SUCESIÓN GENERALIZADA DE FIBONACCI APLICADA A CIRCUITOS TIPO ESCALERA*

GENERALIZED FIBONACCI SEQUENCE APPLIED TO LADDER CIRCUITS

Diego SanjinEs C.

Universidad Mayor de San Andrés, Carrera de Física

c 27 Cota-Cota, Campus Universitario, Casilla de Correos 8635

La Paz-Bolivia

---

RESUMEN

El uso de las fracciones continuas y su conexión con la sucesión de Fibonacci en la teoría de los circuitos eléctricos tipo escalera no es nuevo, pero es susceptible de plantearse de otras maneras a fin de ganar una visión desde otra perspectiva de un mismo problema, que es lo que se hace en este trabajo. Se presenta pues una revisión de las técnicas tradicionales relevantes, a través de una generalización de la sucesión de Fibonacci más amplia y cómoda que permite obtener los mismos resultados sin necesidad de fabricar relaciones auxiliares, como por ejemplo, los polinomios de Morgan-Voyce. Los resultados centrales de este trabajo corresponden al cálculo de las corrientes y voltajes nodales para un circuito tipo escalera y el voltaje a lo largo de una línea de transmisión continua. Para ello se utiliza técnicas del formalismo matricial que comprenden el cálculo de eigenvalues, la diagonalización y la potenciación de matrices de 2x2.

Descriptores: física general — teoría de circuitos

Codigo(s) PACS: 01.55.b , 84.30.Bv

ABSTRACT

The use of continuous fractions and their connection to the Fibonacci sequence as part of the theory of ladder-type electric circuits is not a new issue. However, it is a matter that is improvable in order to gain an insight into the same issue but from a different perspective. In this work: we present an overview of traditional techniques through the use of a generalization of the Fibonacci sequence which is broader and easier to apply, as well as, leading to the same results without invoking other special relations, as, for example, the Morgan-Voyce polynomials. The results in this work correspond to the nodal currents and voltages for a ladder circuit and the voltage along a continuous transmission line. We use the techniques of the matrix formalism: eigenvalues, diagonalization and potentiation of 2x2 matrices.

Subject headings: general physics — circuit theory

---

1. INTRODUCCIÓN

Los números de Fibonacci (o la sucesión del mismo nombre: F={a_n}) se presentan usualmente al estu­diante en los primeros cursos de alguna carrera de ingeniería o ciencias como un ejercicio de computación recursiva, pues su fórmula generatriz es

Así, F queda definida al especificar los dos primeros términos  a₁, a₂. La forma usual de F corresponde a la elección (arbitraria) a₁=a₂=1:

La convención acostumbrada que designa una sucesión generalizada de Fibonacci es elegir a₁=α y a₂= β (ver, por ejemplo, Horadam 1961 y Basin 1963), donde el caso especial de α=β=1 corresponde a F. Sin embargo, en este trabajo se referiría simplemente a una sucesión de Fibonacci como aquella que cumpla la relación (1) independientemente de los valores de a₁ y a₂, de tal forma que la designación de sucesión "generalizada" se aplique de una forma más general (y útil) para los fines de este trabajo.

A propósito de los números de Fibonacci, estos tie­nen una larga y venerable tradición cuyos aspec­tos generales se pueden resumir a continuación. En 1202, Leonardo de Pisa, hijo del comerciante Bonaccio y conocido como Fibonacci (i.e., Filius Bo- nacci=hijo de Bonaccio) publicó la obra "Liber Abaci" (libro del ábaco) donde trato matemáticamente un problema muy popular en aquellos días: la multiplicación de una población de conejos a partir de una pareja inicial (Vorobyov 1973). Esta fue la primera ocasión en que apareció de manera documentada la  sucesión F que desde entonces se atribuye a Fibonacci. En el siglo XVII, J. Kepler re-descubrió esta sucesión, lo que motivó aun su estudio; algunos nom­bres relacionados con ello son: J. Binet, B. Lame, E. Catatán, E. Lucas. A propósito de este último (s. XIX), se conoce como "números de Lucas" aque­llos que corresponden a la sucesión F con valores ini­ciales ai=2 y a₂ = 1. Una cronología reciente y muy resumida de actividades y publicaciones relevantes puede ser la siguiente:

  1959.- Morgan-Voyce A.M, "Ladder Network Analysis using Fibonacci numbers" (Morgan-Voyce 1959).

  1961.- N. Vorobyov, "Fibonacci numbers" (Vorobyov 1973).

  1963.- V. Hoggat funda la "Fibonacci Association" y se publica el "Fibonacci Quarterly". Se organiza las conferencias "Fibonacci" en California (EUA) anual­mente hasta 1979.

  1969.- V. Hoggat, "Fibonacci and Lucas numbers".

  1984, 1986, 1988.- Conferencias internacionales (1ra, 2da y 3ra en Grecia (Lahr 1986), EUA e Ita­lia respectivamente) sobre los números de Fibonacci y sus aplicaciones.

  Actualmente existe una gran variedad de aplica­ciones de los números de Fibonacci en distintos cam­pos, donde se destaca el uso de diversas relaciones derivadas de generalizaciones de la formula recur­siva (1), como es el caso de los polinomios de Morgan- Voyce (Morgan-Voyce 1959, Lahr 1986). Una aplicación muy común es aquella referida a los circuitos eléctricos tipo escalera, donde se da una especie de escenario natural para la aparición de los números de Fibonacci. Es aquí donde surge la motivación para este trabajo.

2. formalismo matricial y sucesión generalizada de fibonacci

  Uno de los problemas centrales de una sucesión re­cursiva con una relación generatriz como es el caso de (1), es hallar una formula para el n-ésimo término como una función de n:

  Para el caso de (1), J. Binet dedujo ingeniosamente dicha fórmula (Vorobyov 1973):

Una extensión para un caso más general de (1):

se logra de manera inmediata a través del mismo procedimiento original de Binet (Kiss 1986).

  Otra forma equivalente de obtener el mismo resul­tado (4) es a través del formalismo matricial. Así, la relación de recurrencia (1) se puede representar por

  Si se conoce el resultado de M ^n-2, entonces cierta­mente se conocerá x_n a partir del vector inicial x₂. Para tal efecto se debe resolver el problema de ei- genvalores de M, es decir, obtener el valor de A de la ecuación de eigenvalores Mz=λz, lo que da lugar al polinomio característico cuyas raíces son

  El siguiente paso es diagonalizar M, esto es, encon­trar otra matriz D tal que M_D =D^{- 1}MD sea una ma­triz diagonal. El resultado de dicha diagonalización es

  Teniendo además en cuenta que los eigenvalores a y p tienen las propiedades

que es la fórmula de Binet (4).

  El método matricial para obtener a_n es particu­larmente adecuado para calcular el n-ésimo término de una sucesión aún más general, ya que el crite­rio original de Binet para obtener (4) no se puede aplicar al caso de una relación de          recursividad del tipo αո =Aոaո-₁ + Bոaո­2 (Aո, Bո≠1, n>2), que se puede designar como sucesión generalizada de Fibonacci. Un caso particular de esta relación que con­viene para los fines específicos de este trabajo es

Se asignara el símbolo G para el conjunto de los términos a_n dados por (11). En el formalismo matri­cial la relación de recurrencia (11) se escribe (para n par) como

Como un ejemplo ilustrativo, la sucesión corre­pondiente a R=2 y ai=a₂=1 es G = 1, 1, 2, 5, 7, 19, 26, 71,_____ Usando la expresión (13) se obtiene

de donde se calcula directamente a₄=5, a₆=19, a₈=71.

Aunque no es un misterio, siempre es interesante notar como las expresiones claramente irracionales de (14) se "ponen de acuerdo" para dar por resultado solo números naturales. Esto es una consecuencia de las propiedades correspondientes a (9) para el caso de las sucesiones generalizadas G.

 

3. FRACCIONES CONTINUAS

  Una aplicación interesante de las sucesiones G surge al expresar una fracción continua W como la razón entre dos términos consecutivos de G. Para ver esto consideremos el tratamiento que hace Vorobyov (1973) de las fracciones continuas, adoptando la notación practica de Hall & Knight (Hall & Knight 1948). Considérese entonces la fracción continua dada por

cuyos términos  h_n y l_n respectivamente correspon­den de acuerdo a (11) a

Se puede verificar inmediatamente que si R=1 en (20), estas sucesiones de reducen a la sucesión de Fibonacci F y el resultado de (24) es el mismo que se obtiene en Vorobyov (1973). Utilizando (13) en (21) se llega a una expresión muy cómoda para el n-ésimo término de la sucesión L (n>3 impar):

4. APLICACIONES EN LA TEORÍA DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

  Estas aplicaciones son frecuentes en la literatura científica; uno de los más antiguos es el trabajo de Fry (1929). La razón de ello es que el circuito tipo escalera (Fig.1) es un modelo bastante simple y completo de las líneas de transmisión de energía eléctrica y permite obtener resultados relevantes para aplicaciones específicas, como ser la atenuación del voltaje a medida que se avanza a lo largo de la línea. En este trabajo se aplica el formalismo matricial y la generalización de la sucesión de Fibonacci (11), donde la deducción de los resultados ya conoci­dos se realiza a manera de probar de la validez del método.

En el modelo ilustrado en la Fig.1 se desprecia los efectos capacitivos e inductivos en el cálculo de la re­sistencia equivalente R_N para N lazos. El cálculo de R_n da como resultado

FIG. 1.— Circuito escalera de N lazos con voltajes y corrientes nodales V_n, i_n respectivamente. La resistencia longitudinal tiene un valor de R unidades de resistencia mientras que la resistencia transversal vale 1 unidad de resistencia. Cuando el interruptor está en el estado s=1 el circuito tiene una carga de Z unidades de resistencia y cuando s=0 el circuito está abierto.

Si R=1 entonces R_∞=(1+ √5)/2, lo que se conoce —desde los tiempos de la Grecia clásica— como razón aúrea.

A continuación se calcula los voltajes y corrientes nodales V_n, i_n (Fig.1). Fijando en valor del voltaje de entrada como V_N = i_N R_N, las corrientes nodales resultan ser

donde se usa (27) para el cálculo de R_{N -m}. Cuando el estado del interruptor es s=1 (circuito con carga) la resistencia equivalente es

la que se puede escribir en términos de sus respecti­vas convergentes:

o bien, en términos de las sucesiones generalizadas H y L en (20),

La fórmula (33) para las corrientes y voltajes noda­les en un circuito con carga constituye el resultado central de este trabajo. El caso particular del cir­cuito sin carga (o abierto) se obtiene de (33) al tomar Z=∞. La fórmula (33) comprende, como casos espe­ciales, los resultados reportados por Basin (1963). En el límite de una cadena de lazos muy grande (N →∞) se obtiene de (32) que

y de aquí, se recupera la expresión (28) para el cir­cuito sin carga en el límite Z →∞.

5. límite del continuo: línea uniforme deTRANSMISION

La aplicación de los anteriores resultados en el límite continuo del circuito de la Fig.1 es inmediata. Este es el modelo para una línea de transmisión uni­forme que consiste por ejemplo  de un juego de cables coaxiales con una fuente de voltaje en un ex­tremo y una carga en el otro extremo. Así, se tomara el límite de un número muy grande de lazos, N ^ ro, junto con las resistencias longitudinal y transversal en cada lazo:

que se reduce a la formula correcta en el límite del circuito sin carga:

La fórmula para R_eq en (37) es la misma (salvo por un factor ^2) que obtiene Mowery (1964) después de usar un método con base en los polinomios de Tchebyshev.

El voltaje nodal en (33) se puede escribir en la forma sencilla

Usando (36) y k=lN/L, donde l es la distancia física desde la fuente de voltaje (V₀) hasta el punto nodal se tiene que

6. COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO DE LA RESISTENCIA

El comportamiento asintótico de R_N en (32) cuando

En los tres casos se verifica el comportamiento Lim_ո→ո g_n(δ)=1. El caso (i) corresponde al límite R_∞=0 pues el circuito se reduce a una colección in­finita de resistencias unitarias en paralelo. El caso (iii) corresponde al límite R_∞=R pues el circuito se reduce a una colección infinita de "cortos" y por ello solo queda la primera resistencia longitudinal. Así, el caso más interesante puede ser (ii) ya que la razón R de las resistencias longitudinal y transversal no es muy grande ni muy pequeña.  En este caso, si n≥ 5 entonces g_n(δ)=1, lo que significa que la resistencia equivalente para un circuito (con o sin carga) de 5 lazos ya es una buena aproximación para el circuito más largo.

En Lahr (1986) se dispone de un extenso material acerca de la aplicación de los números de Fibonacci a los circuitos tipo escalera. Su objetivo central es calcular la resistencia equivalente y los voltajes y co­rrientes nodales (con carga y sin carga), obteniendo las expresiones buscadas en términos de los polino­mios de Morgan-Voyce. Estos polinomios también se utilizan en otros trabajos (ver, por ejemplo, Swamy & Bhattacharyya 1967), donde se incluye efectos ca­pacitivos e inductivos de las impedancias debidos a una señal periódica de voltaje a la entrada del cir­cuito. En todos estos casos, se verifica que los poli­nomios de Morgan-Voyce corresponden al caso par­ticular de una sucesión generalizada de Fibonacci G definida por (11) con los primeros términos ai=0 y a₂=1. Aunque ya Basin (1963) reporta expresio­nes explícitas para los polinomios de Morgan-Voyce, estos no se aplican en algún calculo contenido en su trabajo. Otros resultados concernientes a las poten­cias de una matriz de 2x2 y sus conexiones con fun­ciones hiperbólicas, polinomios de Jacobi y polino­mios de Tchebyshev se reportan en Mowery (1964) y en Mowery (1961).

7. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS

Los resultados centrales de este trabajo, que pue­den resumirse en las fórmulas (33) para las corrien­tes y voltajes nodales, y la fórmula (42) para el vol­taje a lo largo de una línea de transmisión conti­nua, se obtuvieron por medio de una redefinición de la así llamada sucesión generalizada de Fibonacci según (11). La técnica utilizada fue la del formalismo matricial que comprende el cálculo de eigenvalores, la diagonalización y la potenciación de matrices de 2x2. Este formalismo conduce además a expresio­nes para estimar el carácter asintótico de la resisten­cia equivalente, lo que permite, por ejemplo, calcular cuántos lazos del circuito serían suficientes para te­ner una buena aproximación al circuito infinito. Una dirección natural en la que se puede extender este trabajo es considerar eigenvalores complejos A₁ y A₂ de las matrices de recurrencia, lo que están asociado a los efectos capacitivos e inductivos de las impe- dancias (un tratamiento muy completo al respecto lo hace Dutta-Roy (1964) con métodos diferentes a los de este trabajo). Así, se puede demostrar que aún se cumple la condición |A₁||A₂|=1, de donde se deduce que la impedancia equivalente debe tener un com­portamiento asintotico análogo al caso de eigenva­lores reales. Otra dirección que se podría tomar es hacia la investigación de las propiedades de las frac­ciones continuas (15) en donde la periodicidad de q_n se extiende sobre periodos mayores que en (19), lo

que supone un formalismo matricial análogo a (12) que involucra el producto de un número mayor de matrices de 2x2. La extensión de dicho formalismo a matrices cuadradas de mayor orden puede aplicarse considerando la expresión más general de (11) para  las relaciones de recurrencia:

REFERENCIAS

1.-  Basin S.L. (1963), Math. Magazine 36, 84.         [ Links ]

2.- Dutta-Roy S.C. (1964), Proc. IEE 111, 10, 1653.         [ Links ]

3.- Fry T.C. (1929), Bull. oftheAmer. Math. Soc. 35, 463.         [ Links ]

4.- Hall H.S. & Knight S.R. (1948), Algebra Superior (Uteha).         [ Links ]

5.- Horadam A.F. (1961), Amer. Math. Monthly 68, 5, 455.         [ Links ]

6.- Kiss P. (1986), Fibonacci numbers and their applications, p.121 (ed. Philippou A.N. et al., Reidel).         [ Links ]

7.- Lahr J. (1986), Fibonacci numbers and their applications, p.141 (ed. Philippou A.N. et al., Reidel).         [ Links ]

8.- Morgan-Voyce A.M. (1959), IRE Trans. on Circuit Theory 6, 3, 321.         [ Links ]

9.- Mowery V.O. (1964), IRE Trans. on Circuit Theory CT-11, 232. Mowery V.O. (1961), IRE Trans. on Circuit Theory CT-8, 167.         [ Links ]

10.- Plonsey R. & Collin R. (1961), Principles and Applications of Electromagnetic Fields p.364 (McGraw-Hill).

11.- Sander K. & Reed G. (1978), Transmission and Propagation of Electromagnetic Waves p.153 (Cambridge University Press).

12.-  Swamy M.N.S. & Bháttácháryyá B.B. (1967), IEEE Trans. on Circuit Theory CT-14, 3, 260.

13.- Vorobyov N.N. (1973), Los Números de Fibonacci (Limusa).