Finalmente, el vector de Poynting dentro del recinto será:

donde |→S|=√{→S·→S^∗}, con →S^∗ el conjugado del vector de Poynting.

A continuación se realiza la simulación numérica para un caso específico que corresponde al recinto metálico descrito en la figura 6: una onda plana incide perpendicularmente sobre la cara z=0 con una única apertura rectangular (→kⁱ paralelo al eje z). La frecuencia de la onda es 850 MHz. El campo magnético tiene magnitud 0.124 A/m y está orientado a lo largo del eje x. El recinto metálico rectangular tiene 30 cm de ancho, 12 cm de altura y 30 cm de profundidad. La apertura tiene 10 cm de ancho y 0.5 cm de altura y su centro coincide con el centro de la cara. En la figura 7 se muestra el resultado de la simulación para la distribución de la potencia electromagnética en el interior del recinto. La gráfica muestra las curvas de nivel de la magnitud del vector de Poynting |→S| en el plano xz a una altura y=6 cm.

(a)

(b)

Figure 7: Distribución de potencia electromagnética en el interior del recinto metálico descrito en (a). El recinto tiene 30 cm de ancho, 30 cm de profundidad y 13 cm de altura; la apertura tiene 10 cm de ancho y 0.5 cm de altura. La onda electromagnética incidente está orientada a lo largo del eje x y tiene una longitud de onda λ=35 cm. En el gráfico (b) se muestra esta distribución correspondiente al plano sombreado en el gráfico (a); las regiones claras corresponden a una mayor potencia de la radiación y las regiones oscuras a una menor potencia. Se puede notar en (b) que la distribución de potencia está definida en una región rectangular que es la proyección de la apertura hacia el interior del recinto; esto ocurre debido a la condición de borde de la apertura consistente con el modelo de guia de onda. Un aspecto relevante de esta distribución es que la disminución de potencia hacia el interior del recinto no es monótona.

Nótese que de acuerdo a las condiciones de (8), los valores de U_α y V_α implican que |→S| ≠ 0 si (x,y) ∈ apertura y |→S| = 0 si (x,y) ∉ apertura, lo que se traduce en un corte abrupto en la potencia electromagnética afuera de la región proyectada por la apertura hacia el interior del recinto. Adentro de esta región hay una distribución de potencia que no es homogénea y que disminuye de manera no-monótona, cuyos valores numéricos fueron calculados según los resultados analíticos de este trabajo. En la figura 8 se eliminó la condición de borde metálico de (8) y al mismo tiempo se hizo tender a infinito el tamaño del recinto (altura y ancho). Si se mantiene constante el tamaño de la apertura y se varía la longitud de onda de la radiación hacia valores cada vez más pequeños, se recupera los resultados conocidos para patrones de difracción (ver, por ejemplo, [142003Hecht & Zajac]). En la figura 8a se observa el caso del patrón de difracción para una radiación incidente con longitud de onda λ = 0.35L, obteniéndose el patrón conocido cuando λ y L son similares. En los casos de las figuras 8b, 8c, y 8d se tiene que λ/L es igual a 0.01, 0.001, 0.0001 respectivamente. Como se puede ver en los casos (b), (c) y (c) de la figura 8, a medida que la longitud de onda decrece, el patrón de difracción tiende a aproximarse a la forma de la apertura. En la sección 7 ( CONCLUSIONES) se especifica los valores numéricos correspondientes a este caso.

5.2  Caso de incidencia oblicua

Para este caso, en el cual la onda electromagnética plana puede incidir con cualquier ángulo de incidencia y orientación, las ecuaciones para I_rpqxi y I_rpqyi, en coordinación con el apéndice C, se reducen a:

La potencia promedio 〈S〉 es proporcional a 〈U²₁₁₀〉 pues ϕⁱ, θⁱ y α₀ sólo aparecen en U₁₁₀ en (36); Asi, ya que U₁₁₀ ∝ Iⁱ_{110 x} con la dependencia angular indicada en (38), entonces:

Utilizando los resultados anteriores a un caso específico con las características mostradas en la figura 9, puede observarse una distribución de potencia electromagnética en las región proyectada desde la apertura hacia el interior del recinto; afuera de esta región la potencia es nula.

En general, la distribución de potencia electromagnética depende de los ángulos de incidencia (θⁱ,ϕⁱ) y de orientación (α₀), tal como se desprende de las ecuaciones (37) y (38) donde |→S| ∝ Iⁱ_110x. En la figura 10 se muestra el resultado para |→S| vs. (θⁱ,ϕⁱ), confirmando que la potencia es alta para una incidencia normal a la superficie con la apertura.

6  UN PROCEDIMIENTO HEURÍSTICO PARA LA SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL PROBLEMA

Si bien en este trabajo se desarrolló un estudio analítico del problema en cuestión, éste también podría simularse numéricamente de manera aproximada. Esta simulación permitiría una verificación directa del efecto de "corte abrupto" de la distribución de potencia en el interior del recinto (cf. sección 5 - RESULTADOS y figuras 7 y 9), como una consecuencia de las condiciones de contorno del recinto. A continuación se da los pasos para un procedimiento heurístico que permita dicha simulación numérica:

1. Como aproximaciones fundamentales se supone: (a) que los efectos que pueda producir el campo magnético así como su variación temporal en la distribución de potencia son despreciables en comparación con los efectos debidos al campo eléctrico; (b) que el metal que conforma el recinto tiene conductividad infinita y por ello los electrones se acomodan instantáneamente para anular cualquier campo eléctrico en el metal.

2. Se divide un periodo de la onda electromagnética incidente en un cierto número N de intervalos temporales (digamos N  ∼ 100) en donde se obtendrá soluciones estáticas para la distribución de potencia.

3. Se establece las condiciones de contorno para el potencial eléctrico (V): V=0 (o cualquier otra constante) en la parte metálica del recinto, mientras que V(x,y,z=0) ≠ 0 en la apertura se calcula a partir del campo eléctrico ins-tantáneo en ese lugar.

4. Se resuelve numéricamente la ecuación de Laplace en el interior del recinto por el método de relajación. Se obtiene así V(x,y,z) que permite calcular el campo eléctrico instantáneo en el interior del recinto.

5. Se repite el cálculo para el siguiente intervalo temporal; sólo varía el campo eléctrico instantáneo en la apertura.

Figure 8: Patrón de difracción de la onda incidente en la figura 8. En este caso el plano en el que está la apertura no es conductor; su ancho y su altura son mucho mayores que el largo L de la apertura. En el gráfico (a) se observa el caso del patrón de difracción para una radiación incidente con longitud de onda λ = 0.35L, obteniéndose el patrón conocido cuando λ y L son similares. En los casos (b), (c), y (d) se tiene que λ/L es igual a 0.01, 0.001, 0.0001 respectivamente. Puede notarse que a medida que λ decrece con respecto a L, el patrón de difracción se localiza y tiende a adquirir la forma de la apertura, como debe ser (ver, por ejemplo, [142003Hecht & Zajac]).

6. Después de N pasos de cálculo, se obtiene el promedio temporal de la potencia electromagnética en el interior del recinto correspondiente a un periodo de la onda incidente (entendiendo que sólo se está considerando la parte eléctrica de dicha potencia).

Este sencillo -aunque numéricamente voluminoso- procedimiento permite prever que en el caso de un recinto metálico, la condición de contorno V=0 "obliga" a V(x,y,z), y de aquí, al campo eléctrico y a la potencia, a tomar valores numéricos pequeños en las proximidades del contorno metálico, lo que puede identificarse directamente como la causa del referido fenómeno de "corte abrupto". Ciertamente, cuando se elimina la condición de contorno metálico (V=0), se espera entonces obtener una distribución espacial de potencia correspondiente al caso conocido de una apertura que funciona como un radiador efectivo de ondas electromagnéticas en todas la direcciones, que es lo que se observa en la figura 8.

La eventual comparación entre una simulación numérica y los resultados analíticos de este trabajo, permitiría saber si dicho efecto de "corte abrupto" es un resultado del modelo rectangular de guía de ondas o se trata de un efecto físico más general que podría ocurrir para cualquier forma de apertura y de recinto metálico. Este asunto se propone pues como una perspectiva interesante para una próxima investigación.

7  CONCLUSIONES

En este trabajo se realizó una investigación analítica y numérica para hallar la distribución de potencia electromagnética en el interior de un recinto metálico, como consecuencia de la incidencia de una onda electromagnética plana a través de una apertura ubicada en una cara del recinto; éste es un paralelepípedo recto cuya apertura está ubicada en cualquier lugar de la cara frontal (figura 6).

El método analítico que se utiliza consiste de reemplazar las aperturas por fuentes de corrientes magnéticas que se integran para obtener los correspondientes potenciales vectoriales eléctrico y magnético, de donde se obtiene por diferenciación los campos eléctrico y magnético. La condición de contorno que corresponde al recinto metálico con una apertura rectangular se supone que se puede modelar por una guía de ondas rectangular, lo que permite obtener los campos eléctrico y magnético en estado estacionario. De aquí se obtiene la distribución de potencia electromagnética requerida. Cuando el tamaño de la apertura disminuye hasta desaparecer, se obtiene -como se espera- una potencia nula, que es el efecto de Jaula de Faraday.

(b)

Figure 9: Distribución de potencia electromagnética en el interior del recinto metálico descrito en (a). El recinto tiene 6 m de ancho, 10 m de profundidad y 3 m de altura; la apertura tiene 1 m de ancho y 2 m de altura. La onda electromagnética incidente, a diferencia del caso de la figura 7, incide desde todas las direcciones posibles (2π stereorradianes) hacia la apertura vertical; la longitud de onda es λ=35 cm. En el gráfico (b) se muestra esta distribución correspondiente al plano sombreado en el gráfico (a); al igual que en la figura 7, las regiones claras y oscuras corresponden a una mayor y menor potencia respectivamente. Las características cualitativas de este caso son las mismas que las de la figura 7, excepto que en este caso la incidencia de la radiación desde todas las direcciones posibles tiene el efecto de ser promediada y en consecuencia producir una distribución de potencia similar a la que se obtendria si la incidencia de la onda fuera normal.

El resultado central de este trabajo se muestra en la figura 7, donde, como esperaríamos, la potencia es mayor cerca de la apertura y va disminuyendo hacia el interior del recinto. Sin embargo, nótese que de manera interesante dicha disminución de potencia no es monótona, encontrandose regiones en donde la potencia aumenta y luego disminuye, lo que podria tener aplicaciones importantes en dispositivos metálicos que se usan como blindaje electromagnético.

A continuación, en la figura 8 se muestra el caso límite de una apertura que yace sobre un plano infinito no-conductor, es decir, se tomó el ancho y la altura del recinto de la figura 7a mucho mayores que el largo L de la apertura, eliminando además la condición de que este plano infinito sea metálico. Puede notarse que a medida que λ decrece con respecto a L, el patrón de difracción se localiza y tiende a adquirir la forma de la apertura, como debe ser (ver, por ejemplo, [142003Hecht & Zajac]).

Figure 10: Distribución de potencia electomagnética en función del ángulo de incidencia y de la orientación del campo incidente. La dependencia de la potencia de los ángulos de incidencia está relacionada con la expresión Iⁱ_110xⁱ dada en (38), que a su vez se relaciona con |→S| de acuerdo a (41). Esto es lo que se muestra en esta figura, donde el máximo que se presenta para θⁱ=0 corresponde a la incidencia normal, como era de esperar.

En la figura 9 se muestra la distribución de potencia electromagnética en el interior del recinto metálico descrito en (a). El recinto tiene 6 m de ancho, 10 m de profundidad y 3 m de altura; la apertura tiene 1 m de ancho y 2 m de altura. La onda electromagnética incidente, a diferencia del caso de la figura 7, incide desde todas las direcciones posibles (2π stereorradianes) hacia la apertura vertical; la longitud de onda es λ=35 cm. En el gráfico (b) se muestra esta distribución correspondiente al plano sombreado en el gráfico (a); al igual que en la figura 7, las regiones claras y oscuras corresponden a una mayor y menor potencia respectivamente. Las características cualitativas de este caso son las mismas que las de la figura 7, excepto que en este caso la incidencia de la radiación desde todas las direcciones posibles tiene el efecto de ser promediada y en consecuencia producir una distribución de potencia similar a la que se obtendría si la incidencia de la onda fuera normal.

En general, la distribución de potencia electromagnética en el interior del recinto varía en función del ángulo de incidencia y de la orientación del campo incidente, sin embargo esta potencia es mayor conforme el ángulo de incidencia tiende a la normal. La dependencia de la potencia de los ángulos de incidencia está relacionada con la expresión Iⁱ_110xⁱ dada en (38), que a su vez se relaciona con |→S| de acuerdo a (41). Esto es lo que se muestra en la figura 10, donde el máximo que se presenta para θⁱ=0 corresponde a la incidencia normal.

Señalemos finalmente que en este trabajo se obtuvo el efecto de Jaula de Faraday al hacer tender a cero el tamaño de la apertura en (21); se reproduce los campos correspondientes a una guía de onda rectangular extendiendo hacia el infinito la profundidad del recinto metálico y haciendo que las dimensiones de las aperturas coincidan con las de la cara frontal del recinto. De este modo se logra reproducir analíticamente el campo electromagnético de una guia de ondas rectangular. Podemos concluir que el modelo propuesto en este trabajo satisface analíticamente las condiciones límite requeridas, además de proporcionar resultados numéricos novedosos que pueden ser verificados experimentalmente.

Uno de nosotros (E.M.) agradece el desinteresado apoyo del Dr. Gustavo Demarco (Centro Atómico de Bariloche, Argentina), quien gentilmente proporcionó sugerencias e información valiosa para desarrollar este trabajo.

A. Corrientes magnéticas equivalentes

Para establecer el método de resolución de problemas de radiación por medio de las corrientes magnéticas equivalentes, veamos dos teoremas de la teoría electromagnética que justifican este método.

Teorema de Unicidad : Dado un volumen V encerrado por una superficie S en cuyo interior no hay fuentes de ningún tipo, si se conocen las componentes tangenciales en S de →E o de →H producidas por las fuentes exteriores a V, entonces la solución que se obtenga para cualquier punto de V es única.

Este teorema establece las condiciones que se deben cumplir para garantizar que la solución a un problema regido por las ecuaciones de Maxwell sea único. Esto es importante y especialmente útil en los problemas que se resuelven sin emplear las fuentes reales y empleando en su lugar un conjunto de corrientes equivalentes, cuyas características quedarán claras a continuación cuando se enuncie el teorema de equivalencia.

Teorema de Equivalencia : Toda fuente (corriente) originada por →E o →H se puede sustituir por otra fuente equivalente que conduzca a la misma solución de las ecuaciones de Maxwell en una región determinada.

El teorema de equivalencia se apoya en el teorema de unicidad cuando establece cómo son estas corrientes equivalentes ya que deben elegirse de modo que se obtenga la misma solución que con las fuentes originales.

Observando la figura 1 de este apéndice y suponiendo que las únicas fuentes presentes son las encerradas por la superficie S, los campos eléctrico y magnético en el exterior de S se pueden calcular a partir de las corrientes →J, o bien, por el teorema de unicidad, si se conocen las componentes tangenciales a S de los campos eléctrico y magnético también será posible obtener dicha solución en el exterior de S. Luego, si eliminamos las fuentes originales y añadimos unas nuevas, éstas deben asegurar que se satisfagan las condiciones de contorno existentes en S. Con este propósito podemos escoger como corrientes equivalentes las proporcionadas por las condiciones de contorno generalizadas y que están asociadas a la existencia de una discontinuidad en el campo eléctrico y magnético tangencial →M_s=−∧n×(→E₁−→E₂) y →J_s=∧n×(→H₁−→H₂), siendo 1 el medio externo, 2 el medio interno y ∧n un vector unitario que apunta a la región donde se desea obtener la solución, en este caso la región 1.

Figure 11: Cálculo del campo electromagnético cuando se tiene una fuente encerrada por una superficie S .

Figure 12: Corrientes equivalentes en la superficie limitante del problema.

Figure 13: Equivalencia de las aperturas y las corrientes magnéticas.

Dado que sólo estamos interesados en obtener la solución en el medio 1, es posible simplificar la obtención de las corrientes equivalentes obligando a que el campo en la región 2 (región interna) sea nulo. En este caso podemos escribir las corrientes equivalentes de manera más sencilla como:

Alternativamente, también es posible utilizar un modelo de equivalencia en el que la región interna se rellena de un conductor perfecto, lo que "cortocircuita" las corrientes eléctricas equivalentes.

En el primer caso de la figura 2 (de este apéndice) las corrientes equivalentes →J_s y →M_s emiten radiación en el espacio libre. En el segundo caso, las corrientes →M_s también radían en presencia de un cuerpo metálico con superficie S. El teorema de equivalencia asegura que eligiendo las corrientes como se ha indicado, ambos problemas proporcionan la misma solución y, además, ésta es igual a la que proporciona el problema original en la misma región.

Una de las aplicaciones más comunes corresponde al caso de superficies conductoras con aperturas. Las condiciones de contorno en una superficie perfectamente conductora son:

con →n·→E ≠ 0 y →n×→H ≠ →0. Por ello, según Jackson ([151996Jackson]), al querer calcular el campo electromagnético, que es una integral en toda la superficie que rodea el volumen del cuerpo conductor, conviene extender dicha integral solamente a las aperturas en lugar de toda la superficie. En la figura 3 (de este apéndice) se observa un recinto metálico con aperturas rectangulares que se reemplazan por fuentes de corrientes magnéticas.

B. Transformada de Fourier de ϕ_αy y ψ_αx

La integral de las ecuaciones (17) a lo largo de las aperturas da como resultado: