Construcción axiomática del conjunto de los números naturales a partir de una condición sobre su cardinalidad

Axiomatic construction of the set of natural numbers from a condition on its cardinality

Oscar R. Pino Ortiz¹ y Zonia K. Morales Salomón²

¹Universidad Católica Boliviana, Cochabamba, Bolivia
²Universidad Simón I. Patiño, Cochabamba, Bolivia ]]> pino@ucbcba.edu.bo

Recibido: 8 de febrero 2016
Aceptado: 27 de febrero 2016

Resumen: Se construye la estructura algebraica de a partir de un conjunto de cardinalidad ₀. Como consecuencia el axioma de inducción de Peano se presenta como un teorema.

Palabras clave: Peano, Cantor, Números naturales, Inducción.

Abstract: The algebraic structure of is constructed from a set of cardinality ₀. As a result the induction Peano axiom is presented as a theorem.

Key words: Peano, Cantor, Natural numbers, Induction.

1. Introducción

Se dan por conocidas la Teoría Axiomática de Conjuntos, el Axioma de Elección y la Teoría de la Cardinalidad de Georg Cantor. Clásicamente es construido a partir de los axiomas de Giuseppe Peano. En el cuerpo del artículo se lo construirá utilizando una característica fundamental de : su cardinalidad. En efecto es un conjunto infinito pero cuya cardinalidad es la más pequeña entre las cardinalidades de los conjuntos infinitos. La estructura algébrica de y, en particular, la inducción matemática que caracteriza esa estructura puede ser construida de manera formal a partir de este hecho, siempre que se dé por válido el axioma de elección.

2. Generalidades

Definición 1. Conjunto infinito

Decimos que un conjunto A es infinito si tiene la misma cardinalidad que una de sus partes propias, es decir:

A es infinito Φ: A → A inyectiva, no sobreyectiva.

Categoría de los Conjuntos

La clase de los conjuntos provisto de las aplicaciones como morñsmos es una categoría. Los objetos de esta categoría admiten un orden natural que notaremos

Definición 2.

Diremos que A B si es posible encontrar una aplicación inyectiva de A en B. Es decir:

A B γ:A→ B inyectiva.

Leeremos "A es más pequeño o igual a B ".

Diremos que A ≡ B si es posible encontrar una aplicación biyectiva de A en B. Es decir:

A ≡ B γ: A → B biyectiva.

Es evidente que

A A                                                                           (reflexividad)

A B y B C A C                                               (transitividad)

Mientras que la anti simetría A B y B A A ≡ B es el famoso Teorema de Cantor-Bernstein.

Definición 3. Conjunto infinito más pequeño

Sea A un conjunto infinito. Decimos que A es uno de los conjuntos infinitos más pequeños si B conjunto, φ: A → B inyectiva.

Llamemos a uno de los conjuntos infinitos más pequeños.

Definición 4. Los números naturales

Los elementos del conjunto serán llamados "números naturales" aunque su naturaleza de números será establecida posteriormente una vez que se determine la estructura algébrica de .

Teorema 1.

X es un conjunto infinito φ: X → X inyectiva tal que Im(φ) = X — {α}, con a ∈ X.

Demostración.

() Sea X un conjunto infinito y a ∈ X.

Mostremos previamente que si X es infinito, X — {α} también lo es. En efecto, como X es infinito, existe α: X → X inyectiva, no sobreyectiva. Definamos β:X→ X por:

β es evidentemente biyectiva. Consideramos ahora la composición γ = β ° α: X → X. Está claro que γ(α) = α por lo tanto γ|x-{α} : X — {α}→ X — {α} es inyectiva y no sobreyectiva. Concluimos que X — {α} es infinito. Ambos conjuntos son de idéntica cardinalidad pues existe una biyección entre los dos, ya que la inclusión de X — {α} en X es inyectiva y es posible construir una inyección de X en X — {α} a partir de α: X —> X. Para ello consideramos dos casos si α Im(a), en cuyo caso α:X → X —{α} es inyectiva, y si α ∈ Im(a) definimos α':X → X — {α} por.

El teorema de Cantor-Bernstein garantiza la existencia de la biyección deseada.

En resumen: #X — {α} = #X de donde δ: X → X — {α} biyectiva.

Pero i: X — {α} → X inyectiva (por ejemplo la inclusión)

Si definimos φ = i ° δ:X → X, vemos que φes inyectiva y tal que

() Como φ es inyectiva pero no sobreyectiva entonces X es infinito

Definición 5. Aplicación "sucesor"

Como es un conjunto infinito, por el anterior teorema podemos afirmar que existe una función : → inyectiva tal que Im() = — {α}, con α ∈; a esta función , se la llamará función sucesora y al elemento α se le llamará cero y se lo denotará por el símbolo 0.

Observación: Ya que es una aplicación inyectiva, n

= m, entonces diremos que todo número natural tiene un único sucesor. Pero por otra parte, no es sobreyectiva: Im() = — {0}, entonces diremos que todo número natural tiene antecesor excepto el cero, es decir m

t.q.m ≠0, n

Teorema 2. Inducción

Sea E⊂ tal que:

Entonces E =

Demostración:

E es infinito, en efecto:

Tomamos , donde es la función sucesora.

0 ∈ E Pero 0 *(E) = Im(/_E) , porque 0 no tiene antecesor.

Por lo tanto /_E no es sobreyectiva pero si inyectiva, entonces concluimos que E es infinito.

Se mostrará que E = :

Como es uno de los conjuntos infinitos más pequeños φ: → E inyectiva.

Si 0 Im(φ) podemos fabricar una función inyectiva φ': → E tal que 0 ∈ Im(φ') de la manera siguiente: Sea c ∈ Im(φ).

Supongamos entonces 0 ∈ Im(φ).

Construimos las siguientes funciones inyectivas:

Donde k ∈

Por otra parte, se define el siguiente conjunto: F_k = {n ∈ |n ≠ φ_k(n)} y notamos que F_(k) ⊂ F_k , tomando F = ∩_k∈ F_k, observamos que F = ø.

Por el Axioma de Elección entonces podemos construir la siguiente función biyectiva:

Donde = {φ_k|k ∈ } y = {F_k|k ∈ }. Observamos que a F le corresponde la función que es la inclusión de en E , por consiguiente ⊂ E. Pero como E ⊂ , entonces E = .

Observación: Finalmente, estando dado que es tal que

0 ∈

: → — {0} es biyectiva

Sea E ⊂ tal que:

Entonces E =

Podemos dotarlo, de la manera clásica¹, con la estructura algébrica que habitualmente tiene.

¹ Con la adición y la multiplicación definidas por inducción.