Dinamica rotacional relativista

Rotational relativistic dynamics

M. L. Peñafiel ^† & V. M. Peñafiel ^‡
† vmiguel@fiumsa.edu.bo
^‡ tvmiguel@fiumsa.edu.bo ]]> Instituto de Investigaciones Físicas, Carrera de Física
Universidad Mayor de San Andres c. 27 Cota-Cota, Campus Universitario, Casilla de Correos 8635
La Paz - Bolivia (Recibido 24 de Agosto de 2014; aceptado 20 de Abril de 2015)

Resumen

Se discute la teoría rotacional y los conceptos de cuerpo rígido en Relatividad Especial, postulando una transformacion manifiestamente covariante para la rotación relativista. A partir de esa transformacion, se analiza el cambio en la geometría de un disco que gira de manera uniforme, resolviendo la paradoja de Ehrenfest. Luego, se determina las expresiones generales de las fuerzas inerciales relativistas para rotaciones alrededor de todos los ejes espaciales y, finalmente, se analiza la dinamica en el sistema de referencia estudiado, hallando expresiones para las fuerzas inerciales con los repectivos terminos de corrección. Se muestra que, tanto la transformacion como el análisis dinámico, se reducen a las correspondientes para la rotacion clásica en el límite de bajas velocidades.

Codigo(s) PACS: 03.30.+p — 45.40.-f — 45.20.dc

Descriptores: Relatividad especial — Dinamica y cinemática de cuerpos rígidos — Dinamica rotacional

Abstract

Subject headings: Special relativity — Dynamics and kinematics of rigid bodies — Rotational dynamics

1. INTRODUCCION.

Desde el origen y desarrollo de la Teorıa Especial de la Relatividad por parte de Einstein (1905), surgio la idea de generalizarla para el tratamiento de un cuerpo rígido en rotacion. Así, el concepto de rígido en relativista dado por Born (1909) fue -casi inmediatamente- refutado por Ehrenfest (1909) formulando la ahora famosa Paradoja de Ehrenfest. Desde entonces, gran parte de la literatura sobre este tema esta orientada a la resolución de la misma, sin un resultado claro y convincente. Aparentemente, Einstein, mas bien, utilizó el hecho de que la geometría del cuerpo deja de ser euclidiana para desarrollar la Teorıa General de la Relatividad.

La paradoja de Ehrenfest condujo a muchos cuestionamientos hacia la Teoría de la Relatividad entre la comunidad, habiendo intentos de reformular la teoría para el caso rotacional (Carmelli 1986), de anular la Teoría Especial de la Relatividad (Rodrigues 1983) y, tambien, a diferentes intentos de eliminar la paradoja (Cavalleri 1973). En la actualidad, la resolucion de esta paradoja y, claro, una formulacion dinámica rotacional consistente, sigue siendo un tema de interes para la física teorica (Shaokai 1997; Jo 2012; Rizzi & Ruggiero 2004 debido a las aplicaciones que el rotador relativista puede tener tanto en modelos de partículas elementales, como en modelos cosmologicos.

En el presente trabajo, se trata de hallar un formalismo de la dinamica rotacional para objetos relativistas sin alterar los postulados de la Relatividad Especial ni, en lo posible, destruir la covariancia manifiesta.

En primer lugar, es importante no ignorar el que, al menos en principio, todo sistema rotatorio debería mostrar efectos relativistas en las regiones muy alejadas del origen. Consecuentemente, las expresiones matematicas de una trasformación entre un sistema inercial y uno rotatorio deben corresponder gradualmente al caso clasico no únicamente para velocidades angulares bajas sino tambien en la vecindad del origen.

El tratamiento del disco rígido relativista y, en general, de la dinamica respectiva, sigue muy naturalmente, como se ve mas adelante, de las propiedades de tal transformacion.

2. TRANSFORMACION ROTACIONAL

En efecto, las consideraciones anteriores requieren que la transformacion de coordenadas debe:

(i) Ser expre sable en terminos de te traten sores, en la forma manifiestamente covariante usual.

(ii) Debe corresponder a un sistema rotatorio en el sentido clasico.

(iii) Debe manifestar efectos relativistas en regiones alejadas del origen, dependiendo unicamente del valor absoluto de la velocidad angular.

Se propone, por tanto, una superposicion de transformaciones rotacionales (variables con el tiempo) y transformaciones de Lorentz (variables con el radio) cuya forma explícita puede ser derivada de las consideraciones siguientes:

Aceptando las convenciones usuales, como la metrica

con , las cantidades (V = velocidad de la partícula, c = velocidad de la luz en el vacıo), y -a menos que se indique expresamente otra opción- c = 1, para cierto instante representado por el ángulo 9 entre ejes (Fig. 1), un punto en el sistema rotatorio debe tener velocidad tangencial con componentes que fungen como parametros instantáneos para la trasformacion de Lorentz (1), esto es,

esta, acoplada a la rotacional

conduce a la transformacion rotacional relativista

con

Es posible proceder en el orden inverso; esto es, efectuar primero la rotacion instantánea

seguida del empuje de Lorentz. En este caso, la primera operacion (con el mismo ángulo como parametro) rota los ejes hasta que los auxiliares instantaneos son perpendicular y paralelo a la direccion del movimiento (ver Fig. 1); ahora, las componentes de la velocidad para la matriz de Lorentz (1) devienen y dan lugar al operador instantáneo

Entonces

y la rotaci ´on relativista será

Se comprueba, por calculo directo, que los productos matriciales (2) y (4) conducen ambos al mismo resultado: la forma explícita de la matriz de transformación que es

donde, considerando una velocidad angular constante

Esta transformacion es seudo ortogonal en el sentido en que preserva la tetra distancia s. Sin embargo, el hecho de que la matriz (4) depende de las coordenadas complica el ejercicio de hallar la transformacion inversa. Como se verá luego, aún es posible usar simplemente la inversa de la matriz (5), calculada por el observador no inercial , para el analisis dinámico. Es evidente el que consideraciones similares a las ya empleadas permiten escribir la forma

para el paso de a , con las modificaciones correspondientes en y .

3. ROTADOR RELATIVISTA

Ahora, sea un disco rígido de radio R girando junto con el sistema alrededor del eje . Por estar en reposo en el sistema giratorio, la ecuacion que describe su circunferencia es, simplemente,

Por otra parte, (2) con la matriz (6) proporciona las siguientes 4 ecuaciones:

de modo que la sustitucion directa, usando momentaneamente , conduce a

Aquı, x⁰ es solo la distancia relativa entre los orígenes de los sistemas la cual, en este caso, se anula pues r = 0 implica = 0. Consecuentemente,

Pero por lo que

finalmente, si (la velocidad angular queda como el unico parámetro invariante de la transformacion) se obtiene de inmediato

El observador inercial, por tanto, describira un tipo de elipse rígida rotando alrededor de cuya forma explícita es representable graficamente haciendo = 0 o, usando todavıa las variables rotatorias auxiliares ,, introducidas en (4); la ecuacion equivalente es

(obviamente, y corresponde a la curva mostrada en la Figura 1.

La paradoja de Ehrenfest desaparece incluso pensando en que un disco giratorio podría se observado en el sistema inercial si se empezara con alguna forma elíptica en pues, en tal circunstancia, sería precisamente la contraccion relativista la causa de que el disco rotatorio mantuviera sus propiedades geometricas intactas.

Es interesante notar que un sistema en rotacion relativista es siempre finito porque, en unidades de c (la velocidad de la luz), se debe cumplir que < 1.

En (9), haciendo = 0 -lo que implica r = -, se obtiene de inmediato = R como una raız adecuada de la ecuacion cuártica resultante; pero si = 0, es , que implica una contracción del radio cuyo límite es (cuando .

4. DINAMICA

Por ser un sistema no inercial, como se sabe, la dinamica en un sistema rotatorio está relacionada con la geometría mediante las ecuaciones de las geodesicas.

No se abordara aquí ese problema dejándolo, más bien, para una segunda parte. Sin embargo, varios detalles dinamicos interesantes pueden ser expuestos como sigue:

Aceptando que (6) permite el paso de puntos del sistema al {x} mediante

con y derivando respecto de s dos veces (como es usual, la longitud de línea mundo, s, se emplea para parametrizar las trayectorias), se obtiene la aceleracion en el sistema inercial y las correspondientes aceleraciones inerciales (excepto la de Euler pues es constante),

4.1. Ecuación General de Movimiento

El analisis hecho antes es fácilmente extensible a transformaciones alrededor de los ejes y , realizando las correcciones apropiadas tanto a la matriz de rotacion como a la de empuje de Lorentz. De esta forma, se construye una matriz general de rotacion relativista que sea la composicion de los operadores individuales.

Entonces, las expresion explícita para la derivada de a primer orden respecto del parametro s es

representable, como lo demuestra el calculo directo, por el producto matricial

donde la matriz de rotacion infinitesimal es antisimetrica en la parte espacial (al igual que la matriz clasica)

mientras que las componentes correspondientes a la parte temporal son simetricas y de la forma

Aplicando este resultado a la derivada de segundo orden se obtiene

Cada una de las componentes mostradas corresponden, por supuesto, a las tetra-fuerzas inerciales.

La fuerza de Coriolis relativista, por ejemplo, tendra la siguiente forma:

donde las componentes de la matriz son,

y, las componentes de la matriz .

Es importante notar que, puesto que la magnitud asociada con f tiene que ver con la derivada de la velocidad respecto de s, si —> 0, ese termino desaparecera, quedando solamente la fuerza de Coriolis clasica.

Efectuando nuevamente el producto matricial anterior, se halla que la fuerza centrífuga relativista es:

siendo las componentes de la matriz

las componentes de ,

y, finalmente, las de

Por otra parte, considerando unicamente partículas libres en el sistema inercial (para no comprometer la interpretacion de la inversa de R), con x = 0, la ecuacion de movimiento de la partícula libre, en el sistema rotatorio, da

las fuerzas inerciales clasicas se mantienen bajo la transformacion utilizada, pero queda la discusión sobre el significado de los terminos correspondientes a las aceleraciones de la parte temporal, relacionados, sin duda, con la potencia desarrollada sobre de la partícula.

4.2. Dinámica en el Sistema Rotatorio Relativista

Volviendo a (8), la ecuacion de movimiento particular para el sistema estudiado se obtiene rapidamente a partir de las expresiones (14) y (15). Dado que es siempre posible orientar el eje en la direccion del vector velocidad angular, la perdida de generalidad no es importante; en este sistema, en el plano -, las componentes de velocidad angular ₁ y ₂se anularan, quedando solamente la componente ₃ que, en lo que sigue, sera escrita como .

Así, la aceleracion de Coriolis para el problema en cuestion quedará como

termino en el primer miembro de la ecuación (16).

5. CONCLUSIONES

Segun lo expuesto, la paradoja de Ehrenfest se origina en la suposicion de que un objeto circular en reposo, mantiene su forma cuando es sometido a velocidades angulares relativistas.

La aplicacion superpuesta de los efectos conocidos de las operaciones de rotacion y empuje de Lorentz, sin embargo, conduce a que tal suposicion no es sus-tentable y, mas bien, implica una deformación pre-decible y calculable del objeto, invalidando la conclusion final de la paradoja.

La importancia de una formulacion manifiestamente covariante para la dinamica rotacional relativista es principalmente teorica, pero precede al posible desarrollo de modelos cosmologicos o de mi-crosistemas. La aproximacion a un cuerpo rígido rotatorio en relatividad especial, a pesar de ser ampliamente resistida, tiene sustento en diferentes fenomenos físicos observados en la naturaleza (v. g., efecto Sagnac). La transformacion utilizada, como se ha esquematizado, permite recuperar tambien la formulacion dinámica de rotaciones, con las obvias correcciones relativistas, las cuales desaparecen gradualmente para velocidades angulares y radios pequenos; esto es, se aproxima continuamente a su límite clasico. Esto hace a la consistencia de la teoría propuesta.

De hecho, matematicamente al menos, cualquier sistema rotatorio puede considerarse relativista para radios suficientemente grandes e, inversamente, aun si la velocidad angular es elevada, el sistema puede considerarse clasico para radios suficientemente pequenos.

Finalmente, como se ha procedido, aunque la construccion de una transformación inversa es viable sobre la base de argumentos fısicos (ec. (7)), aún no es patente que ambas son matematicamente inversas. Es preciso no perder de vista que no se trata de una transformacion entre sistemas inerciales sino, entre uno inercial y otro acelerado. Tales consideraciones y las que relacionan a la dinamica rotacional con la geometría intrínseca del sistema rotatorio (algebraicamente bastante compleja), como se dijo, seran objeto de un trabajo posterior.

REFERENCIAS

BornM. (1909), Ann.derPhys. 335, 11        [ Links ]

Carmelli M. (1986), Int. Journal of Theoretical Physics. 25, 89         [ Links ]

Cavalleri G. (1973), Lett. Nuovo Cimento 7, 575         [ Links ]

Ehrenfest P. (1909), Phys. Zeit. 10, 918         [ Links ]

Einstein A. (1905), Ann. der Phys. 17, 891        [ Links ]

Goldstein S. & Poole. (2001), Classical Mechanics (Addison Wesley)        [ Links ]

Jo S. G. (2012), Chinese Journal of Physics 50, 1        [ Links ]

Rizzi G. & Ruggiero M. L. (eds.) (2004), Relativity in Rotating Frames (Kluwer Academic Publishers)         [ Links ]

Rodrigues W. (1983), Il Nuovo Cimento 74, 199         [ Links ]

Shaokai L. (1997), Applied Mathematics and Mechanics 19, 45        [ Links ]