POST-COMPRESIÓN DE PULSOS CON DIFERENTES PERFILES TEMPORALES POST-COMPRESSION OF PULSES WITH DIFFERENT TIME PROFILES

F. Flores† & J. San RómAn‡

† Carrera de Física, Universidad Mayor de San Simeón

†Centro de laseres pulsados, Universidad de Salamanca

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RESUMEN

Se estudiaron cinco perfiles temporales para identificar que pulsos son los más adecuados en la post-compresión por fibra hueca. Las funciones correspondientes a estos perfiles son: gaussiana, secante hiperbólica, super-gaussiana y dos gaussianas asimétricas invertidas en­tre sí. Los pulsos ultra-cortos fueron propagados por una fibra hueca que está llena de argón. Para comparar los ensanchamientos espectrales después de la propagación no-lineal utiliza­mos pulsos de entrada con anchos espectrales parecidos. Estudiamos por separado los efectos de dispersión y los efectos no-lineales, y luego consideramos todos los efectos juntos. De todos los casos estudiados, la secante hiperbólica presenta un ensanchamiento espectral superior a los otros pulsos simétricos y además presenta menor fase espectral, lo que significa mayor facilidad en la compensación de fase.

Descriptores: óptica no-lineal — compresión de pulsos

Código(s) PACS: 42.65.i, 42.65.Re

ABSTRACT

We studied five time profiles to identify which pulses are most suitable for post-compression through a hollow fiber. The corresponding profile functions analyzed were: Gaussian, hyper- bolic secant, super-Gaussian and two inverted asymmetric Gaussians. The ultra short pulses were propagated using a hollow fiber filled with Argon. We used input pulses with simi­lar widths in order to compare their spectral dispersion after the non-linear propagation. The dispersion and non-linear effects were studied separately before considering them as a whole. We found that of all the profile functions analyzed the hyperbolic secant presents the greatest spectral dispersion and the smallest spectral phase, and as such better facilitates the occurrence of phase compensation.

Subject headings: nonlinear optics — pulse compression

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1. INTRODUCCIÓN

En la década de los setenta e inicios de los ochenta, surgieron nuevos fenómenos no lineales por la combi­nación de efectos de dispersión y efectos no lineales, por ejemplo, la compresión de pulsos y propagación de solitones (Agrawal 2000). En la actualidad, gra­cias al avance tecnológico de los láseres ultra-cortos y ultra-intensos es posible generar con facilidad efec­tos de propagación no lineales.

Una de las aplicaciones más importante en la propagación no lineal es la

post-compresión de pulsos y, los dos esquemas utilizados para comprimir pulsos son la filamentación (Hauri et al. 2004) y la post- compresión con fibra hueca (Nisoli et al. 1997). La filamentación surge del equilibrio entre el efecto Kerr optico (auto focalización del haz laser) y la ionización del medio por absorción multifotonica (defocalizacion del haz laser) (Mechain et al. 2005). En el segundo método, los pulsos son guiados por la fibra hueca y requieren de cortas distancias para las manifesta­ciones de los efectos no lineales. La principal carac­terística de ambos métodos es el efecto de la auto modulación de fase (self-phase modulation, SPM) que produce un ensanchamiento en el espectro o generación de nuevas frecuencias. Normalmente los dos métodos de post-compresión requieren el mecanismo de la compensación del chirp, producido por los efec­tos de dispersión y efectos no lineales.

Dentro de la dinámica temporal de los pulsos, des­tacamos dos grandes efectos; la dispersión cromática y los efectos no lineales:

1.1. Dispersión cromática

La respuesta del medio a la interacción con la luz está dada por la variación del índice de refracción η(ω) con la frecuencia w, cuya consecuencia principal es el ensanchamiento temporal. Matemáticamente los efectos de la dispersión se consideran expan­diendo en series de Taylor la constante de propagación 3 alrededor de la frecuencia central del pulso, ωo;

(1)

β2 es la dispersión de la velocidad de grupo (group velocity dispersión, GVD), y es el responsable para el ensanchamiento del pulso. El coeficiente B2 se conoce como dispersión de tercer orden (third order disper­sión, TOD), su inclusión es necesaria cuando  β≈ 0, asimismo, si consideramos pulsos ultracortos, aiín β2 = 0. La TOD produce cambios en la forma del pulso, asimetrías con estructuras oscilatorias en un extremo.

1.1.1. Efecto no lineal

La expresión matemática de la dependencia del índice de refracción con la intensidad se conoce como efecto Kerr,

donde n(w) es la parte lineal del índice de refracción, |E|² es la intensidad óptica dentro de la fibra y, n₂ es el coeficiente del índice no lineal relacionada con la suceptibilidad x⁽³⁾. La dependencia del índice de refracción con la intensidad conduce a muchos efec­tos no lineales; por ejemplo el SPM. Asimismo al utilizar pulsos ultra-cortos, es necesario considerar efectos no lineales de orden elevado como es el self- steepening (produce asimetrías en el espectro y des­plazamiento hacia los azules (Couairon & Mysyro- wicz 2007)). Además, en el caso de tratar con un gas molecular debemos incluir el efecto del scatte- ring Raman (origina un desplazamiento del espectro hacia el rojo (Santhanam & Agrawal 2003)).

1.1.2. Ecuación de la propagación no lineal

Utilizando la aproximación de la envolvente len­tamente variable, la ecuación de onda es dividida en dos ecuaciones; una para la parte espacial que lo con­sideraremos constante¹ y, la otra para la parte tem­poral;

donde  β2 y β3 son los términos de dispersión de se­gundo y tercer orden, a es el coeficiente de absorción, γ es el parámetro no lineal proporcional a n₂. La ecuación 3 es conocida como la ecuación de propagación paraxial no lineal de envolvente lentamente variable y, puede ser agrupada en dos operadores; li­neal Ďy no lineal Ň,

2. METODOLOGÍA

Las simulaciones de la propagación de pulsos ultra-cortos son guiados por una fibra hueca de 0.2 m de longitud y diámetro interno de 300 ^m. La fi­bra hueca está llena de argón a presión atmosférica, por lo cual l los parámetros no lineales y de dispersión para el argón (Couairon et al. 2008) son;

Utilizamos cuatro perfiles temporales en la propa­gación de pulsos ultra-cortos; gaussiana, secante hiperbólica, súper gaussiana (de orden m = 2), y pulso gaussiano asimétrico,

Donde t_p es la semiachura del pulso gaussiano (50 femtosegundos) a la altura de exp(-2) y t'_p, tʹʹ_p, t_p1, t_p2 son parámetros que también nos dan información del ancho temporal de sus respectivos pulsos y, son ajustados para conseguir inicialmente anchuras es­pectrales parecidas al de la gaussiana.

Para el pulso asimétrico usamos los valores de t_p₁ = 80, t_p2 =30 y también estudiamos la asimetría invertida, es decir, t_p1 = 30, t_p2 = 80. Para distin­guirlos los denotamos como asimetría 1 al primero y asimetría 2 al segundo.

Los resultados en la propagación no lineal son eva­luados en función de: Ensanchamiento espectral, en­sanchamiento temporal comparado con la transfor­mada límite de Fourier, desplazamiento espectral y la fase inducida durante la propagación. Después de la propagación no lineal, los diferentes pulsos (ecua­ciones 5, 6, 7, 8) presentan diferentes anchuras es­pectrales, por lo cual, los que tengan más espectro y una menor fase espectral (facilidad en la compensación de la fase) seran los más apropiados para con­seguir los pulsos más comprimidos.

Para tener la cuantificación aproximada del chirp que se induce en la propagación no lineal, realizamos un ajuste polinomial de orden tres a la curva de la fase espectral,

donde f₃ y f₂ están relacionados con la group de- lay dispersión GDD y la third order dispersión TOD por medio de la ecuación 1, es la frecuencia cen­tral desplazada durante la propagación del pulso, y se ha calculado por la definición de centro de grave­dad. Utilizamos la definición matemática de segundo momento para estimar el ensanchamiento espectral producido por los efectos no lineales para un perfil arbitrario:

El pulso límite de Fourier conseguimos calculando la transformada inversa de Fourier del valor absoluto del perfil espectral.

2.1. Algoritmo numérico

El método que se ha utilizado para resolver la ecuación 4 es el Split-Step Fourier Method, con el cual la solución de la ecuación 4 puede aproximarse de la siguiente forma;

la parte no lineal es una matriz diagonal y puede ser evaluada directamente, y la parte de la dispersión puede ser evaluada en el espacio de Fourier.

Remarcamos que el método utilizado es una aproximación porque los operadores Ď y Ň no conmu­tan. Sin embargo, considerando la fórmula de Baker- Hausdorff (Agrawal 2000), el error cometido es del orden ∆z². Teniendo en cuenta este desarrollo, es más preciso realizar el Split-Step Fourier Method de la siguiente manera;

esto significa, aplicar la dispersión y absorción du­rante ∆z/2, después aplicar la no linealidad en todo el intervalo ∆z , y nuevamente la dispersión en el otro intervalo ∆z/2.

Los parámetros de control en el programa para to­dos los perfiles temporales son ∆z, N (número de iteraciones) y P_in (potencia pico inicial), donde L = N ∆z = 0.2m. Elegimos el criterio de utilizar la po­tencia pico, es decir, todos los pulsos tienen la misma potencia pico de entrada, lo que significa que no tie­nen la misma energía de entrada. Recordamos, como ejemplo, que la potencia pico es el parámetro natural con la que se caracterizan la formación del soliton de Townes.

3. RESULTADOS Y DISCUSIONES

En las Tablas 1, 2, 3, y 4 se presentan los resulta­dos obtenidos en el trabajo. En ellas se presentan: La función del perfil temporal, la energía inicial E_i[J], la energía final Ef [J], el desplazamiento de la fre­cuencia central w_cf [fs], la anchura espectral inicial

∆wj[fs ¹], la anchura espectral final ∆wf [fs y los parámetros de ajuste de la fase f3[fs³] y f₂[fs²].

En todas las Tablas de resultados se observa que la energía inicial es igual a la energía final, es de­cir, no existe perdidas en la energía porque el Argón tiene un coeficiente de absorción despreciable (en el programa se utilizó α = 0). Además, en el modelo de fibra no existe ningún otro termino de perdida, por lo cual, los resultados de la energía son una comprobación de que la simulación es correcta.

 

4. CASO I, SOLO DISPERSIÓN

En esta primera sección de resultados considera­mos únicamente los términos de dispersión y despre­ciamos los efectos no lineales. El chirp generado solo produce una modificación en la fase, pero la anchura espectral no es modificada porque los efectos de dispersión no generan nuevas frecuencias, solo produ­cen un reordenamiento de las mismas. Por tanto, los resultados de αwt = Awf son correctos.

El parámetro β₂ presenta mayor influencia que β₃ durante la propagación, es decir, la asimetría y la dis- torsión que induce β₃ es inapreciable en los perfiles temporales.

Los ajustes realizados a las fases espectrales de to­dos los perfiles temporales concuerda con la GVD y la TOD introducida en la propagación en Argón a presión atmosférica de 0.2 m. Por tanto, los valores conseguidos en el ajuste de la fase espectral constitu­yen una indicación que los resultados numéricos son correctos.

Es importante resaltar que los perfiles temporales asimétricos tienen inicialmente una TOD = 0, esto implica que no ingresan con una fase plana como los pulsos simétricos. La aparición inicial de la TOD en la fase espectral puede ser atribuido porque los pulsos asimétricos presentan inicial mente una asi­metría temporal notable (f₃ inicial del orden 10³). En este contexto, los valores de / que se presentan en la Tabla 1 son la diferencia de la TOD de salida y de entrada.

5. CASO II, SOLO AUTO-MODULACIÓN DE FASE

Ahora consideramos solo un efecto no lineal, la auto-modulación de fase, y despreciamos los efectos de dispersión. En la Tabla 2 se presentan los resul­tados conseguidos en la propagación no lineal, se ob­serva nuevamente que la frecuencia central no sufre un desplazamiento. Esto es correcto porque la automodulación de fase produce nuevas frecuencias o ensanchamiento espectral simétrico, lo que significa que el pulso después de la propagación no adquiere un valor de f₃. Por lo cual, el chirp inducido por la automodulación de fase es producida por f₂.

La simetría se rompe para el caso de los perfiles asimétricos, sin embargo el centro de gravedad (fre­cuencia central) permanece sin modificación para la potencia y duraciones del pulso elegidas en el pro­grama.

Los resultados de la Tabla 2 muestran que el pulso secante hiperbólico tiene el mayor ensanchamiento espectral, y el pulso super-gaussiano presenta el me­nor ensanchamiento espectral.

En la Tabla 2 se puede observar que los perfiles asimétricos muestran un valor elevado de f₃. Una po­sible explicación es: Como se explicó anteriormente, ellos ya ingresan con un valor significativo de TOD por la asimetría temporal. El SPM parece compen­sar el TOD inicial, reduciendo de manera significa­tiva la componente cubica de la fase espectral. Sin embargo, se mantienen las asimetrías temporales de los pulsos, cuyo origen está en la asimetría notable del espectro.

Los ajustes de fase tienen mucha sensibilidad con el intervalo del ajuste. Por este motivo, los ajuste de fase que se presentan en este trabajo deben conside­rarse como resultados cualitativos más que cuantita­tivos.

6. CASO III, DISPERSIÓN MAS AUTO MODULACIÓN DE FASE

En la Tabla 3 presentamos los resultados conside­rando los efectos de dispersión y la auto modulación de fase. Se puede notar un ligero incremento de los coeficientes f₂ respecto al caso II, así mismo que f₃ = 0, lo que es lógico porque la dispersión contri­buye al chirp en todos los órdenes. Sin embargo, el efecto no lineal es más dominante que los efectos de dispersión. Los perfiles asimétricos tienen un com­portamiento parecido al caso II, donde tampoco se ob­serva desplazamientos de la frecuencia central para la potencia y duraciones de pulsos utilizadas en este trabajo.

El ligero incremento de f₂ provoca incrementos en las anchuras temporales, y esto implica que las anchuras espectrales deben disminuir ligeramente, como se observa en la Tabla 3. Los valores obtenidos para f₃ en los pulsos asimétricos tienen la misma explicación que el caso II. Al igual que los dos an­teriores casos, en la Tabla 3 se puede notar que la secante hiperbólica presenta la mayor anchura es­pectral después de la propagación no lineal.

7. CASO IV, TODOS LOS EFECTOS NO LINEALES Y DE DISPERSIÓN

En esta última sección consideramos los tres efec­tos no lineales; la automodulación de fase, el self- steepening y el efecto scattering Raman junto con los efectos de dispersión. Es importante remarcar que para activar el efecto del scattering Raman es nece­sario considerar que el pulso se propaga en un gas molecular.

En la Tabla 4 se puede notar que el pulso asimétrico 1 tiene el mayor ensanchamiento espec­tral, pero presenta parámetros de dispersión más complicadas de compensar. En general, los ensancha­mientos espectrales tienen el mismo comportamiento que los obtenidos en los casos anteriores, es decir, la secante hiperbólica tiene el mayor espectro después de la propagación no lineal.

En la Figura 1 se muestran los perfiles temporales, perfiles espectrales en frecuencias y longitudes de onda, en ellas se pueden apreciar los efectos que pro­ducen el SPM, self-steepeningy el efecto Raman (en-

FIG. 1.— Perfiles temporales y espectrales (en unidades arbitrarias, ua) después de la propagación por fibra hueca; caso IV, todos los efectos de dispersión y no lineales

sanchamientos y asimetrías en los espectros y des­plazamientos de la frecuencia central). Los valores numéricos de la full width at half máximum FWHM, del pulso límite de Fourier para los 5 perfiles utiliza­dos son;

Gaussiana FWHM = 7.36 fs.

Secante hiperbólico FWHM = 6.66 fs.

Super-gaussiana FWHM = 6.89 fs.

Asimétrico 1 FWHM = 5.26 fs.

Asimétrico 2 FWHM = 7.92 fs.

Se puede notar que el pulso asimétrico 1 presenta la mejor compresión del pulso, pero tiene una com­pensación complicada en la fase. Sin embargo, como hasta ahora se ha estado observando en los casos II al IV, el pulso secante hiperbólico resulta ser ade­cuado para la mejor compresión y con una compensación menor de la fase en comparación con los otros pulsos estudiados.

8. CONCLUSIONES

 Las conclusiones del presente trabajo son;

• Los pulsos gaussianos asimétricos presentan intrínsecamente una TOD inicial que origina una fase espectral, y en general los pulsos asimétricos estudiados presentan compensacio­nes complicadas de la fase.

•  En la propagación lineal, el chirp inducido por los efectos de dispersión de segundo y tercer or­den son iguales para los diferentes perfiles tem­porales.

•  La secante hiperbólica presenta mejores incre­mentos espectrales en todos los casos de la propagación no lineal, por lo cual, puede ser un perfil adecuado para la post-compresión, logrando alcanzar un pulso límite de Fou- rier de 6.66 fs. Sin embargo, considerando to­dos los efectos lineales y no lineales, el pulso asimétrico 1 presenta mayor espectro, y tiene un pulso límite de Fourier de 5.26 fs. Remar­camos que la asimetría intrínseca de los pul­sos gaussianos asimétricos dificulta la compensación de la fase, así mismo son sensibles a pe­queños incrementos de la potencia pico inicial.

 

REFERENCIAS

1.- Agrawal, G. P. 2000, Nonlinear Fiber Optics (University of Roches-ter, third Edition)         [ Links ]

2.- Couairon, A., Chakraborty, H. S., & Gaarde, M. B. 2008, Phys. Rev. A, 77, 053814         [ Links ]

3.- Couairon, A. & Mysyrowicz, A. 2007, Physics Reports, 441, 47        [ Links ]

4.- Hauri, C. P., Kornelis, W., Helbing, F. W., Heinrich, A., Couairon, A., Mysyrowicz, A.,Biegert, J., & Keller, U. 2004, Appl. Phys.B, 79, 673        [ Links ]

5.- Mechain, G., D'Amico, C., Andre, Y.-B., Tzortzakis, S., Franco, M., Prade, B.,Mysyrowicz, A., Couairon, A., Salmon, E., & Sauer- brey, R. 2005, Optics Communications, 247, 171         [ Links ]

6.- Nisoli, M., Silvestri, S. D., & Svelto, O. 1997, Optics letters, 22, No. 8        [ Links ]

7.- Santhanam, J. & Agrawal, G. P. 2003, Optics Communications, 222, 413        [ Links ]