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Revista Boliviana de Física

On-line version ISSN 1562-3823

Revista Boliviana de Física vol.35 no.35 La Paz Dec. 2019

 

A. ARTÍCULOS

 

Estudio experimental del aro rotante: nuevas evidencias de la independencia de la masa
y de la equiprobabilidad del punto de equilibrio

 

Experimental study of a rotating hoop: new evidence of mass independence
and equi-probability of the equilibrium point

 

 

Lucas Blitz Lozada Gobilard , Gonzalo Marcelo Ramírez-Ávila
Instituto de Investigaciones Físicas, Carrera de Física
Universidad Mayor de San Andres
c. 27 Cota-Cota, Campus Universitario, Casilla de Correos 8639

La Paz- Bolivia, llozada@fiumsa.edu.bo
mravila@fiumsa.edu.bo
Recibido: 12 de noviembre de 2019 aceptado: 17 de diciembre de 2019

 

 


Resumen

El presente trabajo expone los resultados y analisis de un montaje experimental ideado por los autores con el proposito de crear un sistema mecánico no lineal que permita obtener datos relevantes referidos al fenomeno de bifurcación. Los resultados del experimento permitieron generar diagramas de bifurcacion del parámetro de control, ratificándose contenidos teoricos significativos. La base empírica permitio corroborar la independencia de la masa en las ecuaciones de movimiento y verificar el caracter equiprobable del sistema, en lo referido a la estabilidad en los nuevos puntos de equilibrio, refutando aseveraciones repetidas por manuales de texto de dinamica no lineal para el caso de una esfera. Los datos fueron sistematizados a partir de los siguientes experimentos: (i) una esfera en aire y (ii) sumergida en otros tres fluidos diferentes, (iii) varias esferas en aire y (iv) sumergidas en los mismos fluidos, (v) ademas de tres fluidos aislados: agua teñida, líquido de transmision y aceite de motor.

Codigo(s) PACS: 05.45.-a — 02.30.Oz — 45.80.+r

Descriptores: Dinamica no lineal y caos — Teoría de bifurcaciones — Control de sistemas mecanicos.


Abstract

This study presents the results and analysis of an experimental assembly devised by the authors to create a nonlinear mechanical system that obtains relevant data associated with the bifurcation phenomenon. The results of the experiment led to the generation of bifurca-tion diagrams related to the control parameter, and supports significant existing theoretical evidence. This empirical base permits us to corroborate the independence of the mass in the motion equations and verify the equi-probable nature of the system, in terms of stability at the new equilibrium points. These results refute repeated assertions by nonlinear dynamics textbooks for the case of one sphere. The data were obtained from the following experiments: (i) a sphere in air (ii) a sphere submerged in three other different fluids separately, (iii) sev-eral spheres in air and (iv) several spheres submerged in the same three different fluids, (v) in addition to the three isolated fluids: several spheres were submerged in stained water, transmission fluid and engine oil respectively.

Subject headings: Nonlinear dynamics and chaos — Bifurcation theory — Control of mechanical systems.


 

 

1. INTRODUCCIÓN                                     

La dinámica no lineal es una disciplina que ha despertado inter´es en la ciencia moderna. Con el desarrollo de la tecnolog´ıa y en particular de los ordenadores, actualmente se estudian sistemas cuya descripción era muy dificultosa hace poco m´as de medio siglo.

Segun la teoría, explicada por Shivamoggi (1997), es posible que de manera espontanea, en los sistemas no lineales se rompan las restricciones de simetría dadas por el ambiente para ciertos rangos de valor de los parametros de control. Dicha ruptura se evidencia en la bifurcacion del estado del sistema no lineal dependiente de cierto parametro. En cuanto el parametro de control llega al valor crítico respectivo, el estado del sistema se bifurca generando un cambio cualitativo en el comportamiento del sistema.

Cuando existen multiples soluciones al sistema, desde el punto de vista experimental se deben considerar solamente aquellas que son estables. La teoría de bifurcaciones, como explica Strogatz (1994), establece tipos y formas de estabilidad que se alcanza en funcion de la variación del parámetro de control y segun las condiciones de estabilidad.

Los sistemas no lineales, matematica y físicamente mas interesantes, actualmente son los sistemas caoticos por su riqueza dinámica. Sin embargo, dadas las exigencias y limitaciones, el objeto de estudio de la presente investigacion es un sistema no caotico, caracterizando experimentalmente al aro rotante como un sistema dinamico no lineal; tal caracterizacion se ha realizado gracias a las facilidades para efectuar el montaje de los experimentos de este tipo.

1.1. Fundamento teórico

El sistema estudiado es una esfera de masa m contenida en un anillo rígido de radio a en el campo gravitatorio. La esfera esta dispuesta inicial-mente en un ángulo en el extremo inferior del diametro vertical y se considera que tiene libertad de movimiento sin friccion a través del anillo. La Fig. 1 muestra el movimiento oscilatorio de la esfera alrededor del punto de equilibrio en las siguientes situaciones: (A) cuando el aro esta inmóvil y (B) cuando el aro esta rotando.

Si el aro rota alrededor de su diametro vertical con velocidad angular constante ω, se verifica experimentalmente que la masa m mantiene una oscilacion alrededor de la posicion de equilibrio A.

Mas allá del valor crítico ωc, se observa que la situacion cambia y la masa oscila alrededor de un nuevo punto de equilibrio B, correspondiente a un valor no nulo del angulo (ver Fig. 1). De hecho, existen dos puntos de equilibrio ubicados simetricamente respecto al diámetro vertical. En principio, no existe factor de preferencia alguno para la nueva situacion de equilibrio: la posición final esta dada por las condiciones iniciales (generalmente aleatorias) y por la velocidad de la masa. Esta explicacion del sistema se basa en la dada por Nicolis (1995).

Para estudiar la dinamica del sistema, es conveniente simplificar el problema, con coordenadas polares y despreciando la friccion de la esfera con el anillo. De este modo, el lagrangiano del sistema es:

lo que se puede escribir como:

Aplicando la ecuación de Euler-Lagrange:

se obtiene que la ecuacion diferencial que describe el movimiento del sistema esta dada por:

En el equilibrio, es una constante, llamese Entonces,= 0, = 0, etc, como lo explica Masoller (2011). Así, la condicion de equilibrio es:

las soluciones son o bien .

La primera posibilidad permite dos puntos de equilibrio: = 0, correspondiente al fondo del aro, y = ; el tope del aro. La justificacion de la imposibilidad fısica del segundo punto se halla en Marion (1998). La ubicacion de estos puntos es independiente de lo. La segunda posibilidad permite un punto de equilibrio con menor a , dado que > 0. Como , este punto de equilibrio existe solo a velocidades de giro correspondientes a .

La esfera desplazada encontrara un nuevo punto de equilibrio tal que = 0. Esta consideracion lleva a una expresion del valor crítico o umbral de la velocidad angular:

De esta forma, la velocidad angular de giro del aro ω constituye el parametro de control que va a determinar las regiones de estabilidad del sistema.

Es conveniente expresar la informacion mediante un diagrama de bifurcacion (ver Fig. 2), en el cual la posicion de equilibrio , que caracteriza el estado del sistema, se grafica en funcion de la velocidad angular ω, que representa la restriccion del sistema. Por debajo del valor crítico ωc solo es posible una posicion,

correspondiente a = 0 (Rama 1 en la Fig. 2). Nico-lis (1995) dicta que por encima de loc este estado no puede mantenerse. Esto se expresa en la Fig. 2 con una línea segmentada correspondiente a la Rama 1'. Para cada ω > ωc dos nuevas posiciones de equilibrio se hallan disponibles. Junto a los valores correspondientes de angulo, se obtienen dos ramas (2 y 3) que emergen de 1 en ω = ωc

En este caso particular, la bifurcacion recibe el nombre de Pitchfork o "tenedor" por su forma.

Es significativo que el mismo sistema físico -bastante simple- puede presentar diferentes tipos de comportamiento a medida que cambia el valor de un parametro de control establecido.

Dado que el aro rotante es un sistema continuo con un solo grado de libertad, no puede dar lugar a comportamiento caotico. No obstante, da lugar al fenomeno de inestabilidad y bifurcación. Para más detalle de la imposibilidad del caos en este sistema, ver Nicolis (1995).

El diagrama de la Fig. 2 describe los puntos en los cuales el sistema se encuentra en un estado de equilibrio. Para valores de ω más bajos que ωc , existen dos puntos de equilibrio:= 0 y =. Para valores de ω mayores a ωc existen tres puntos de equilibrio:

Dada la forma de los posibles puntos de equilibrio, tambien resulta ilustrativo representar el diagrama de bifurcacion como la razón de las velocidades angulares ω/ωc en funcion del ángulo desplazado , como hace Moisy (2003).

De este modo, en terminos de la razón de rotación crítica, la ecuacion de movimiento es:

El comportamiento dinamico de este sistema, de acuerdo con la teorıa del análisis de bifurcación (Supercritical Pitchfork) presenta la simetría x → x tiene la forma normal:

Como se explica en Strogatz (1994), es posible hallar uno o tres puntos fijos, dependiendo del signo del parametro µ: el punto fijo x* = 0 existe para todos los valores de µ, mientras que los dos puntos fijos simetricos ± existen solo para µ > 0. Si el sistema sobrepasa el valor crítico cuando µ < 0, se da una de las dos posibles ramas estables de la bifurcacion. En tal situacion, debido a que las ecuaciones dejan de ser invariantes frente a la transformaciónx → -x, se rompe la simetrıa del sistema.

Este sistema es un ejemplo típico de mecanica clasica, como lo muestran Goldstein, Poole & Safko (2001) y en el que se resaltan los aspectos no lineales en Nicolis (1995). De hecho, algunos trabajos que han tratado este sistema realizaron diferentes modificaciones: tomando en cuenta efectos que son normalmente despreciados, como lo hacen Raviola et al (2017); aumentando el numero de grados de libertad, como exponen Burov & Yakushev (2014); variando el eje de rotacion, planteado por Johnson & Rabchuk (2009); o involucrando aspectos mecanicos adicionales, sugerido por Wellstead (1983). Sin embargo, es frecuente que el analisis se limite a la teoría o al calculo numérico. La riqueza dinámica de este sistema amerita un montaje experimental que permita comprobar las predicciones de la teoría (obtener explıcitamente diagramas de bifurcación) y eventualmente hallar nuevos fenomenos físicos que puedan resultar interesantes.

Es ilustrativo hasta que punto es válida experimentalmente la independencia de la masa en la Ec. (3); ademas, es recomendable estudiar los límites del caracter equiprobable del sistema, referido a los estados de estabilidad posibles.

En este trabajo se muestra los resultados de un montaje de sencilla construccion, que permitió verificar experimentalmente la bifurcacion predicha por la teoría de este sistema no lineal. Particularmente, se estudio la situación más sencilla de una esfera en un anillo (Fig. 1) y se extendio el análisis a varias esferas. Posteriormente, se trabajo con diferentes fluidos (siguiendo los lineamientos de la independencia de la masa) y finalmente con esferas sumergidas en los fluidos.

 

2. METODOLOGIA

El montaje experimental consiste en una pequena manguera de plastico flexible de (10.0 ± 0.1) mm de diametro externo y (1.0 ± 0.1) mm de grosor, flexio-nada en forma semicircular y unida a un transportador circular de 360ó y (12.0±0.1) cm de diametro, para que adopte su curvatura. La masa utilizada consiste en un perdigon esférico de estaño de (6.0±0.1) mm de diametro y de (1.02 ± 0.01) g. La Fig. 3 muestra una fotografía del montaje.

Se realizaron pruebas de velocidad de la esfera en la manguera para comprobar que el rozamiento es despreciable. Se ensamblo el sistema a un motor electrico de licuadora de 10 velocidades (BLSTEP-

7808W) adecuando el eje de conexion de la carcasa plastica para que gire alrededor del eje deseado, como muestra la Fig. 1. El motor fue modificado, añadiéndosele una conexión con regulador de voltaje householdsingle monofasico variac de 1000 W y rango de voltaje de cero a 250 V, conectado a un potenciometro de dos terminales (B10K OHM 3). La modificacion dio lugar a que el motor funcionara con voltaje continuo sin exceder el límite establecido, regulado por el potenciometro. Sobre el dispositivo montado hubo control suficiente de la velocidad de giro del motor (y por lo tanto del sistema), reduciendola al rango deseado.

Se alineo el sistema de tal manera que, al encontrarse en equilibrio, la esfera permanezca en la posicion de ángulo inicial nulo . Adicionalmente, al extremo opuesto de la posicion de equilibrio inicial, se instalo un pequeño imán de disco de neodimio de dimensiones (10.0±0.1 x 1.0±0.1) mm, unido al transportador para que giren en conjunto. Alineado al eje magnetico del imán, se instaló un detector de campo magnetico de un eje (Línea PasPort Pasco PS-2162) conectado a un registrador de datos graficos universal (Pasco PS-2002) que posibilito, por una parte, medir la intensidad del campo magnetico, y por otra, almacenar y graficar los datos obtenidos en tiempo real.

Los datos graficados permitieron constatar dos picos de campo magnetico por cada giro del sistema. Los picos corresponden a la lectura del detector cada vez que el iman pase por su eje. Este sencillo, eficiente y preciso montaje, permitio conocer la frecuencia de giro, siendo posible calcular la velocidad angular del sistema.

En congruencia con la teoría, el experimento comprobo que suministrándose un voltaje fijo, el motor giraba a velocidad constante. Se ubico el detector de campo magnetico en cuatro diferentes posiciones, todas radiales respecto del eje de giro. Se tomaron muestras de medidas para tres velocidades en cada caso. La obtencion de las medidas de la intensidad de campo magnetico fue comparada con la distribucion ideal de valores según el comportamiento de tipo gaussiano en el tiempo (así lo senala el manual de uso PASCO (2000)), correspondiendo el pico

al punto en que el iman pasa por el detector. La Fig. 4 es un ejemplo de resultados obtenidos desde una de las posiciones del detector para la determinacion de tres velocidades angulares diferentes. Para el mencionado calculo, se considera que en la serie de tiempo del campo magnetico el intervalo de tiempo transcurrido en dos oscilaciones corresponde a una revolucion del aro. Nótese que las oscilaciones no son perfectamente regulares, por lo que se hace un analisis estadístico del tiempo transcurrido correspondiente a cada revolucion y con ello se obtiene un valor medio de la velocidad angular de rotacion del aro.

Las medidas previas mostraron que para calibrar el experimento se requería un tiempo estimado de 0.5 s, como tiempo de estabilizacion del motor para todas las velocidades, por lo que no se consideraron las medidas registradas de ese lapso. Pasado el tiempo de estabilizacion, se mantuvieron las medidas de intensidad de campo magnetico según un comportamiento uniforme en las tres velocidades del motor indicadas en la Fig. 4. La diferencia relativa de campo magnetico en los picos no fue mayor al 9% y la diferencia en anchura a media altura fue menor al 3% por lo que se considero la velocidad angular suficientemente constante para el voltaje determinado.

Ademas, el ajuste de datos se realizó tomando en cuenta las medidas de ruido en la intensidad de campo magnético, establecidas por el sensor para cada caso particular.

Con la velocidad de giro caracterizada como constante, se registraron los datos de una esfera. En primer lugar, como prueba cualitativa, se advirtio que, aumentandose la velocidad de giro hasta exceder el valor crítico, se dieron cambios en el comportamiento del sistema, con una nueva posicion de equilibrio de la esfera.

La notacion fijada arbitrariamente diferenció que el lado derecho de la manguera correspondía a un ángulo , en tanto que el lado izquierdo se denoto como . Para estimar el nuevo punto de equilibrio alrededor del cual la esfera oscilaría y medir el angulo desplazado por la esfera hasta este punto, se tomaron fotografıas empleando dos medios: en primer lugar, una camara Nikon® HB-45 a 60 fps (tomas por segundo) y, en segundo lugar, una aplicacion gratuita para celular con 200 fps.

Para registrar cada nueva medida se hizo lo siguiente: se corto el suministro de energía electrica al motor y se prepararon las camaras fotográficas y los dispositivos de medida para otros registros digitales. Inmediatamente, se aumento la velocidad angular respecto a la que dio lugar a los valores anteriores, creandose un registro progresivo, gracias a la repeticion del proceso descrito.

Posteriormente, al montaje de base, se adicionaron esferas y fluidos para repetir el experimento. Se anadieron una a una esferas del mismo tipo de diametro (6.1 ± 0.1) mm y masa (0.97 ± 0.07) g hasta un maximo de 20. Para cada cantidad de esferas, se registraron veinte medidas, explicitandose las posiciones de equilibrio. Esto fue posible gracias a cinco velocidades discretas del motor, mayores al valor crítico.

Seguidamente, se hicieron experimentos reemplazando las esferas por fluidos y empleando mangueras similares para cada fluido con velocidades mayores a la crítica. Se emplearon los siguientes fluidos: en primer lugar, agua destilada tenida con sulfato cúprico2, en segundo lugar, aceite de transmision automática 1QT y, en tercer lugar, aceite de motor SAE10w30.

La última parte del experimento consistió en adquirir datos de un numero variable de esferas sumergidas en los tres fluidos mencionados. Esto permitio obtener diagramas de bifurcación para el caso de una esfera y senalar las posiciones de equilibrio en el caso de varias esferas. Al final, se observo cualitativamente la configuración del sistema juntando fluidos inmiscibles en la manguera.

 

3. RESULTADOS

Se obtuvo, como primer resultado, la bifurcacion en terminos del parámetro de control, como se establecio en la teoría y que se muestra en la Fig. 5, evidenciandose los datos de una esfera en el aire. La presente investigacion ha contrastado contenidos

1 Tal convencion prevaleció en el registro de todos los datos.

2  Para diferenciar los fluidos en las fotografías.

de la teoría con datos experimentales, ratificando la verosimilitud de la Ec. (5). Esta predice, adecuadamente, el valor de la velocidad angular crítica en 56.71 rad/s, mientras que, ajustando la parabola formada por los datos obtenidos, el valor estimado de ωc es de (56.2 ±0.8) rad/s. Para fundamentar tales resultados, se sistematizaron 108 registros, de los que, en 57 casos, la esfera se encontro en un nuevo punto de equilibrio en la rama de _; mientras que, en los otros 51 casos se encontro en la rama de .

La investigacion ha confirmado que la ecuación referida a la frecuencia natural de oscilación Ω de la esfera alrededor de la nueva posicion de equilibrio es valida. Dicha ecuación, establecida por Moisy (2003), se corrobora con la grafica de la Fig. 6 y enuncia lo siguiente:

Las simulaciones correspondientes a las lıneas continuas de las Figs. 5 y 6 se realizaron con base en un codigo disponible gratuitamente en línea otorgado por Shan He (2006).

Se efectuaron pruebas y se tomaron medidas aumentando el numero de esferas progresivamente hasta llegar a 20. Para cada caso, hubo veinte repeticiones con cinco velocidades diferentes mayores a la crítica, segun las características del motor y el rango de interes. Se establecieron las posiciones de equilibrio para cada esfera con valores positivos o negativos segun el desplazamiento angular . La Fig. 7 muestra los histogramas de los nuevos puntos de equilibrio para 20 casos con diferente numero de esferas. Los casos 3, 17 y 19 son atípicos, porque en una de las veinte mediciones que hubo para cada uno, se encontraron resultados contrarios a la prediccion teórica (con velocidades diferentes). En las mediciones mencionadas (60 en total) una esfera no cambio su posición inicial. Del caso número 17, la Fig. 7 muestra la posicion atípica.

La Fig. 8 es una fotografía de la situacion atípica con tres esferas. El estudio de las grabaciones respectivas muestra que la esfera que se mantenía en el punto inicial de equilibrio, oscilaba alrededor del mismo y, posteriormente, subía por uno de los brazos de la manguera, siguiendo una trayectoria de la bifurcacion. Se trata de un estado de "multiestabi-lidad"3, porque la permanencia alrededor del punto inicial se dio por 1.4 segundos, en tanto la teoría establece que no debería permanecer oscilando alrede-

dor del mismo.

Al realizar el experimento con los tres fluidos indicados en la metodologıa, se constató la independencia de la masa en la ecuacion de movimiento. Hubo 45 mediciones en total, 15 para cada fluido; de modo que, comparando los resultados, se tiene lo siguiente:

  • En el caso del agua destilada la distribucion de masa no fue simetrica, advirtiéndose en las 15 mediciones una distribucion aleatoria, positiva o negativa, por cualquiera de las ramas del sistema. En todos los casos la aleatoriedad mostro una proporcion aproximada de 1/3 a la derecha o a la izquierda y de 2/3 a la izquierda o a la derecha.
  • En el caso del líquido de transmision y del aceite para motor, la distribucion del fluido fue, en las 30 mediciones, relativamente similar en ambas ramas. Aproximadamente, la mitad del fluido siguio la rama de la derecha y la otra mitad la de la izquierda.

Las propiedades de los fluidos y las velocidades crıticas calculadas en cada caso se encuentran en la Tabla 1. Para los experimentos con los tres tipos de fluidos, se establecio la velocidad crítica respecto del momento en que se separan, como la media aritmetica de 15 mediciones en cada caso.

La Fig. 9 muestra el comportamiento del agua tenida como caso diferente al comportamiento de los aceites, para los que la division en ambos brazos era altamente simetrica.

Se ha tomado el aire como otro caso del experimento (designado como el primero), diferente a las

esferas y a los fluidos, habiendose advertido en el caso de los fluidos aislados un ligero desplazamiento de la velocidad angular crítica a ser traspasada para observar un cambio cualitativo en el sistema. La Fig. 10 muestra la correlacion entre la velocidad angular crítica estimada y la viscosidad de los fluidos estudiados.

La continuacion del experimento se dio sumergiendo una esfera en los tres fluidos. Esto permitio observar los nuevos puntos de equilibrio y elaborar diagramas de bifurcacion, de manera analoga al caso de la esfera en aire, mostrado en la Fig. 5.

La Fig. 11 muestra las bifurcaciones obtenidas a partir de las mediciones de una esfera sumergida en los tres fluidos. Al rotar el sistema, la esfera y el fluido se movieron y ascendieron por una rama, de manera tal que la posicion de la esfera en el fluido no fue alterada por la velocidad angular ni por la division en cualquiera de las ramas.

Como en el caso anterior, se aumento progresivamente el numero de esferas en el fluido para estudiar la distribucion en ambas ramas de la manguera con el sistema en rotacion. La Fig. 9 evidencia la ruptura asimetrica del agua. Los histogramas de la Fig. 12(a) -que muestran un ejemplo de un conjunto de datos-dan lugar a establecer los siguientes analisis:

  • Los experimentos con pocas esferas evidencian la ruptura asimetrica del agua, de manera que existiría preferencia por la rama en la cual se halla mayor cantidad de agua.
  • El incremento de esferas con mayor cantidad de agua que las cubra, dio lugar a la equipro-babilidad respecto de cualquier preferencia por alguna rama en el momento de separacion del fluido.

Sin embargo, los histogramas de la Fig. 12(b) (que muestran la distribucion promedio de esferas en el agua) absorben estadísticamente el ejemplo de la Fig. 12(a), corroborando que el promedio de 380 medidas no muestra preferencia alguna por cierta rama del sistema. Esta hipotesis nula respecto de la presuncion de que existiría necesariamente una preferencia4, se corrobora con el promedio de la distribucion de esferas en el aire, expresada en la Fig. 7 y con los datos de las figuras 12(b), 12(c) y 12(d) referidas a los fluidos.

Por otra parte, cabe remarcarse que los resultados de la presente investigacion han confirmado la "multiestabilidad" para las esferas sumergidas en fluidos, corroborada tambien en los subgráficos de las figuras 12(b), 12(c) y 12(d).

La Fig. 13 muestra la distribucion porcentual de esferas en cada rama para los fluidos considerados, incluyendose el primer caso referido al aire.

Respecto de los resultados a partir de las observaciones cualitativas del comportamiento del sistema en rotacion considerando combinaciones de fluidos inmiscibles, se tiene lo siguiente:

  • Al ser sometidos a velocidades angulares mayores a la crítica, en condiciones iniciales parecidas, se registraron configuraciones del sistema muy diferentes.
  • Las observaciones cualitativas denotan un espectro amplio de posibles configuraciones del sistema en comparacion con la situación de un solo fluido, de una esfera o de varias (sea en aire o sea sumergidas en los tres fluidos estudiados); concluyendose que existirían varias dificultades en los estudios cuantitativos respectivos.

 

4. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS

La distribucion en las nuevas posiciones de equilibrio para el caso de una esfera en aire da la nocion de un comportamiento equiprobable respecto al numero de veces que la esfera va a cada rama, de tal forma que cuanto mayor sea el numero de experimentos realizados, menor debiera ser la diferencia entre el numero de casos correspondientes a ambas ramas de la bifurcacion. De esta forma, el experimento con una esfera refuta los contenidos de los manuales de texto de dinamica no lineal, en lo referido a que solo pueden ser observadas determinadas situaciones de equilibrio con una notoria tendencia hacia una rama de bifurcacion (ver Nicolis o Strogatz). Gracias a un montaje sencillo calibrado y a la considerable cantidad de datos registrada, la presente investigacion ha permitido elaborar diagramas de bifurcacion en los que no existe preferencia evidente por seguir alguna de las ramas.

La diversidad de experimentos con fluidos diferentes ha dado como resultado la obtencion de diagramas de bifurcacion sin tendencia por alguna rama, puesto que la diferencia porcentual en la distribucion de los nuevos estados de equilibrio del sistema no supera el 5,6%. Cualitativamente, los fluidos inmiscibles permiten inferir que la sensibilidad a condiciones iniciales es mayor a la sensibilidad que se da en las situaciones correspondientes a una o varias esferas, o a un solo fluido.

La investigacion concluye un comportamiento equiprobable del sistema (cumplimiento de la hipotesis ergódica), particularmente si se trata de un montaje con una cantidad variable de esferas (independientemente del fluido en el cual se hallan sumergidas), en lo concerniente a la nueva situacion de equilibrio.

Los resultados de la investigacion muestran que en las configuraciones estudiadas, independientemente del modelo que se construya con una o varias esferas, o con diferentes fluidos aislados, la masa en las ecuaciones de movimiento puede considerarse i-rrelevante. Sin embargo, el hecho que la disgregacion en el caso del agua sea notoriamente asimétrica -lo que no sucede con los aceites- permite inferir que se deben considerar otras variables para un modelo mas completo que tome en cuenta características del fluido considerado. Los resultados de la Fig. 10 complementan experimentalmente el modelo postulado por Wellstead (1983). En tal modelo se toma el sistema del aro rotante, analizando la dinamica de la esfera en analogía con un fluido que es transportado en un vehículo giratorio.

Finalmente, la investigacion establece perspectivas de trabajo futuro tomando las velocidades angulares críticas de los fluidos para determinar la viscosidad u otras propiedades de los mismos, o estimar el valor de la aceleracion debida a la gravedad. Tambien se plantea como perspectiva trabajar unicamente en el rango de velocidades angulares críticas obtenidas, esperando encontrar configuraciones interesantes, como la posibilidad de la subida por una de las ramas del conjunto fluido y esfera, sin presentarse disgregacion del fluido.

Naturalmente, queda abierta la posibilidad de nuevos montajes experimentales que permitan una mejor descripcion cuantitativa de configuraciones mas complicadas del sistema, como ser el caso de fluidos inmiscibles, o permitan la obtencion de medidas precisas de variables de interes, como la distribución en masa de los fluidos al ser sometidos a velocidades mayores a la crítica.

 

AGRADECIMIENTOS

Agradecemos a Eduardo Palenque, Ph.D., por brindarnos acceso al Laboratorio de Materia Con-densada y a Joaquín Roncal, por su invaluable ayuda para el montaje experimental.

Conflicto de intereses

Los autores declaran que no hay conflicto de intereses con respecto a la publicacion de éste documento.

 

REFERENCIAS

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