ESTUDIO DE DOS CIRCUITOS CAÓTICOS

G. Conde S., G. M. Ramírez A.

Carrera de Física—U.M.S.A.
La Paz—Bolivia

RESUMEN

Se describe el proceso para caracterizar numéricamente un circuito autónomo tipo Chua (compuesto por dos capacitores, una bobina, una resistencia y el diodo de Chua), seguido de una verificación experimental y una comparación cualitativa con un circuito no autónomo R-L-diodo. Manteniendo el parámetro de control  = C₂/C₁ fijo y aumentando los valores β= R²C₂/L y  γ= RroC₂/L, según el modelo de Chua, el sistema presenta estados en el siguiente orden: divergencia (inestabilidad), caos (con ventanas periódicas) y finalmente periodicidad con tendencia a un punto fijo. En el laboratorio, el comportamiento es similar, sólo que en vez de divergencia se tiene un ciclo límite de primer orden, luego la región caótica a veces contiene ventanas periódicas y finalmente se presentan ciclos límite de segundo y primer orden terminando en un punto fijo. Experimentalmente, el parámetro de control fue la resistencia y los componentes más importantes para obtener caos fueron: C₁ = 10 pF y L=1 mH (ro = 21.4 9); C2 podía tomar valores desde 1.5 nF hasta 47 nF, y R desde O Sl hasta 2 1( 9. A pesar de no haberse obtenido la correspondencia esperada entre resultados experimentales y numéricos, se obtuvo el mismo comportamiento y atractores extraños característicos del sistema. Por otro lado, se trabajó con un circuito no autónomo compuesto por R = 51.2 9, L=470 pH y un diodo normal. Este sistema presentó desdoblamiento de periodo y ventanas periódicas. Los parámetros de control fueron: la amplitud del voltaje y la frecuencia de la fuente, con ellas se calculó la primera constante de Feigenbaum. Para la segunda constante, se encontró mayor dificultad debido a la precisión con la que fueron medidos los valores del voltaje en el diodo. Se concluye que los atractores de ambos circuitos dependen de la forma de la función característica del elemento no lineal y presentan bifurcaciones según la variación de la amplitud a una frecuencia crítica. Un estudio más completo puede realizarse utilizando una interfase y analizando el espectro de potencias de las señales de ambos circuitos, además de implementar un modelo teórico en el último. Se ha visto que estos circuitos son de fácil construcción de modo que pueden ser introducidos como herramientas didácticas para el estudio de fenómenos no lineales.

Descriptores: Circuitos Electrónicos, Caos, Atractores Extraños.

El estudio de los fenómenos no lineales en nuestro me­dio ha tornado un aspecto teórico en su mayoría, y poco a poco ha crecido el interés por servirse de sus herramien­tas y aplicarlas en una variedad de áreas. En especial, los atractores extraños son considerados como abstracciones que solamente se observan en libros o en simulaciones y el caos, da la impresión de presentarse solamente en sis­temas muy grandes corno los sociales o biológicos. Sin embargo, estos fenómenos pueden observarse en siste­mas de fácil construcción y manejo. Una forma de llegar a este propósito es mediante la electrónica, que desde principios del siglo pasado, ha reportado circuitos con comportamientos "inusuales" y desde entonces se han realizado varios estudios rigurosos e investigaciones, de­sarrollándose aplicaciones en la tecnología de comuni­caciones y proponiéndose nuevas aplicaciones incluso en la medicina. Existen varios circuitos electrónicos que al  contener un elemento no lineal presentan comportamien­tos irregulares, uno de ellos es el circuito autónomo tipo Chua, planteado por el ingeniero electrónico chino León Chua en 1971. Si bien fue planteado en ese año, la pri­mera evidencia de caos en este circuito fue en 1983 por simulación, realizado por T. Matsumoto [ 1] y la primera evidencia experimental de caos fue realizado por Zhong y Ayron en 1984 [2], posteriormente, se presentó un tra­bajo con pruebas rigurosas de la familia entera de atrac­tores caóticos de este circuito [3]. Finalmente, el circuito ha formado parte de la base para investigaciones en sin­cronización caótica y otras variedades incluyendo aplica­ciones en la encriptación de señales [4], [5], [6].

Por otra parte, un circuito RLC con un capacitor variable como elemento no lineal y una fuente de volta­je sinusoidal fue descrito por Paul Linsay en 1981, en­contrando que el sistema experimental daba resultados concordantes con la teoría de sistemas no lineales [7].

Desde entonces se realizaron modificaciones y estudios de este sistema, buscando las verdaderas causas de la no linealidaid, mas aplicaciones específicas aún no se han encontrando.

Debido al interés por estudiar y observar fenómenos no lineales como el caos y la ruta que nos lleva hacia él, se pretende caracterizar numéricamente el circuito tipo Chua y realizar observaciones en el osciloscopio a manera de una verificación experimental. Por otro lado, se pre­tende realizar una comparación cualitativa, con un cir­cuito no autónomo compuesto por una fuente de voltaje alterna, una resistencia, una bobina y un diodo normal.

2. EL CIRCUITO TIPO CHUA

Este circuito se caracteriza principalmente por dos aspectos: primero, es autónomo, es decir, no está ali­mentado por fuentes de corriente alterna y segundo, está compuesto por dos partes: una parte que presen­ta un comportamiento típico de un oscilador amortigua­do(dos condensadores, una resistencia y una bobina) y la otra parte que constituye el único elemento no lineal denominado diodo de Chua. Este elemento causante de la no linealidad actúa como la fuente de energía de todo  el circuito, se ocupa de retroalimentarlo y lo mantiene oscilando (ver figura la).

El circuito tipo Chua se describe mediante el siguien­te sistema de ecuaciones diferenciales:

donde la función del diodo de Chua:

 f (V₁ ) = m_bV₁ + ½(m_a —mь)[|V₁ +B|-  |V₁ -B|]    tiene pendientes negativas m_a, m_b y un punto de ruptura dependiente del voltaje de saturación del amplificador operacional B. Estas ex­presiones están en función de los valores de componentes en el circuito del modo siguiente:

El diodo de Chua, básicamente, contiene dos amplifi­cadores operacionales con un juego de seis resistencias, el

Figura 2. Arreglo experimental para medir la curva característica del diodo de Chua. Se aplica un voltaje Vs de una función sinusoidal al circuito en serie compuesto por la resistencia sensible R, y el diodo NR. El TL082 fue alimentado por ± 15 V.

arreglo se observa en la figura lb. Los valores adecuados para presentar no linealida..d fueron determinados en [8] y son una variación de los valores propuestos inicialmen­te por J. M. Kennedy [9]. La función f(V₁) de este diodo se caracteriza por una curva V-I no lineal compuesta por tres rectas con pendiente negativa y un arreglo experi­mental para su obtención se sugiere en [10].

El modelo de Chua se presenta en forma adimensional introduciendo los términos siguientes:

Entonces, se tiene un sistema de tres ecuaciones dife­renciales que en principio depende de dos parámetros  y β. Pero, considerando la resistencia intrínseca ro de la bobina (ver figura 1d), se introduce un tercer parámetro   al sistema de ecuaciones (3).

La forma adimensional de la función del diodo de Chua es f (x) = bx + ½(a – b)(|x + 1|– |x –1|), la cual se muestra en la figura lc. Se utilizaron los valores sugeridos para a = –1,22 y b = –0,728 [8].

2.1. Obtención Experimental de la Función Característica del Diodo de Chua

Se construyó el arreglo experimental que se observa en la Fig. 2 en el que el diodo de Chua compuesto por el amplificador operacional doble TL082 conectado a sus correspondientes seis resistencias: R₁ = R2 = 220 9, R3 = 1.8 k9, R4 = Rs = 22 k9, R6 = 3.3 Id?, se en­cuentra en serie con una resistencia sensible R, 1 k9. El sistema fue alimentado por el voltaje Vs de un genera­dor de funciones GFG-8016G y el TL082 por una fuente simétrica de 15 V. Se realizaron pruebas con baterías de 9 V y con fuentes de 12 V y de 10 V, en especial esta última porque inicialmente se había trabajado con ella y se habían encontrado aparentes atractores extraños. To­das las observaciones se realizaron con un osciloscopio digital Jimatsu SS-8421.

La resistencia sensible Rs fue utilizada para medir la corriente IR que fluye por el diodo cuando se aplica un voltaje VR a sus terminales. Por comodidad se escogió el valor de Rs = 1 k9 pues V_Is = –I_R e IR está dado en [mA].

Se obtuvo la curva característica del diodo aplicando el voltaje de fuente Vs, conectando V_i„ al canal Y del os­ciloscopio y VR al canal X y observando en el modo X-Y. Como sabemos que , entonces, para obtener la curva exacta: , se invirtió la entrada de Y.

Los resultados obtenidos se muestran en la Fig. 3 Se observa la curva característica de tres segmentos para 31 Hz de frecuencia, 3.480 V de amplitud de voltaje de la fuente y ± 15 V de voltaje de alimentación para los amplificadores del diodo. Además, se probó que la fuente de 10 V, tenía mucho ruido, y fue descartada junto con la fuente de 12 V porque también era ruidosa. Al final, se decidió realizar el trabajo experimental con la fuente de 15 V y observar cómo afectaban las baterías de 9 V.

3. ESTUDIO CUALITATIVO DEL CIRCUITO
3.1. Atractores periódicos y caóticos

Figura 3. Curvas características I vs. V del diodo de Chua. Se observa que la fuente de 10 V es muy ruidosa.

·  Puntos fijos. Es el caso más sencillo que represen­ta un estado estacionario del sistema. En la serie temporal se presenta una función continua.

·  Ciclos límite. O puntos periódicos representan un estado oscilatorio del sistema y todas las trayecto­rias pasan una y otra vez por su propio valor inicial trazando una curva cerrada. En la serie temporal se observa una función periódica.

·  Casi-periodicidades. Representan la superposición de estados oscilatorios con periodos distintos y el espacio más apropiado para trazar estas trayecto­rias es el toroide. En la serie temporal se presenta como una función modulada.

Hasta este punto los casos vistos se denominan periodicidades.

A tractores Extraños. Este es otro caso posible que corresponde a estados aperiódicos. Una de las carac­terísticas de un atractor extraño es que en el espacio de fases existe un proceso llamado "stretching and folding" (estirar y doblar), lo que significa que en las trayectorias se produce una especie de estiramien­to y luego un plegado sin que ellas se intersecten. Los atractores extraños son las representaciones en el espacio de fases de sistemas caóticos.

De este modo, un sistema podría sufrir cambios de acuerdo a los parámetros que se utilicen. Estos cam­bios cualitativos se denominan bifurcaciones y los pun­tos donde ocurren estos cambios se denominan puntos de bifurcación. Estas bifurcaciones podrían desembocar en comportamientos caóticos, los cuales se definen como comportamientos irregulares de un sistema determinista muy sensible a las condiciones iniciales [11].

3.2. Metodología y Resultados para la Caracterización del Circuito Tipo Chua Considerando Dos Parámetros

Se comenzó resolviendo numéricamente el sistema de Chua mediante un programa en Matlab, en el cual los valores a ser introducidos fueron las condiciones inicia­les: [xo, yo, zo] = [0.1, 0.15, 0.01], el tiempo de integra­ción: t = 1500, los valores de las pendientes: a = —1,22, b = —0,728 y en principio, los parámetros:  y β, los cuales son variados.

Se realizó un estudio cualitativo del sistema, esto sig­nifica que se observaron las trayectorias en el espacio de fases. Lo primero que se hizo fue elegir un valor de  y variar el valor de β. De este modo se encontraron los límites de β, observando si la representación en el espacio de fases era un atractor extraño para el a elegido. Luego,

TABLA 1

Límites caóticos para la caracterización del sistema de Chua con dos parámetros

Figura 5. Para a = .10, se tiene la bifurcación según el parámetro /3^. Dentro la región caótica j.3 E [13.7, 24] se encuentran variedades de atractores extraños.

TABLA 2

Límites caóticos para la caracterización del sistema de Chua con tres parámetros.

se cambió el valor de a y se encontró su correspondiente intervalo de 0. Para todas las ejecuciones se utilizó el mismo tiempo de integración y las mismas condiciones iniciales.

Con los datos de la tabla 1 se obtuvieron las regiones de caos y periodicidades representadas en la Fig. 4.

Se observó que a partir de  = 2.5, se encuentran atractores caóticos en un amplio rango de β. Cuando este parámetro aumenta de valor, el sistema en general presenta atractores en el orden siguiente: divergencia en el modelo, lo que implica un estado inestable. Luego, el sistema presenta atractores caóticos, y finalmente atrac­tores periódicos (con tendencia a un punto fijo).

Ha sido interesante notar que también existe un ran­go de condiciones iniciales para el cual se tiene un atrac­tor. Este rango va creciendo a medida que a aumenta. La condición inicial para xo es la que tenía el rango más amplio, luego yo y finalmente zo tiene un rango más res­tringido. Por ejemplo, para  = 10 y β = 13.7, se obtiene un atractor extraño y su rango de condiciones iniciales va desde [0.1, 0.15, 0.011 hasta [1.3, 0.19, 0.01]. Quizás esto no es tan sorprendente debido a que es la característica principal de un sistema caótico.

Posteriormente, se observó que la región de caos va creciendo con  y β. En la tabla 1 se presentan datos hasta  = 102, esto no significa que ahí termina la re­gión, de hecho el rango continúa creciendo. Sin embargo determinar los límites hasta este valor fue suficiente para los propósitos de este trabajo.

Dentro de la región caótica, existe una variedad de formas de atractores extraños que, en estudios previos, cada uno de ellos ha sido bautizado con algún nombre, como por ejemplo: "double scroll" (Fig. 5(b)), "screw ty­pe" (Fig. 5(c)), "spiral" (Fig. 5(d)). Como ya se había mencionado, cuando _fi aumenta, antes de ingresar a la región caótica, se tiene una divergencia y luego una ten­dencia a un ciclo límite y finalmente a un punto fijo (ver Figs. 5(a) y (e)). Estas regiones no están determinadas en detalle, esto significa que dentro de la región caóti­ca es posible encontrar ventanas periódicas y dentro de la regi´on peri´odica es posible encontrar atractores casiperiódicos.

3.3. Metodología y Resultados para la Caracterización del Circuito Tipo Chua Considerando Tres Parámetros

Hasta cierto punto los pasos fueron los mismos que en la anterior caracterización.

Se empezó resolviendo numéricamente el sistema de Chua mediante el mismo programa en Matlab, excepto que esta vez se consideró un tercer parámetro γ.

Al principio, el estudio realizado fue cualitativo. Pri­mero, se eligió un  para que quede fijo, luego se buscó el rango de β para un γ mínimo y lo mismo se buscó para un γ máximo. Luego, se escogió otro valor de a y se en­contraron sus correspondientes intervalos de β y γ. En todos los casos se utilizó el mismo tiempo de integración t, las mismas condiciones iniciales (xo, yo, zo) al igual que las pendientes a y b.

La caracterización de la región caótica, se presenta en la tabla 2, en el cual se observan los valores límites de β para el máximo y mínimo valor de γ correspondiente a cada valor de . La región caótica delimitada por los tres parámetros se muestra en la Fig. 6, en ella, se tiene el plano  – β para el γ mínimo, en el cual se observa que la región caótica crece proporcionalmente, tal como lo que se obtuvo en la Fig. 4. Para el  γ máximo, la región caótica también aumenta, pero es mucho más angosta. En el plano ­β se observa también un aumento proporcional de la región caótica. Cuando el parámetro 'y toma valores como por ejemplo: 0.01, para  = 100, el intervalo de β es más amplio: [259.4, 1007.8] que para un valor mayor, por ejemplo: γ = 2.1, en el que el intervalo de _i3 es más angosto: [60.9, 73.7]. Esto se observa en el plano

4. ESTUDIO CUANTITATIVO DEL CIRCUITO
4.1. El Exponente de Lyapunov

El exponente de Lyapunov es una herramienta muy útil para determinar si un sistema dinámico es o no caóti­co.

Figura 6. Caracterización del circuito tipo Chua con tres parámetros. Se muestran dos vistas de la región caótica. Esta región podría contener huecos debido a las ventanas periódicas.

Si al sistema de Chua se le asigna una condición ini­cial [x(0), y(0), z(0)], la integración numérica proporcio­na una serie temporal para cada una de las coordenadas. Si la misma condición inicial es modificada ligeramen­te, entonces se tiene una serie temporal que al principio recorre la misma trayectoria anterior pero después de un tiempo ésta se va separando exponencialmente. Este fenómeno es una característica de un sistema caótico ya que el comportamiento de las trayectorias depende de las condiciones iniciales y precisamente explica porqué estos sistemas son difíciles de predecir a largo plazo (ver Fig. 7).

El exponente de Lyapunov se representa por λ y es una cuantificación del crecimiento exponencial de la dis­tancia entre dos puntos de dos series temporales con condiciones iniciales ligeramente distintas de un siste­ma dinámico determinista. El número de exponentes de Lyapunov depende del número de variables de estado que tiene el sistema. Pero basta con determinar uno de ellos.

Observando la figura 7, se considera un punto cual­quiera x_t en el momento t, el cual es perturbado una distancia Et y se obtiene otro punto x_t E t. En los sis­temas caóticos la perturbación crece exponencialmente  lo que es equivalente a  y la perturbación en el instante t =0 es siempre muy pequeña. Finalmente, el exponente de Lyapunov está definido por:

Como las trayectorias van separándose con el tiempo, el exponente de Lyapunov debe cumplir con la condición de ser positivo λ > 0. Además, si se grafica:

Figura 7. Sensibilidad a las condiciones iniciales en el siste­ma de Chua con  = 100, β = 418. La serie temporal sóli­da tiene una condición inicial (1.4,0.19,0.01) y la punteada (1.41,0.19,0.01).

considerando el tiempo t y el    se tiene una curva cuya pendiente es positiva.

En general, el exponente de Lyapunov puede calcu­larse numéricamente con la rutina computacional Lyapu­k que corresponde al software TISEAN [14 El resultado de esta rutina es un conjunto de datos que vienen a ser los logaritmos naturales, por lo tanto, estos deben ser graficados y ajustados a una recta para obtener la pen­diente λ.

Como el sistema tiene tres variables, existen también tres exponentes, pero sólo basta con que un de ellos sea positivo para considerar una región como caótica. Sin embargo, para tener una información más completa so­bre las periodicidades, es importante tener en cuenta el resto de los exponentes.

Figura 8. Espectros de Lyapunov para -y mínimo, la región caótica es amplia. Caos se encuentra cuando λ > 0.

Figura 9. Espectros de Lyapunov para -y máximo, la región caótica es angosta.

4.2. Metodología y Resultados Para Obtener el Exponente y el Espectro de Lyapunov

Para comprobar las regiones caóticas del sistema de Chua considerando dos parámetros, se guardaron los da­tos proporcionados por la integración numérica para un a y un a (ya sea el mínimo o el máximo) en un archivo *.dat y se consideró solamente el 80 % de estos datos con el fin de descartar los transientes.

A continuación, se introdujo el archivo *.dat en la rutina (Lyap-k) del software TISEAN y se hizo correr según las instrucciones que se indican en la bibliografía [12].

Considerando el tercer parámetro, se prosiguió de la misma manera que en la anterior caracterización y se comprobó que el exponente era positivo en cada límite.

Además, se obtuvo el espectro de Lyapunov, esta vez se utilizó una rutina que proporcionaba todos los expo­nentes de Lyapunov para varios valores de β Es decir, para un  y un γ (ya sea mínimo o máximo), se hizo correr el valor de  β en pasos pequeños, luego se tomó ca­da serie temporal de la variable X y para cada una de ellas se calculó el exponente de Lyapunov utilizando la ecuación (4).

Este procedimiento se ha realizado para todos los va­lores de a que varía en pasos de 5 a partir de 5 hasta 100.

Estos espectros dan una idea más general de la re­gión caótica y sirven para corroborar los resultados de la caracterización con dos parámetros.

Se encontró el espectro de Lyapunov respecto de  y β para el γ mínimo y para el γ máximo. Se observa que para el γ mínimo, el espectro informa que existen regio­nes caóticas para todo valor de a y una amplia región de β

TABLA 3

Para las figuras (a)-(j) se tienen los datos de los componentes con los cuales se obtuvieron los atra.ctores en laboratorio y los correspondientes valores de parámetros para el modelo. Para las figuras (1)-(10) se tienen los valores de los parámetros más adecuados para obtener los mismos atractores con el modelo.

con varias ventanas periódicas. Para este 'y, se tiene el espectro de Lyapunov con respecto a  β (ver Fig. 8(a)), en él se observa una región caótica para     , con ventanas periódicas en varios puntos, y el paso a la periodicidad a partir de   β = 726. Luego, el espectro de Lyapunov con respecto a los dos parámetros  y β se presenta en la figura 8(b), en la cual se tiene una región caótica ya a partir de  = 0, y lo mismo para β = 0, posteriormente, cuando  = 30, comienzan a aparecer las ventanas periódicas y a partir de  β= 200, sucede lo mismo. La región caótica va creciendo a medida que  y β aumentan. Este resultado va en aceptable concordan­cia con las regiones de la figura 6 y de igual modo con la figura 4.

Estos espectros ayudan a completar la información obtenida para el sistema con dos parámetros, además el espectro del exponente de Lyapunov nos da una infor­mación global del comportamiento del sistema cuando sus parámetros varían.

Experimentalmente, se observó que cuando  = 150 se formaban variedades de atractores con una región caótica amplia y con ventanas periódicas, en cambio pa­ra  = 4700 se obtuvo menor variedad de atractores y no fue posible observar ventanas periódicas. Al aumentar el valor del potenciómetro, γ y β también aumentan, por lo tanto, sí fue posible observar que el sistema tendía a ciclos límite y puntos fijos cuando la resistencia llegaba a los 2 k9, tal cual describe el espectro de Lyapunov para el γ máximo.

5. ALGUNAS OBSERVACIONES EXPERIMENTALES

Experimentalmente, los siguientes componentes:

C1 = 10 pF y L=1 mH (ro = 24.1 1^-2) fueron las pie­zas clave para encontrar caos. C2 pudo adquirir valores desde los 1.5 nF hasta los 47 nF y R desde O ^Ç hasta los 2 In A continuación se presentan algunos resultados experimentales y sus parámetros adimensionales equiva­lentes en la tabla 3. En el mismo, se muestran los valores de los parámetros a, -y más adecuados y que introduci­dos en el modelo se obtuvieron los mismos atractores del laboratorio. Se observa que no existe una coincidencia entre los parámetros del modelo con los del laboratorio, por ejemplo: según el modelo, para  = 150, la región caótica comenzaba recién en β = 435 y γ = 0.01. Para  = 270, se tenía caos a partir de β = 898 y γ = 0.01, para  = 680, el caos empezaba a partir de β = 2781 y

γ = 0.01. Mayor concordancia se obtuvo en los valores experimentales y numéricos de γ, un tanto de ,β y mayo­res problemas se obtuvieron en los valores de . A pesar de no haber obtenido la correspondencia esperada entre resultados experimentales con la tabla de caracterización numérica, se obtuvieron los atractores característicos del sistema, entre los cuales están el atractor de doble hélice, el atractor espiral, el atractor de doble gancho, ventanas periódicas 2-2, 3-3 y ciclos límite de primer y segundo orden (ver Figs. 10-13). Es importante mencionar que en el modelo, se mantuvieron constantes a y b, las cuales dependen de la resistencia. Por lo tanto, según el modelo lo que variaba al cambiar β γ era en realidad la induc­tancia. Sin embargo, en el experimento, el componente variable fue la resistencia puesto que una inductancia va­riable es más difícil de conseguir. Al parecer, este detalle influye en la concordancia entre resultados experimenta­les y numéricos.

6. ESTUDIO DEL CIRCUITO RL-DIODO

En general, se dice que para observar comportamien­tos caóticos, es necesario que el sistema sea de tercer

Figura 10. Las imágenes (a)-(c) corresponden a los atractores obtenidos en laboratorio y las imágenes (1)-(3) corresponden a los obtenidos con el modelo. X y Y se miden en voltios en laboratorio.

Figura 11. Las imágenes (d)-(f) corresponden a los atractores obtenidos en laboratorio y las imágenes (4)-(6) corresponden a los obtenidos con el modelo. X y Y se miden en voltios en laboratorio.

Figura 13. La imagen (j) corresponde al atractor obtenido en laboratorio y la imagen (10) corresponde al obtenido con el modelo. X y Y se miden en voltios en laboratorio.

orden o mayor. En el caso de los circuitos autónomos, se necesita que el sistema se componga de un elemento no lineal y por lo menos tres elementos lineales que alma­cenen energía (inductor, resistencia, capacitor), como se ha visto con el circuito de Chua, es autónomo porque no necesita de fuentes de energía alterna ya que es el mismo circuito el que transforma la señal continua proveniente del diodo en alterna, además el diodo de Chua es la pieza clave para el comportamiento no lineal de todo el circui­to. No obstante, ésta regla no es definitiva puesto que puede existir caos en un sistema más sencillo compuesto por una resistencia lineal, un inductor lineal, un diodo normal y una fuente de voltaje. El circuito RL-Diodo, al contrario tiene una fuente de energía alterna, por lo que se lo denomina no autónomo, y tres elementos que bajo ciertos parámetros de frecuencia y amplitud, se ge­neran señales aperiódicas mediante el desdoblamiento de periodo de la tensión en el diodo.

Entonces, a un circuito RLC se reemplaza el conden­sador por un diodo normal (ver Fig. 14), el cual al ser un elemento no lineal, es el causante de las aperiodicida­des. En este circuito se asume que el voltaje de la fuente tiene la forma V_a, = Vo cos wt y cuando el voltaje es posi­tivo, el diodo conduce y se produce una caída de voltaje Vb = -V_f. En el estado no conductor, el diodo se com­porta como un capacitor, el cual presenta una corriente de carga y el voltaje sigue la frecuencia de la fuente.

La amplitud del voltaje de fuente λ = Vo es el parámetro de control. Esta amplitud no necesariamente es igual para cada ciclo porque cuando la corriente lle­ga a cero, el diodo continúa conduciendo con un tiempo , donde |Іm| es la corriente máxima durante ese ciclo,  el tiempo máximo constante,  el tiempo de recuperación e Ic es constante. Por lo tanto, dependiendo del parámetro Vo, el voltaje en el diodo Vb se repite con un periodo y se va desdoblando hasta llegar

al caos. Como el voltaje en el diodo depende del volta­je de la fuente y éste depende también de la frecuencia f = w/27r, se espera un comportamiento similar con su variación [13].

Uno de los caminos más comunes para llegar a un comportamiento caótico es el desdoblamiento de perio­do en el que las bifurcaciones mediante éste fenómeno ocurren solamente con soluciones periódicas o trayecto­rias que bajo un punto de bifurcación tienen periodo T y bajo otro punto de bifurcación sufren un cambio li­gero presentando un periodo 2T. En el espacio de fases se observaría un ciclo límite (un lazo) que bajo cierto parámetro se convertiría en un ciclo límite de segundo or­den (dos lazos) y así sucesivamente los lazos continuarían desdoblándose al igual que las soluciones con un periodo T_k = 2^kT₀ donde k = 0, n. Si se observa este proceso es muy probable que el sistema llegue a ser caótico [14].

Una característica del desdoblamiento de periodo es que los puntos de bifurcación (parámetros de control) k convergen geométricamente al llegar a la región caótica. Este valor llegó a ser universal por presentarse en varios sistemas caóticos y se denomina la primera constante de Feigenbaum:

Existe también otro comportamiento universal en las so­luciones X(t) de un sistema, o Vb en este caso, definido por:

Siendo  dos soluciones de una ramificación en un punto de bifurcación

6.1. Metodología y Resultados Para Estudiar el Circuito R-L-Diodo

Primero, se armó el sistema según el diagrama de la Fig. 14 mostrada en la sección anterior. En un canal del osciloscopio se mostró el voltaje de entrada Vo y en el otro canal se mostró el voltaje en el diodo Vb.

Luego, se encontró la frecuencia en la cual al variar la amplitud, el sistema presentaba bifurcaciones y caos. A esta frecuencia, se hizo variar la amplitud del voltaje de fuente y se observó el cambio de periodo en la serial del diodo hasta encontrar el valor de voltaje de fuente en el que ocurren los comportamientos caóticos. Se anotaron los valores Vo y se procedió a calcular la primera constan­te de Feigenbaum á. Además se hizo el intento de medir los valores de voltaje en el diodo correspondientes a cada punto de bifurcación y calcular la segunda constante a. Posteriormente, estos puntos fueron graficados.

Por otra parte, se observó el comportamiento del sis­tema cuando el voltaje queda fijo y la frecuencia varía.

El comportamiento del diodo se ve afectado sobreto­do a frecuencias altas (1 MHz-3 MHz) y/o a amplitudes altas. Se encontró que a partir de f=195.3 kHz se obser­van bifurcaciones que llegan a regiones caóticas cuando el valor del voltaje de fuente Vo cambia. Esta frecuencia no es la misma para todos los diodos, a pesar de que todos sean de la misma serie 1N4007.

Este sistema permite apreciar con claridad el proceso de bifurcación, en el que la ruta hacia el caos es el desdo­blamiento de periodo de la tensión en el diodo. Al prin­cipio, se presentan ciclos límite de primer orden, luego el orden aumenta y se ingresa a una región caótica bastan­te angosta, a continuación el sistema pasa a una ventana periódica. Posteriormente, ingresa otra vez a otra región caótica, luego se presenta otra ventana periódica más an­gosta que la primera y finalmente el sistema permanece en una región caótica. Fotografías de los estados de este proceso se observan en Fig. 15.

Para la segunda región caótica, se consideran los si­guientes valores: 10850 mV, 11750 mV, 12550 mV, 13300 mV, 14400 mV, 14750 mV, 14830 mV. La constante da:

Para la segunda constante de Feigenbaum, se obtiene una aproximación con los valores:

Las constantes obtenidas cerca de las regiones caóticas no concuerdan con los valores teóricos porque V_b debe ser medido con mayor precisión y además debe ser elegido adecuadamente.

Por otro lado, se estudió el comportamiento del siste­ma manteniendo fijo el valor de la amplitud y variando la frecuencia. Se encontró que el comportamiento caóti­co ocurre a partir de Vo = 3.700 V. Se observan simila­res bifurcaciones en las siguientes frecuencias: 477.8 kHz, 482.2 kHz, 573.4 kHz, 585.9 kHz, 609.6 kHz, 619.8 kHz, 622.3 kHz)y en 677.7 kHz el sistema ingresa a la región caótica (ver Fig. 16), manteniéndose en ese estado hasta que en la frecuencia máxima de 1003.8 kHz el sistema pasa a una ventana periódica y permanece en esa situa­ción. El atractor en esta región es un ciclo límite, el cual luego sufre un desdoblamiento. La frecuencia máxima a la cual se pudo llegar fue 2044.5 kHz, por lo que se ha visto, a frecuencias altas el diodo se comporta de forma totalmente distinta a la conocida.

Con estos resultados se obtuvo la constante de Fei­genbaum:

Figura 15. La ruta hacia el caos en el sistema es el desdoblamiento de periodo. (a) Primera bifurcación en Vo = 10850 mV, (b) Segunda bifurcación en 1/₀ = 11750 mV, (c) Tercera bifurcación en Vo = 13300 mV, (d) Una cuarta bifurcación de orden difícil de distinguir en Vo = 14400 mV, (e) Finalmente el sistema permanece en la región caótica a partir de Vo = 15200 niV.

Figura 16. El sistema funcionó a la amplitud Vo = 3.700 V. Izquierda: El atractor caótico en f=677.7 kHz en modo XY. Derecha: La correspondiente serie temporal.

7. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS

La caracterización numérica del circuito tipo Chua dió corno resultado una región caótica bastante amplia que crece proporcionalmente con los parámetros a y f3, además queda mejor definida si se toma en cuenta el tercer parámetro -y. Todos los límites caóticos fueron comprobados mediante el exponente de Lyapunov. Con el tercer parámetro, fue posible construir el espectro de Lyapunov, el cual mostró que la región caótica contiene varias ventanas periódicas. Se observó que para los va­lores mínimos de -y en especial, las regiones caóticas son más amplias y con varias ventanas periódicas. Los esta­dos característicos del sistema al aumentar ,3 y -y para un a fijo en el modelo, se presentan en el orden siguiente: divergencia, que indica un estado inestable, una amplia región de caos y finalmente, periodicidad con tendencia a un punto fijo. Los parámetros adimensionales del mode­lo están relacionados con los valores de los componentes del circuito, entonces, escogiendo adecuadamente estos valores, se dejó un solo componente como el parámetro de control. En este caso, el parámetro experimental fue el potenciómetro que al alimentar de valor, el circuito presenta, a grandes rasgos, los siguientes estados: perio dicidad (ciclo límite de primer orden), caos (con algunas ventanas periódicas) y nuevamente periodicidad (ciclos límite y punto fijo), muy similar a lo que se obtuvo con el modelo. A pesar de que los valores experimentales de los parámetros a, 0, -y no concuerdan exactamente con los resultados numéricos, se satisfacen las expectativas pues los comportamientos y los atractores característicos del sistema obtenidos en laboratorio y con el modelo, son bastante similares. Posibles causas de esta discordancia podrían ser el hecho de que en el modelo, el componente que realmente variaba era la inductancia, en cambio en el experimento lo que variaba era la resistencia; además de la precisión en la medición y errores de redondeo en el modelo.

El estudio cualitativo del circuito RL-Diodo ha per­mitido observar satisfactoriamente y con detalle uno de los caminos más comunes hacia el caos: el desdoblamien­to de periodo. El parámetro de control fue la amplitud del voltaje de fuente a una frecuencia crítica, pero tam­bién se observó lo que ocurría cuando el parámetro de control era la frecuencia a una amplitud crítica. Al au­mentar el valor de parámetro, en ambos casos, el compor­tamiento del sistema es el siguiente: un estado periódico

seguido de un amplio estado caótico con varias venta­nas periódicas. Midiendo los puntos de bifurcación en la amplitud y la frecuencia, se calcularon las respectivas constantes de Feigenbaum. Los valores de a presentaron mayor discordancia por la falta de precisión y la dificul­tad de elegir los valores más adecuados para calcularla.

Se observó que la forma de los atractores dependen de la forma de la curva característica. Por ejemplo, la fun­ción del diodo de Chua está compuesta por tres regiones y los atractores se forman sobre ellas para la mayoría de los valores de parámetros, excepto en ciertos casos en los que los atractores se forman sobre una de las regiones (e.g. el atractor "espiral"). En un diodo normal, se tiene una parte de conducción y una parte de no conducción, que conforman dos regiones asimétricas, de modo que el atractor queda delimitado por esta forma. Otro aspecto interesante fue que en el circuito tipo Chua, el cambio de la resistencia causa cambios en la amplitud de las os­cilaciones llegando a ser irregulares y terminando en un punto fijo a valores altos de resistencia. De modo similar, en el circuito RL-Diodo los cambios en la amplitud del voltaje de fuente causan cambios en el comportamiento del sistema conduciéndolo a un estado caótico, pero el hecho de terminar en un estado caótico o un estado pe­riódico a amplitudes altas, dependía de la frecuencia del voltaje de entrada. De modo que existe un valor crítico para la frecuencia a partir del cual el sistema termina siempre en una región caótica. Es muy posible que esto haya ocurrido en el circuito tipo Chua, al cambiar los componentes de 10 pF y 1 mH, seguramente se llegó a la frecuencia crítica en la cual el sistema comenzaba a tener comportamientos irregulares. Sin embargo, en este circuito, no ha sido posible observar en detalle el ca­mino hacia el caos, los cambios eran bruscos debido a la resistencia variable. Queda pendiente mejorar la forma de adquisición de datos, por ejemplo, sería recomenda­ble analizar el espectro de potencias de ambos circuitos, además de implementar un modelo teórico para el circui­to RL-Diodo. Finalmente, se podría dar inicio a trabajos de investigación sobre otros circuitos no lineales y buscar aplicaciones.

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