA (a) y N (b).

A continuación se realiza una correlación entre ambas modulaciones (Fig. 2), la Fig. 3(a) muestra el resultado, donde es posible distinguir el ciclo debido a que ambas modulaciones son opuestas, mientras una se incrementa, la otra disminuye y viceversa. En la etapa en que los valores del registro del centellador disminuyen, es posible realizar un ajuste cuadrático (Fig. 3(b)) con un coeficiente de correlación de 0.99, esta correlación entre ambos registros se mantiene por el lapso de 7 horas aproximadamente.

]]>

Figure 8: Variación de corta duración registrada el 18 de Octubre de 2008. (a) Intensas variaciones en el registro del CEA. (b) Registro de partículas con dos variaciones de corta duración.

3.2.2  Días con tiempo meteorológico perturbado

Primero realizamos un análisis similar al caso anterior, reducimos el número de datos al minuto, luego se restan las modulaciones diarias obtenidas para el caso de días con buen tiempo meteorológico para así obtener ambos registros libres de las modulaciones. Se encuentran tres casos en los que destacan incrementos de larga duración en el registro de partículas acompañado de intensos y bruscos cambios en la intensidad del CEA, sin embargo, el procedimiento descrito anteriormente hace imperceptibles las variaciones de corta duración en ambos registros, sobre todo en el de partículas, por lo que para detectar éstas pequeñas variaciones se trabaja con los registros tomados al segundo. Para encontrar éstas variaciones de corta duración se analizan las variaciones porcentuales en el registro de partículas que coincidan temporalmente con saturaciones prolongadas o súbitos cambios en la intensidad del CEA. Analizar las variaciones porcentuales no basta para poder identificar éstos incrementos de corta duración, por lo que se realizó una media móvil al registro de partículas, esto ayuda a minimizar las fluctuaciones, poniendo en evidencia los incrementos de corta duración. Las gráficas correspondientes a éstos análisis se muestran en la siguiente sección.

4  Resultados

4.1  Días con buen tiempo meteorológico

]]> Para verificar una variación en el número de cuentas de las partículas se restan las modulaciones diarias de ambos registros, una vez hecho esto es posible analizar las variaciones porcentuales máximas. La Fig. 4 muestra el resultado de dicho tratamiento, además, pone en evidencia la independencia de ambas modulaciones, es decir, no importa cuanto pueda crecer el CEA, como puede verse hasta casi un 200% respecto al mínimo diario, las partículas no sienten un incremento considerable, siempre están entre 2 y 5% aproximadamente. Lo que podría explicarse porque la intensidad del CEA en días con buen tiempo meteorológico no es lo suficientemente grande como para iniciar el proceso del Electrón Fugitivo.

4.2  Días con tiempo meteorológico perturbado

Como resultado del análisis de variaciones de larga duración con tiempo meteorológico perturbado se obtuvieron 3 casos. El primero de ellos (Fig. 5) muestra un salto desde valores negativos hasta valores positivos respecto a la media en el registro de partículas que coincide con un descenso en el valor del CEA desde valores mayores a los 80 kV/m hasta un mínimo de 40 kV/m aproximadamente, con una duración cerca de 30 minutos empezando alrededor de las 13 horas. El siguiente caso (Fig. 6) muestra dos notables variaciones del CEA que coinciden también con dos incrementos en el registro de partículas. La primera variación que alcanza un poco más de 20 kV/m con una duración de 3 horas aproximadamente que coincide con dos pequeños picos en el registro de partículas, pero que no se ajustan del todo, temporalmente hablando, a los picos del CEA. La segunda variación en el CEA alcanza los 33 kV/m, dura alrededor de 2 horas y también coincide con incrementos en el registro de partículas. Cabe destacar que el registro del CEA no sufre saturaciones, es decir, no llega al máximo valor del sensor que es de 80 kV/m, y aún así existe incrementos notables en el registro de partículas. El registro realizado el 11 de Noviembre de 2008 (Fig. 7) muestra un CEA sumamente perturbado, desde variaciones de corta duración, presumiblemente causadas por descargas eléctricas, hasta saturaciones prolongadas, siendo la más larga cerca de 2 horas. A diferencia de los dos casos anteriores, la variación en el registro de partículas no es coincidente en tiempo, sino que después de varias horas de haber ocurrido las alteraciones en el CEA las partículas empiezan a sentir este efecto, y les toma alrededor de una hora más regresar al número de partículas promedio, es decir que la perturbación del CEA dura cerca de 10 horas, en cambio el incremento en el número de partículas dura aproximadamente 11 horas.

Figure 9: Variación de corta duración registrada el 13 de Noviembre de 2008. (a) Intensas variaciones en el registro del CEA. (b) Registro de partículas con dos variaciones de corta duración.

A continuación se muestran los casos con variaciones de corta duración, en los cuales la media móvil, que es la línea obscura y con poca variación colocada sobre el registro de partículas, ayuda a identificar los incrementos reales en el registro de partículas. El primero de éstos casos es el registro tomado el día 18 de Octubre de 2008 (Fig. 8), en el cual podemos destacar las intensas variaciones y saturaciones prolongadas en el registro del CEA (Fig. 8(a)), al mismo tiempo encontramos dos incrementos en el registro de partículas (Fig. 8(b)), el primero con una duración de 5 minutos aproximadamente y un incremento del 28.9 %, y el segundo, con una duración de alrededor de 15 minutos y un incremento del 33.4 %. El segundo caso fue registrado el 13 de Noviembre de 2008 (Fig. 9). En el panel superior podemos ver saturaciones en el registro que cambian rápidamente de signo, claro ejemplo de descargas eléctricas, existen tres secciones que podemos identificar con claridad, la primera que ocurre alrededor de las 11 horas, una segunda que ocurre entre las 13 y 16 horas aproximadamente, y la tercera alrededor de las 18 horas. En cambio, en el panel inferior, que es el registro de partículas, podemos observar tan sólo dos alteraciones que corresponden temporalmente a la segunda variación del CEA entre las 13 y 16 horas, el primero de ellos logra una variación del 31.2 % y dura aproximadamente 10 minutos, el segundo, un poco más intenso y duradero, logra un incremento del 36.1 % por un tiempo no menor a los 20 minutos. Finalmente, el registro realizado el 19 de Noviembre de 2008 muestra un caso similar al anterior, en el registro del CEA tenemos dos regiones con cambios súbitos, el primero entre las 10 y 13 horas, y el segundo, menos intenso, entre las 16 y 17 horas, mientras que el registro de partículas (Fig. 10(b)) muestra solo una variación entre las 16 y 17 horas, en otras palabras, ésta variación coincide con la variación del CEA menos intensa. La variación en el registro de partículas posee un incremento del 29.4 % y dura al rededor de 10 minutos.

5  Conclusiones

]]> Se logra realizar un primer estudio del CEA en el Laboratorio de Física Cósmica de Chacaltaya encontrando un perfil promedio para días con buen tiempo meteorológico (Fig. 2(a)), encontrando su valor máximo cerca a las 15 horas en tiempo local, que es un resultado coincidente con el expuesto en [52000Feynman et al.Feynman, Leighton, & Sands], el cual establece que sin importar la ubicación geográfica la máxima variación del potencial atmosférico en días con buen tiempo meteorológico ocurre a las 19 horas del meridiano de Greenwich, además, Chacaltaya es un lugar bastante particular en este sentido, ya que el mínimo valor para días con buen tiempo meteorológico es del orden de 3 kV/m, a diferencia de los 0.1 kV/m mostrados en [92007Ramachandran et al.] y [52000Feynman et al.Feynman, Leighton, & Sands]. Esta característica es debida principalmente a dos peculiaridades que posee el laboratorio: la primera se debe a la altura a la que se encuentra Chacaltaya (5230 m.s.n.m.), además de tratarse de una montaña, y la segunda se debe a la particular ubicación del sensor EFM -100, ya que éste se encuentra en una torre que a su vez se halla sobre depósitos de galena que intensifican el CEA, lo cual pudo comprobarse durante la calibración del sensor.

Figure 10: Variación de corta duración registrada el 19 de Noviembre de 2008. (a) Variaciones en el registro del CEA con dos regiones muy bien diferenciadas. (b) Registro de partículas con tan solo una variación de corta duración.

Por otra parte, el análisis realizado para encontrar alguna correlación entre el CEA y el registro de partículas durante días con buen tiempo meteorológico reveló que ambas modulaciones diarias se originan al mismo tiempo y mantienen una alta correlación por varias horas (en promedio un coeficiente de correlación cuadrático de 0.99 por un lapso de aproximadamente 7 horas). Sin embargo, el resultado final de éste análisis lo muestra la Fig. 4, en el cual se aprecia una completa independencia entre ambas modulaciones. Para el caso de días con tiempo meteorológico perturbado se encuentran dos tipos de resultados, variaciones de larga y corta duración, que precisamente concuerdan con los reportados en [11999Aglietta et al.]. De 24 casos estudiados, tan solo 4 muestran variaciones de larga duración, siendo éstos poco homogéneos en su comportamiento, es decir, los incrementos en el registro de partículas no siempre ocurren simultáneamente a las perturbaciones en el CEA, como es el caso del registro realizado el 10 de Noviembre de 2008 (Fig. 7), el cual muestra un retraso de varias horas en el incremento del registro de partículas comparado al tiempo de inicio en las perturbaciones en el CEA. Para el caso de variaciones de corta duración se encontraron registros de 3 días que concuerdan con éste perfil, los cuales revelan un incremento en la razón de conteo de entre 29 y 36% con una duración de 5 a 20 minutos aproximadamente. Al parecer las variaciones de corta duración siempre son coincidentes, temporalmente hablando, con bruscos incrementos y saturaciones en el registro del CEA. Sin embargo, no siempre se presentan cuando el CEA sufre intensas y prolongadas fluctuaciones, claro ejemplo de ello son los registros realizados los días 13 y 19 de Noviembre (Figs. 9 y 10), el registro del CEA muestra marcadas regiones con intensas perturbaciones, pero el incremento en la razón de conteo de las partículas solo es coincidente con algunas de éstas regiones. En conclusión podemos decir que los incrementos en las razones de conteos durante perturbaciones en el CEA, no son un efecto que siempre se presente, ni siquiera que tengan duraciones o intensidades iguales en todos los casos. Una razón para que éste fenómeno no sea constante podría radicar en el detector de centelleo, ya que al ser de una superficie pequeña la fluctuacíon sobre la media es muy grande (de más de 4σ), por lo que las variaciones debidas al CEA podrían estar inmersas dentro de las fluctuaciones, es por esto que un futuro análisis debe usar un arreglo de detectores para el registro de partículas.

References

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On 8 Nov 2010, 09:33.

^rND^sAglietta^nM.^rND^sAlexeenko^nV. V.^rND^sAlvarez^nJ.^rND^sBrunetti^nM.^rND^sFeynman, Leighton^nSands^rND^sGurevich^nA. V.^rND^sZybin^nK. P.^rND^sRoussel^nR. A^rND^sHuaygua^nN.^rND^sVelarde^nA.^rND^sSaavedra^nO.^rND^sRamachandran^nV.^rND^sVernetto^nS.^rND^sWilson^nC. T.^rND^nD.^sUrzagasti^rND^nD.^sUrzagasti^rND^nD^sUrzagasti

KINKS Y SOLITONES EN LA ECUACIÓN DE GINZBURG-LANDAU CÚBICA-QUÍNTICA REAL

Kinks and Solitons in the Cubic-Quintic Real
Ginzburg-Landau Equation

D. Urzagasti

Instituto de Investigaciones Físicas
Universidad Mayor de San Andrés
Email: urza@fiumsa.edu.bo
La Paz-Bolivia
(Recibido el 1 de septiembre de 2010; aceptado el 24 de septiembre de 2010)

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Abstract

We numerically solve the parabolic cubic-quintic real Ginzburg-Landau equation in one dimension. It was found that non-divergent solutions connect fixed points. These appear as trajectories in the phase portrait connecting saddle points with spirals and nodes. These fronts (kinks) or spatial periodic structures travel stationarely along the one dimensional axis. From the solutions involving spirals we were able to assemble pairs of solutions to form stationary localized structures like domains and pulses.

Subject headings: dynamical systems (nonlinear) - numerical integration Código(s) PACS: 05.45._a, 02.60.Jh

Resumen

Se resuelve numéricamente la ecuación parabólica de Ginzburg-Landau Cúbica-Quíntica Real en una dimensión. Las soluciones no divergentes encontradas son aquellas que conectan los distintos puntos fijos. Estas se presentan como trayectorias en el espacio de fases que conectan puntos silla con puntos fijos espirales y nodos y que tienen la forma de frentes (kinks) o de estructuras periódicas espaciales que viajan estacionariamente en el espacio. A partir de las soluciones que involucran espirales, ha sido posible construir también estructuras estacionarias localizadas espacialmente que tienen formas de dominios y pulsos.

]]> Descriptores: sistemas dinámicos no-lineales - integración numérica

 

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1  Introducción

Muchos sino la mayoría de los problemas físicos que se abordan desde el punto de vista analítico se presentan con ecuaciones de carácter no lineal y no sólo con una variable independiente sino en general con varias, perteneciendo así al conjunto de tipos de ecuaciones conocidas como NPDEs (nonlinear partial differential equations). Podría pensarse que dada su no-linealidad estos problemas no tienen solución analítica exacta, y que la resolución debe afrontarse por medio de algoritmos numéricos; sin embargo, existen varias obras y artículos dedicados a la divulgación de muchos casos en los que se han encontrado soluciones exactas a problemas no-lineales específicos, entre ellos podemos citar el artículo de [12007Ali et al.Ali, Soliman, & Raslan] en el que se muestra un método para hallar soluciones de NPDEs usando el método de la función coseno o el libro de [152000Sachdev] en el que resume métodos para la obtención de soluciones exactas de muchos problemas no lineales. Pero al parecer, en la mayoría de los casos no se tiene tanto éxito y tiene que recurrirse a métodos analíticos aproximados como por ejemplo los métodos homotópicos descritos entre otros por [32009Babolian et al.] y [92009Lin] y métodos para la contrucción de pulsos en ecuaciones de amplitud como el descrito por [52003Descalzi]. No obstante de que estos métodos puedan tener éxito en muchos casos, no en todos, resultan muy engorrosos al manejar un gran número de términos en las aproximaciones aparte de la complejidad que pueden adquirir los mismos. No parace una forma práctica de abordar los problemas no-lineales con aproximaciones analíticas cuando no existen soluciones exactas, entonces la integración numérica se presenta como el único camino llano y promisorio en esta difícil área. Pero la resolución numérica es sólo una herramienta que cuando es bien utilizada brinda resultados muy precisos y con gran rapidez. Para ser bien utilizada, debe realizarse el análisis de existencia, unicidad y estabilidad de las soluciones que se adapatarán lo mejor posible a la realidad de los resultados experimentales. En primer lugar, debe tenerse la seguridad de que si es así predicho por estos análisis, las soluciones numéricas corroboran y plasman en una "realidad numérica" todo aquello que se esperaba antes de la resolución y con una gran precisión y eficiencia, lo que es ahora posible gracias a la gran velocidad de los procesadores computacionales y a los diferentes métodos numéricos desarrollados para la resulución de todo tipo de problemas (véase por ejemplo ). El análisis mencionado es muy complejo y actualmente está en una etapa de desarrollo muy fuerte, para empezar pueden citarse la obra ya clásica y muy didáctica de [161994Strogatz] y obras más recientes y muy formales de [81995Kuznetsov] y [112007Meiss]. Al respecto, muchos avances se han ido realizando hasta los recientes años en distintas áreas del ámbito no lineal, véase por ejemplo una revisión completa mostrada por [22002Aranson & Kramer] respecto al estado del estudio de las CGLEs (Complex Ginzburg-Landau Equations) y un resumen de diversos casos en la formación de estructuras localizadas dado por [42002Coullet]. En el caso del extenso grupo de las CGLEs existe un subgrupo muy importante de ecuaciones llamadas Complex Cubic-Quintic Nonlinear Ginzburg-Landau Equations o simplemente cubic-quintic CGLEs, en las que aparece la amplitud compleja e incógnita en términos de tercer y quinto grado aparte de los lineales. Estas ecuaciones han sido ampliamente estudiadas, y para citar sólo unos cuantos ejemplos están los trabajos de [102005Maruno et al.Maruno, Ankiewicz, & Akhmediev] y [72009Kalashnikov] donde se encuentran soluciones tipo solitones disipativos o el de [122008Nguenang et al.Nguenang, Njassap Njassap , & Kofané] donde se modela el movimiento de paredes de dominios ferromagnéticos y el de [132007Pelap et al.Pelap, Kenfack, & Faye] donde se estudia el comportamiento de soluciones del tipo de ondas de choque. También se han estudiado el caso de estas ecuaciones en su versión real como en el caso del trabajo de [182004Wei & Winter] en el que se estudian soluciones con formas de ondas estacionarias cuando se considera un acople global para la estabilización de dicha ecuación. En esta ocasión, como un paso previo necesario para el estudio de ecuaciones tipo CGLEs se ha pensado estudiar la versión real de las CGLEs, afrontando el problema de una ecuación parabólica típica de problemas difusivos en una dimensión espacial. Se trata de la ecuación de amplitud de Ginzburg-Landau Cúbica-Quíntica Real en una dimensión que posee una solución exacta hasta el tercer grado en la amplitud, pero no cuando la misma incluye un término de quinto grado en la misma. En este trabajo se resuelve el problema de esta ecuación usando el procedimiento de análisis previo mencionado, para proceder luego a la resolución numérica del problema. Se clasifican los distintos casos que podrían darse para diferentes valores de los parámetros y finalmente se construyen, a partir de las soluciones tipo kinks encontradas, las estructuras localizadas estacionarias, también llamadas solitones. Ecuaciones como ésta pueden encontrarse en diversas áreas pero sobretodo en el área que involucra problemas de difusión del calor en reservorios de agua que intercambian masa y energía con la atmósfera (). En general, la forma original de la ecuación no-lineal bajo estudio no tiene una forma sencilla, por ello se recurre a un procedimiento de reducción con la obtención de la llamada forma normal de la ecuación (véase ), con la cual se puede trabajar con una forma más o menos sencilla que puede complicarse agregando a la misma términos en forma de monomios o bien términos con mayores órdenes de derivadas. La ecuación de amplitud aquí estudiada ya está bajo su forma normal. ]]>

2  Ecuación de Amplitud de Ginzburg-Landau Cúbica-Quíntica Real

La ecuación de amplitud bajo estudio tiene la siguiente forma:

∂tu=∂2x u+a u+b u3+c u5,

(1)

la cual, sin el último término es también conocida como la ecuación parabólica de Newell-Whitehead. En primera instancia, planteamos el análisis desde el punto de vista de soluciones tipo frentes (kinks) de la siguiente manera: Haciendo el cambio de variable:

y=x−v t,

(2)

con v constante, se tienen:

∂t=−v ∂y,       ∂x=∂y,       ∂2x=∂2y,

(3)

con lo que la ecuación toma la forma:

−v∂y u=∂2y u+a u+b u3+c u5.

(4)

Introduciendo la notación:

⋅ A   =∂y A,       y1=u,       y2= ⋅ y1   ,

(5)

se tiene el par de ecuaciones

f1 = ⋅ y   1  =y2, f2 = ⋅ y   2  =−v y2−a y1−b y13−c y15. (6)

3   Puntos de equilibrio: →f=0

]]> Nótese que se tiene la libertad de realizar un reescalamiento haciendo cualquiera de los parámetros, a, b ó c igual a la unidad. En este caso se elige:

c=1.

(7)

Existen diferentes puntos fijos (puntos de equilibrio): Punto A. Un punto de equilibrio corresponde a la solución homogénea:

( y1∗, y2∗)=0.

(8)

Punto B. Otros puntos de equilibrio corresponden a las soluciones:

y1∗2= b 2 (−1±[1−α]1/2),    y2∗=0,

(9)

donde

α = 4a b2 ≤ 1.

(10)

Figure 1: En esta figura se muestra la relación entre los valores de las posiciones de los puntos de equilibrio y₁^∗ y los parámetros a y b de la Ec. (1). El parámetro α = 4a/b² ≤ 1 (Ec. 10). La línea vertical en Z₁=0 corresponde a y₁^∗=0 del Punto A. La curva sólida corresponde al caso b < 0 del Punto B, mientras que la curva segmentada corresponde al caso b > 0 del mismo punto (Ec. 17). Nótese cómo la bifurcación se da a partir del punto (0,0) en esta figura, ya sea para b > 0 o para b < 0. Los casos que pueden presentarse se resumen usando como ejemplo los puntos fijos representados en la figura: Los puntos del tipo A₁, B₂, B₃ ó B₄ pueden ser espirales, nodos o centros. Los puntos del tipo B₁ ó A₂ son sillas. Dada la simetría respecto del eje Z₁=0, los puntos a la izquierda de este eje son similares a los de la derecha del mismo.

]]>

	(a) Espiral: v=1/2
	(b) Nodo: v=5
	(c) Centro: v=0

Figure 2: Trayectorias que conectan puntos fijos de los tipos A₁ y B₁ de la Fig. 1 para el caso α = 3/4 con a=3 y b=−4. Se muestran las correspondientes amplitudes y₁ y y₂ como funciones de la posición x (el valor del tiempo es arbitrario), las cuales para v > 0 tienen la forma de frentes (kinks) que viajan hacia la izquierda con la velocidad v, mientras que para v=0 tienen la forma de estructuras periódicas estacionarias.

	(a) Espiral: v=1
	(b) Nodo: v=8
	(c) Centro: v=0

Figure 3: Trayectorias que conectan puntos fijos de los tipos B₁ y B₂ de la Fig. 1 para el caso α = 3/4 con a=3 y b=−4. Se muestran las correspondientes amplitudes y₁ y y₂ como funciones de la posición x (el valor del tiempo es arbitrario), las cuales para v > 0 tienen la forma de frentes (kinks) que viajan hacia la derecha con la velocidad v, mientras que para v=0 tienen la forma de estructuras periódicas estacionarias.

(a) Ensamblaje usando el quinto mínimo local.
(b) Ensamblaje usando el primer mínimo local.
(c) Ensamblaje usando el primer máximo local.

]]> Figure 4: Estructuras localizadas obtenidas del ensamblaje de las trayectorias espirales de la Fig. 3a que conectan puntos fijos de los tipos B₁ y B₂ de la Fig. 1 para el caso α = 3/4 con a=3 y b=−4. Se muestran sólo tres ejemplos representativos para tres valores de x₀: (a) x₀ coincide con el quinto mínimo local, dando una estructura de la forma de un dominio localizado en el espacio; (b) x₀ coincide con el primer mínimo local, dando una estructura con dos picos y un valle entre ellos y (c) x₀ coincide con el primer máximo local, dando la estructura de un pulso localizado.

4   Estabilidad lineal y bifurcaciones

La matriz jacobiana asociada al sistema

d → y   dt = → f

es:

A = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ∂1f1 ∂2f1 ∂1f2 ∂2f2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 0 1 ∂1f2 −v ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ,

(11)

donde

∂1f2=−a−3b y12−5 y14.

(12)

La ecuación característica del problema es entonces:

det (A−λI)=λ2−τλ+∆ = 0,

(13)

donde para los distintos puntos fijos:

Punto A.   En este caso:

τ = −v,   ∆ = a.

(14)

Punto B.   En este otro caso:

τ = −v,   ∆ = − 4a α (1−α)1/2{±1−(1−α)1/2}.

(15)

Para ∆ < 0 se tienen puntos silla. Para ∆ > 0, la estabilidad la define v  : Si v > 0 se tiene un equilibrio estable, si v < 0 se tiene un equilibrio inestable y si v=0 se tienen centros. Por otro lado, el tipo de estabilidad lo define ∆: Si ∆ > v²/4 se tienen espirales, de lo contrario, si 0 < ∆ ≤ v²/4 se tienen nodos. Definiendo:

Z1= ⎛ ⎝ 1 |b| ⎞ ⎠ 1/2   y1∗ ,

(16)

]]> se puede escribir para el Punto B:

α = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ −4 Z12(1+Z12),     b > 0, −4 Z12(Z12−1),     b < 0.

(17)

En la Fig. 1 se muestran las curvas que relacionan los parámetros de la Ec. 4. En la misma se resumen todos los casos posibles usando varios puntos fijos de ejemplo en distintas partes del diagrama.

5  Trayectorias entre los puntos fijos

5.1  Trayectorias que involucran puntos silla

Para el caso de puntos silla se necesitan los eigenvectores que definirán las variedades estable e inestable de la silla. Partiendo de los eigenvalores

λ[±]= 1 2 (τ±[τ2−4∆]1/2),

(18)

reemplazados en la ecuación (A−λI)→y=0, se obtienen los correspondientes eigenvectores:

→ y   [±]  =(1,λ[±])

(19)

En el caso v > 0, el signo (+) corresponde a la variedad inestable y el signo (−) a la variedad estable de la silla. Ahora bien, cualquier condición inicial se puede escribir como

→ y   0  =c[+] → y   [+]  +c[−] → y   [−]  ,

(20)

donde c_[+] y c_[−] son constantes; y la solución lineal muy cerca del punto silla se escribe:

→ y   =c[+] → y   [+]  eλ[+]t+c[−] → y   [−]  eλ[−]t.

(21)

Nótese, a modo de ejemplo, que si se quiere seguir la trayectoria partiendo de la variedad inestable de la silla, debe hacerse c_[−]=0 y c_[+] lo suficientemente pequeña para que sea válida la aproximación lineal.

]]> 5.2  Casos estudiados

A fin de estudiar todas las posibilidades se consideran las distintas trayectorias que conectan puntos fijos similares a los representados en la Fig. 1 (A₁, B₁, etc.). Estas trayectorias son obtenidas integrando numéricamente el par de ecuaciones (6) a partir de las variedades inestables de los puntos silla considerados. Los resultados de las trayectorias elegidas se muestran en las Figs. 2 y 3. Se eligieron sólo los conjuntos de trayectorias de los tipos B₁→ A₁ (Fig. 2) y B₁→ B₂ (Fig. 3) ya que las de los tipos A₂→ B₃ y A₂→ B₄ son similares a las mismas. Nótese que no pueden conectarse los puntos B₃ y B₄ ya que estos no coexisten.

6  Estructuras Localizadas

Si se considera el término adicional v∂_x u en la Ec. 1, resulta la ecuación:

∂tu=v∂x u+∂2x u+a u+b u3+c u5.

(22)

La cual, en el caso estacionario toma la misma forma que la Ec. 4:

v∂x u+∂2x u+a u+b u3+u5=0,

(23)

donde se ha tomado como antes c=1. Nótese que en esta ecuación si u es solución de la misma, −u también lo es. Otra simetría, en este caso de reflexión, surge de que la ecuación (23) no sufre ninguna modificación si se hacen los cambios v→ −v y x→ −x+2x₀, donde x₀ es una constante arbitraria. Se tiene así que si u₁(x) es solución de (23), u₂(x)=u₁(2x₀−x) también lo es. Debe hacerse notar que aquí v no debe interpretarse necesariamente como una velocidad, ya que en este caso el parámetro v ha aparecido en un nuevo término insertado en la ecuación original. Estructuras estacionarias localizadas espacialmente pueden ser construidas entonces ensamblando las soluciones u₁ y u₂. Las únicas condiciones para que tanto las amplitudes como sus derivadas primera y segunda empalmen en el punto x₀ son que las derivadas primeras en este punto sean nulas. De esta manera, sólo es posible un ensamblaje con soluciones que involucren puntos fijos espirales como las de las Figs. 2a y 3a. En la Fig. 4 se muestran tres estructuras localizadas representativas obtenidas usando las trayectorias del caso de la espiral de la Fig. 3a. Como puede observarse en la misma, se tienen tanto formas del tipo de dominios localizados (estructuras anchas) como de pulsos localizados (estructuras delgadas). Estas estructuras deben verse como un tipo especial de estructuras conocidas en general como solitones.

7  Sumario y Conclusiones

Se ha abordado el problema de la resolución de una ecuación parabólica de amplitud de tipo difusivo en una dimensión considerando monomios en la amplitud de hasta quinto grado, esta es la ecuación de Ginzburg-Landau Cúbica-Quíntica Real, la cual, hasta el tercer grado en la amplitud posee soluciones analíticas exactas, no así cuando tiene incluido el término de quinto grado en la amplitud. Luego de analizar cómo encarar el problema de la resolución y haber agotado las técnicas de aproximación analítica, se ha procedido al análisis de estabilidad lineal de los puntos fijos asociados y la caracterización de los mismos habiendo resumido todos los posibles casos en un diagrama que relaciona los parámetros. Se han encontrado seis tipos de puntos fijos que pueden ser sillas, espirales, nodos o centros. Luego se ha encontrado que la resolución numérica del problema es la más adecuada, precisa y rápida una vez que se han identificado todas las posibles trayectorias que puedan conectar los puntos fijos mencionados. Por razones prácticas de integración numérica se ha visto que el comenzar la integración a partir de la variedad inestable de una silla es el mejor camino en cuanto a precisión y también con el fin de asegurar que las soluciones estén acotadas y conecten puntos fijos. De esta manera se han hallado y se muestran en este trabajo soluciones típicas que dan lugar a comportamientos monótonos de los kinks cuando se conectan una silla y un nodo; comportamiento oscilatorios amortiguados de los mismos, cuando se conecta una silla con un punto fijo espiral y la desaparición de los kinks cuando el término de disipación desaparece, dando lugar a estructuras periódicas en el espacio. Todo esto desde un punto de vista de kinks que viajan estacionariamente en uno u otro sentido del único eje espacial considerado. Sin embargo, aparte de estas soluciones tipo frentes viajeros o de patrones periódicos, las propiedades de simetría de reflexión de la ecuación estudiada permiten la construcción de patrones o estructuras estacionarias localizadas espacialmente, mediante el ensamblaje de pares de soluciones que cumplan las condiciones de que tanto la amplitud como sus derivadas sean iguales en en punto de ensamblaje, condición que sólo se da en el caso de que las primeras derivadas de dichas soluciones en dicho punto sean nulas, por lo tanto este procedimiento sólo resulta posible para las trayectorias que conectan puntos silla con puntos fijos espirales. Dada la presencia de espirales en las soluciones encontradas, el procedimiento de ensamblaje resulta aplicable y se en cuentran dos tipos principales de estructuras localizadas: dominios y pulsos localizados. Finalmente, todos estos resultados deben ser puestos a prueba experimentalmente, principalmente en problemas de difusión estacionarios, una primera sugerencia es la de aplicarlos a la ecuación no-lineal de difusión del calor en un sistema compuesto por un reservorio de agua en contacto con la atmósfera, por ejemplo.

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