ARTÍCULO ORIGINAL

EXTENSIÓN DEL PROCESO DE ORNSTEIN-UHLENBECK PARA LA DESCRIPCIÓN DEL CRECIMIENTO ECONÓMICO EN UNA SOCIEDAD SUJETA A AMENAZA DELINCUENCIAL

M. A. Subieta Vásquez^l, G. M. Ramírez Ávila2

'Carrera de Física, U.M.S.A.
²Instituto de Investigaciones Físicas, U.M.S.A.

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RESUMEN

Se analiza el proceso de Ornstein-Uhlenbeck considerando dos tipos de potenciales para la descripción del crecimiento de capital acumulado x de un sector social sometido a actividades delincuenciales. Se considera un modelo basado en teoría de juegos dife­renciales para la interacción entre la población, los policías y los delincuentes, al cual le asignamos un caracter estocástico. Se resuelve la ecuación de Fokker-Planck lo que permite describir el comportamiento de la densidad de probabilidad de x en función del tiempo. Se estudian dos escenarios socio-económicos, considerando dos tipos de reacción (hostil y tolerante) de la población frente a la delincuencia. Finalmente, se intenta hacer una correspondencia entre los aspectos termodinámicos y los socio-económicos.

Descriptores: Procesos Estocásticos, Econo física.

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1. INTRODUCCIÓN

Los métodos de la Física Estadística han demostra­do ser muy fructíferos y en las últimas décadas ellos han resultado ser también muy importantes en la investiga­ción multidisciplinaria. Por ejemplo la ecuación maestra además de tener aplicaciones en termodinámica, en la teoría de láseres [1], en la cinética química [2] e incluso en ciencias sociales [3]. Así, se puede citar el trabajo de Helbing [4] en el cual se describe el cambio del compor­tamiento de la población afectada por un campo social. Por otra parte, fenómenos tales como las actividades de­lincuenciales y su efecto sobre la economía local han sido modelados utilizando teoría juegos diferenciales [5]. En este sentido, la propuesta es la descripción del crecimi­ento económico sujeto a actividades delincuenciales des­de una perspectiva estocástica, inspirada en el hecho ya mencionado del desarrollo que se tiene sobre la teoría, y además de la posibilidad de extender el concepto del pro­ceso de Ornstein-Uhlenbeck a sistemas socio-económicos. La delincuencia en general se ha visto presente en dife­rentes países, ya sean estos países con economías desa­rrolladas o países que se encuentran en desarrollo, pero que pasa cuando la delincuencia se quiere introducir en una sociedad y tiene que corromper a las instituciones de seguridad en el país, ¿cómo se desarrolla esto en ca­da estructura de diferentes tipos de sociedades?. En este sentido analizamos dos escenarios, un escenario en el cual vemos una sociedad la cual no acepta con facilidad a la delincuencia, es más, se comporta de una manera hostil ante ella, y otro escenario el cual se comporta de forma tal, que no tiene mucho control sobre la delincuencia, se analizan estos dos casos de manera separada.

2. MODELO DETERMINISTA

Se considera a un comerciante que al tiempo t tie­ne un capital acumulado x(t), el cual es completamente invertido en su negocio. Sin la influencia de los delincuen­tes, éste capital crece a una tasa constante q. Ahora, si se considera la presencia de la delincuencia, al tiempo t el comerciante es amenazado, por lo que tiene dos op­ciones: rechazar o aceptar la demanda delincuencial. Si la demanda es rechazada, el delincuente procede con su amenaza en un instante de tiempo posterior t + á con una probabilidad T(A; e _g , e_n), siendo e₉(t) el esfuerzo del delincuente por mantener su demanda en pie y e(t) el esfuerzo de la policía por proteger al comerciante. La demanda de los delincuentes está representada por:

lo cual nos conduce a la acumulación de capital  en t+Δ.

Para A → 0 se tiene

donde la tasa de amenaza delincuencial

es la propuesta en [5]. La interacción entre los delincuen­tes, los policías y la población está basada en teoría de juegos diferenciales. Así, se consideran la funcional ob­jetivo para los delincuentes:

Donde  son las funciones de costo para am­bos jugadores, n es el parámetro de corrupción, el cual describe el grado en el cual los delincuentes son capaces de corromper a la policía y ρ_g, ρ_p son las tasas de des­cuento temporal de ambos jugadores. Además, se tiene la forma funcional para la tasa de amenaza,

para la función de costo de los delincuentes

y para la función de costo de los policías

con  constantes. Φ es la reacción de la población frente a las actividades delin­cuenciales.

Aplicando el principio    del   máximo de Pontryagin [10]. Se halla la forma de las estrategias o trayectorias de control óptimo para ambos jugadores [5];

donde Ay, 4, son los precios sombra o los valores actua­les de coestado de la acumulación de capital para cada jugador. De (10) y (11), se puede encontrar también la expresión para la tasa de amenaza en equilibrio

donde . Uno de los resultados intere­santes que sugiere la expresión (12) es el hecho de que la tasa de amenaza en equilíbrio crece con el nivel de corrupción de la policía K, hasta un valor K crítico, véase Fig. 1, para el cual, la tasa de amenaza en equilíbrio se bifurca presentando valores muy grandes. Entonces para valores pequeños de it dentro del intervalo [0,1], existen los valores constantes , tales que

el par de estrategias (10) y (11) constituyen un equilibrio perfecto de Markov en el juego.

Existen dos tipos de equilibrio, un único equilibrio para k < k_i, y un otro equilibrio para k є ( k1 , k2 ) con valores bajos de la tasa de amenaza en equilíbrio, los cuales son llamados equilibrios regulares. El otro equili­brio correspondiente a la rama de k є ( k1 , k2 ) con valo­res altos de la tasa de amenaza en equilibrio, es llamado equilibrios de extinción. En los equilibrios regulares, la tasa de amenaza en equilibrio aumenta con el nivel de corrupción de la policía. En tanto que en los equilibrios de extinción la tasa de amenaza en equilibrio disminuye con el nivel de corrupción y, cuando nos aproximamos a si tiende a infinito, ver Fig. 1.

Si se considera un escenario donde los valores de la corrupción se encuentran cercanos al valor de n_i, de­beríamos esperar que el equilibrio regular permanezca también para K > k_i; sin embargo, se tiene que para va­lores de K ligeramente mayores que n_i, repentinamente se genera un segundo equilibrio, donde se tienen valores muy altos de la tasa de amenaza en equilíbrio. En este caso Ag  , lo cual implica que los valores
de los esfuerzos de ambos jugadores están dentro de [0,1]. Los esfuerzos de los delincuentes son mayores que los de los policías, induciendo así una gran tasa de amenaza, lo cual implica que en los equilíbrios de extinción, la policía conspira con los delincuentes y no ofrece protección, per­mitiendo que la extorsión aumente y se constituya en un daño significativo hacia las actividades económicas. En lo que sigue, nos enfocaremos en el estudio de las estra­tegias (10) y (11), sujetas al comportamiento estocástico de la acumulación de capital.

3. MODELO ESTOCÁSTICO

En este modelo, se considera la ecuación de Langevin como ecuación fenomenológica, la cual representará en cada instante de tiempo el crecimiento de la cantidad de capital acumulado y a su vez, el estado del juego diferencial estocástico. En este sentido, el crecimiento del capital acumulado es considerado como el movimien­to unidimensional de una partícula browniana, la está inmersa en un fluido y experimenta fluctuaciones en su movimiento debido a la fuerza fluctuante F(t). A su vez, la partícula está sometida a una fuerza de fricción que es proporcional a su velocidad; es decir:

la cual corresponde a la fuerza análoga dada por:

donde F(x), representa la fuerza socio-económica, pro­porcional al crecimiento del capital acumulado de la so­ciedad multiplicado por el coeficiente μ. Esta fuerza en relación con el potencial socio-económico estará dada por , al igual que su análogo para la partícula browniana, es decir:

En el modelo, se asume que el fluido representa a la sociedad³ donde el potencial V(x) puede ser entendi­do corno el campo socio-económico, el cual refleja la in­fluencia social y las interacciones relevantes para el cam­bio en el comportamiento de la variable macroscópica que corresponde al crecimiento de la cantidad de capital acumulado. En consecuencia, se tiene un juego diferen­cial estocástico sujeto a un proceso del tipo Ornstein­Uhlenbeck en el cual, si q < f*, da lugar a un potencial socio-económico parabólico para el proceso. Entonces, la ecuación de Langevin para este caso será:

Análogamente

se tiene que el término  es la fuerza aleatoria socio-económica que es una variable estocástica asociada al ruido que producen las fluctuaciones de la actividad económica de la sociedad en la acumulación de capital. Despreciando dichas fluctuaciones, volvemos a la ecuación determinista para el crecimiento del capital acumulado (3).

Se asume que   (t) es un ruido blanco delta correlacionado, es decir

³En la analogía de la sociedad con el fluido, se considera a cada agente económico de la sociedad como una molécula del fluido; donde éstos contribuyen de una manera aleatoria con el crecimiento económico, en términos de la acumulación de capital. En el modelo la interacción relevante en la sociedad es dada entre los policías con los delincuentes, tomando en cuenta la actitud de la sociedad frente a la delincuencia.

⁴Se considera al tamaño del capital acumulado como análogo a la masa.

análogamente para el caso de la partícula browniana se tiene:

donde el factor de peso σ² es la medida de la intensidad de ruido. Además, se tiene que la función de correlación  es proporcional a la función S. Asímismo, el juego diferencial estocástico estará sujeto a la ecuación fenomenológica

Si q > f*, se tiene un potencial socio-económico pa­rabólico invertido para el proceso. Análogamente para la partícula browniana se tiene que:

                  

3.1. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LANGEVIN

Para esto, se considera una ecuación de Fokker­Planck para la evolución temporal de la densidad de probabilidad de la variable macroscópica x. Entonces, para un potencial parabólico dado por

                       

La ecuación de Langevin (15) se resuelve realizando el cambio:

  y rescribiendo t' = t se tiene:

                  

que según la interpretación de Ito, se tendrá la ecuación asociada de Fokker-Planck

donde es la densidad de probabilidad de tran­sición en función del tiempo. Para el caso en el que se tiene un potencial parabólico invertido

La ecuación de Fokker-Planck para (23) tiene la forma:

Finalmente, para le caso en el que el potencial es cero se tiene la ecuación de difusión:

que corresponde a un proceso de Wiener.

3.2. EXPANSIÓN EN AUTOFUNCIONES DE LA DENSIDAD DE PROBABILIDAD DE TRANSICIÓN

Escribiendo la densidad de probabilidad como:

esto nos conduce a

es decir

donde LFp es el operador de Fokker-Planck. Ahora es­cribiendo:

el operador LFp es trasformado en el operador , el cual es Hermitiano. Donde las autofunciones de este operador estarán dadas por:

Por tanto, (21) se reduce a un problema de autovalores,  y autofunciones

las cuales son los polinomios de Herrnite. Además, las autofunciones cumplen las condiciones de ortogonalidad:

Por lo que las autofunciones ortonormalizadas toman la forma:

La solución formal de (22) dependiente del tiempo con la condición inicial:

puede ser escrita [8]:

De este modo se tiene la expansión de la densidad de probabilidad de transición en autofunciones ii)„. Por lo tanto (36) es la representación espectral de la densidad de probabilidad de transición . Ahora, tomando en cuenta (34) se tiene:

La autofunción  representa en este caso la densidad de probabilidad estacionaria correspondiente al autova­lor n = O y para la autofunción Ho(y) = 1 no normali­zada, de modo que:

Entonces, es posible hallar la densidad de probabilidad estacionaria calculando N, de manera que:

donde finalmente  toma la forma:

En virtud de la fórmula de Mehler⁵ [9], la serie en (37) puede ser sumada. En consecuencia, se llega a la expre­sión definitiva de la densidad de probabilidad de transi­ción:

Tomando en cuenta que  en la variable de estado x y además , entonces (41) toma la forma:

Se concluye por lo tanto que (37) es la representación espectral de  con  y además que las autofunciones  juntamente con los autovalores        forman un conjunto completo. Por tanto, el espectro del proceso de Ornstein-Uhlenbeck es puramente discreto, dado que  en otras palabras, el espectro consis­te de todos los armónicos de frecuencia de relajación μ del proceso.

Siguiendo el mismo procedimiento, para el caso del potencial parabólico invertido, el proceso no tiene una solución estacionaria lo cual implica que los autovalores tienen la forma , de modo que (36) resulta:

3.3. COEFICIENTES DE ARRASTRE Y DIFUSIÓN EN RELACIÓN CON LA FUERZA SOCIO-ECONÓMICA

De (15) y (21) se tiene que

con . La relación de ambas funciones con la ecuación de Fokker-Planck está dada mediante los coeficientes de la interpretación de Ito [8]:

Por otro lado, la varianza para el proceso de Ornstein­Uhlenbeck en términos del coeficiente de difusión D es

donde D es el coeficiente de difusión del proceso. Además, se tiene que el coeficiente de arrastre para el proceso de Ornstein- Uhlenbeck sujeto a potenciales pa­rabólicos está dado por

Se puede ver que el coeficiente de arrastre del proce­so, corresponde a la fuerza socio-económica en el mode­lo. Entonces, el campo socio-económico dependiente del tiempo puede ser escrito como

Entonces, las expresiones (42) y (45) se pueden escribir en términos del coeficiente de difusión como

respectivamente, donde los campos socio-económicos de­pendientes del tiempo

corresponden a (54) y (55) respectivamente. En conse­cuencia (40) puede ser escrita como

3.4. JUEGO DIFERENCIAL ESTOCASTICOS

Las expresiones para las estrategias de los jugadores representados por los niveles de esfuerzos de los delin­cuentes y los policías, toman la forma

debido a que el crecimiento de la acumulación de capital está representado por (42) y (45); los niveles de esfuerzo de ambos jugadores estarán sujetos al comportamiento de las densidades de probabilidad fuera del equilibrio ter­modinámico. Así, las funcionales objetivo de cada juga­dor estarán sujetas a los valores esperados de los niveles de esfuerzo, es decir

 para los policías. Así, (57) y (58), para el estado es­tacionario o de equilibrio termodinámico del proceso de Ornstein-Uhlenbeck sujeto a un potencial parabólico, adoptan la forma

de modo que los valores esperados serán

debido a que el valor esperado de la densidad de proba­bilidad estacionaria (40) para el crecimiento de la acu­mulación de capital está dado por

4. ESCENARIOS SOCIO-ECONÓMICOS

Se caracterizan los escenarios socio-económicos en base a (i) la actitud de la sociedad frente a las activi­dades delincuenciales, (ii) la corrupción⁶ de la policía, y (iii) la actitud de ambos jugadores frente a sus utilida­des. La primera situación es reflejada por el parámetro donde q es la tasa de crecimiento económico⁷:  son los coeficientes asociados a las funciones de costos (8) y (9) para ambos jugadores y a puede ser interpretado como la demanda de trabajo en el área; en este sentido, un alto nivel de desempleo es representado por valores grandes de a, mientras que una alta deman­da de trabajo es representada por valores pequeños de a. Entonces, si Ǿ > 1 se tiene un escenario en el cual la sociedad es tolerante hacia las actividades delincuen­ciales, mientras que si Ǿ < 1 la sociedad es hostil a las actividades delincuenciales. La segunda situación es re­flejada en el comportamiento de la tasa de amenaza f* en equilibrio, en función del nivel de corrupción k. En este sentido, como se pudo observar en la Fig. 1, para un mismo nivel de corrupción existen dos situaciones en las cuales se tienen; por un lado, una sociedad sumergida en la delincuencia debido a los altos niveles de amena­za', y por el otro lado, una sociedad sujeta a la delin­cuencia, pero con bajos niveles de amenaza?. Todo este comportamiento se puede observar dentro de los niveles de corrupción pertenecientes al intervalo [k1 , k₂]. Final­mente, la tercera situación se refleja en los parámetros  y , los cuales representan las tasas de descuento tem­poral para los delincuentes y policías respectivamente.

Valores de ρg ≥ 1 y ρp ≥ 1, se traducen en una actitud miope¹º de ambos jugadores.

4.1. ESCENARIO I

Este escenario está caracterizado por una actitud hostil de la sociedad hacia los delincuentes, donde se tie­ne una alta demanda de trabajo, y la policía así como los delincuentes toman una actitud miope. El comporta­miento de f* en función de K, se muestra en la Fig. 1, donde para un mismo nivel de corrupción, puede ha­ber un daño significativo en el crecimiento económíco^l 1 (f* → oo), mientras que para f* ---> 0, no se tiene ningún efecto significativo.

A continuación se analiza el comportamiento de μ y D mediante un enfoque termodinámico y otro socio­económico.

4.1.1. ENFOQUE TERMODINÁMICO

En la Fig. 4(a) se puede observar que p, presenta en el intervalo [k_i, k₂] la coexistencia de tres curvas carac­terizadas por zonas en el modelo estocá,stico, las cuales representan el grado de fricción para el movimiento de la partícula que se las describe de la siguiente manera:

·    La zona A además de representar a los equilibri­os de extinción en el modelo estocástico, está ca­racterizada por ser una región de alta fricción, es decir, que dentro de ésta, el proceso que gobierna el comportamiento de la partícula browniana, es el proceso de Ornstein- Uhlenbeck sujeto a un potencial parabólico, debido a la presencia de una fuerza de fricción, donde jt es el coeficiente de fricción. La pre­sencia de este potencial implica que el proceso tie­ne una solución estacionaria dada por (40), la cual describe al sistema en el equilibrio termodinámico. Dentro de la misma zona, se tienen dos casos límite para la alta fricción, uno está dado para el punto crítico n_i (límite máximo), y el otro para k2 (límite máximo).

·    La zona B además de representar a los equili­brios regulares en el modelo estocástico, está ca­racterizada por ser una región de baja fricción, lo cual implica que está gobernada por un proce­so de Ornstein- Uhlenbeck sujeto a un potencial pa­rabólico, debido a la presencia de una fuerza socio­económica, donde II es nuevamente el coeficiente de fricción. Dentro de esta misma zona, se tienen dos casos límite para la baja fricción, uno está dado pa­ra el punto crítico k₂ (límite máximo) y el otro para k₃ (límite mínimo).

·    La zona C representa también a los equilibrios regulares en el modelo estocástico. Está caracte­rizada por ser una región con ausencia de fric­ción; en consecuencia, la zona tiene un proceso de Ornstein- Uhlenbeck sujeto a un potencial parabóli­co invertido, debido a la presencia de una fuerza socio-económica, donde μ no se comporta como un coeficiente de fricción. La presencia de este poten­cial en el proceso, implica que éste no tiene una solución estacionaria, por lo cual, la zona no descri­be un equilibrio termodinámico. Al igual que en las otras dos zonas descritas anteriormente, ésta tiene dos casos límite para la ausencia de fricción, uno está dado para el punto crítico k_i (límite máximo), y el otro para k₃ (límite mínimo).

La zona D representa tambi´en a los equilibrios regularesen el modelo estoc´astico. La misma, está ca­racterizada también por ser una región con ausen­cia de fricción, lo cual implica que está gol nernada por un proceso de Ornstein-Uhlenbeek, sujeto a un potencial parabólico invertido. Ésta zona correspon­de al intervalo de [k = 0, k₁], en el que los valores de p disminuyen a medida que el nivel de corrupción aumenta, como efecto de que los valores de f* se incrementan con el nivel de corrupción.

En la Fig. 4(b), se puede observar también la presencia de las cuatro zonas mencionadas anteriormente. Vemos que, mientras el parámetro de corrupción se incrementa, el sistema está sujeto gradualmente a la influencia de f* mediante el parámetro μ. En consecuencia, para los ni­veles de corrupción dentro del intervalo [k1 , k2] en el sistema ocurren transiciones debido a que ocurren también transiciones en el proceso de Ornstein- Uhlenbeck. Así, tomando en cuenta las transiciones dadas en los puntos críticos k₁, k₂ y k₃; se tiene que en el punto crítico re­presentado por k₁, ocurre una transición que va de la zona C a la zona A, y viceversa', a medida que los valores de p se aproximan al límite máximo para la alta fricción correspondiente a la zona A; en consecuencia, debido a la dependencia del coeficiente de difusión D con el parámetro μ, los valores de D tienden a cero. Dado que la zona A puede presentar un equilibrio termodinámico para el proceso, entonces se toma en cuenta la energía media de la partícula, que por el principio de equiparti­ción,

donde k_b es la constante de Boltzmann, ni es la masa de la partícula y T es la temperatura. También, t --> ∞ es

En consecuencia, D  T en el equilibrio termodinámico. Así, se puede decir que a medida que μ→ ∞, T --> 0, por lo cual el proceso se encontrará en la zona A. Para el punto crítico representado por k3, se tienen dos tran­siciones: por un lado, ocurre una transición que va de la zona C a la zona B y viceversa, por el otro lado, ocurre una transición que va de la zona C a la zona A y viceversa. Entonces, en el primer caso, la transición es posible si los valores de p se aproximan al límite mínimo para la baja fricción de la zona B; es decir, μ ~ 0. En consecuencia T —> ∞ ya que D --> ∞. Para el segun­do caso, la transición es posible, si los valores de p se aproximan a la zona de alta fricción correspondiente a la zona A; es decir, p. ---> oo. En consecuencia, D —> 0, lo que implica que T --> 0. Finalmente, para el punto crítico representado por K2, se tiene una transición que va de la zona B a la zona A y viceversa, a medida que los valores de ti se aproximan al límite mínimo para la alta fricción correspondiente a la zona A. Así, μ→∞ , con lo que D→ 0, T→ 0.

4.1.2. ENFOQUE SOCIO-ECONÓMICO

La sociedad al ser considerada como un fluido; puede caracterizarse por el comportamiento de f* mediante μ, en función del nivel de corrupción de la policía. Del enfo­que termodinámico, hemos visto comportamientos de μ y D, en los cuales se reconocen cuatro zonas con distin­tas características. La zona A de alta fricción, la cual está caracterizada por valores de D tendiendo a cero, lo que implica dentro del contexto socio-económico que las fluctuaciones en el crecimiento económico son míni­mas; es decir, que las contribuciones en el crecimiento económico de cada individuo de la sociedad son casi nu­las. Debido a que μ→∞, la influencia de este parámetro sobre el crecimiento económico es muy significativa, en consecuencia f* lo es también sobre μ. Éste análisis, nos conduce a afirmar que, la influencia de la amenaza de­lincuencial sobre el crecimiento económico es tan gran­de, que las actividades económicas de la sociedad se ven muy afectadas, teniéndose consecuencias muy dañinas que obstaculizan en gran medida el crecimiento económi­co. Debido a que, la zona B representa a la región de ba­ja fricción en el enfoque termodinámico, no se tiene una influencia significativa de μ. sobre las fluctuaciones del crecimiento económico. Es decir, que f* al no tener una incidencia muy grande sobre μ., las actividades económi­cas dentro la sociedad no son influenciadas en gran me­dida por la amenaza delincuencial; en consecuencia, el crecimiento económico no es obstaculizado. Sin embar­go, a medida que nos aproximamos al punto crítico dado por k₃, la influencia de μ tiende a cero y la difusión del proceso tiende a infinito. Como resultado se tienen gran­des fluctuaciones en el crecimiento económico, debido a que las contribuciones de cada individuo de la sociedad, no están sujetas a los potenciales socio-económicos; de lo cual, se puede decir que el crecimiento económico está li­bre de la influencia de la amenaza delincuencial. Como la zona C y la zona D están caracterizadas por una ausencia de fricción en el enfoque termodinámico; este hecho dentro del contexto socio-económico, significa que la influencia del potencial dado por (23) es muy signifi­cativa en el crecimiento económico; en consecuencia, las contribuciones de los individuos de la sociedad en el cre­cimiento económico no son afectadas por la influencia de la amenaza delincuencial.

Dentro del contexto socio-económico, las transicio­nes que ocurren dentro el intervalo de los puntos críticos para el nivel de corrupción dado por [k_i, k₂], son inter­pretadas como transiciones del sistema socio-económico, donde se encuentra la coexistencia de las tres zonas des­critas anteriormente, las cuales pueden ser clasificadas como sigue:

·   La zona A representa una región de mayor ries­go para el crecimiento económico, debido a la gran influencia de la amenaza delincuencial sobre la so­ciedad.

·   La zona B representa una región de menor riesgo para el crecimiento económico, debido a la pequeña influencia de la amenaza delincuencial sobre la so­ciedad.

·   La zona C y la zona D representan las regiones de mínimo riesgo para el crecimiento económico,

debido a la influencia no perceptible de la amenaza delincuencia] sobre la sociedad.

Entonces, las transiciones ocurren entre éstas zonas a medida que la influencia de f* sobre los potenciales socio-económicos sea significativa o no. Es decir, el cre­cimiento económico se encontrará en la región de mayor riesgo para un nivel de corrupción de la policía, si ésta elige políticas que prioricen en favorecer sus ganancias y en consecuencia también las ganancias de los delincuen­tes, no tomando en cuenta los efectos que puedan traer dichas políticas sobre la sociedad y la economía¹³. Para el mismo nivel de corrupción, el crecimiento económico se encontrará en la región de menor riesgo, si la policía elige políticas que si bien, favorecen sus ganancias y las de los delincuentes, consideran también los efectos que traen dichas políticas en la sociedad y la economía14.

4.1.3. SITUACIÓN DE ESTANCAMIENTO ECONÓMICO

En el enfoque termodinámico, se vio que la zona A y la zona B, están caracterizadas también por ser re­giones que presentan una solución estacionaria para el proceso, debido a las características del potencial pa­rabólico que gobierna ambas zonas. Dentro del contexto socio-económico; ésta solución dada por (40), represen­ta una situación de estancamiento económico ya que la densidad de probabilidad del crecimiento del capital acu­mulado es constante. Así, el valor esperado de este, vie­ne dado por la expresión (65) la cual será invariable. En consecuencia, el nivel de esfuerzos de los policías y de los delincuentes estarán representados por las expresio­nes (63) y (64) respectivamente. El comportamiento de estos esfuerzos se muestra en la Fig. 4.1.3(a) y (b), donde se puede observar que en ambas zonas A y B, el nivel de esfuerzos de los delincuentes en función al nivel de corrupción es mayor que el de los policías'.

Además, se puede ver también que ambos esfuerzos disminuyen con el nivel de corrupción en la zona A¹6 y alimentan con el nivel de corrupción en la zona  B¹7

Este escenario está caracterizado por una actitud tolerante de la sociedad hacia las actividades delincuenciales, donde la actitud de la policía y de los delincuentes es miope, y además se tiene una alta demanda de trabajo. Para estas condiciones, el comportamiento de la tasa de amenaza en equilibrio ^f*, en función del nivel de corrup­ción de la policía se muestra en la Fig. 4.2. A diferencia con el comportamiento de f * para el primer escenario, se puede ver que para este caso, el intervalo de los niveles de corrupción dados por [n_i, n₂], son distintos. Además, la amenaza delincuencial crece mucho más rápido con el nivel de corrupción. Se puede observar al igual que en el escenario anterior, que para un mismo valor del ni­vel de corrupción de la policía, se tienen dos situaciones; la primera cuando f^٭ → ∞, por lo que la amenaza se encuentra en la región de los equilibrios de extinción; la segunda cuando f^٭ → 0 por lo que la amenaza se encuentra en la región de los equilibrios regulares.

El comportamiento de μ y D se muestra en la Fig. 4.2(a) y (b), donde a diferencia del comportamiento de μ  para el primer escenario, se puede observar para este caso, que solo se dá la coexistencia de las zonas

A y B dentro del intervalo [k_i, k₂]. Donde, la zona A tiene las mismas características que en el escenario anterior, excepto que los valores límites para la región de alta
fricción están dados por los puntos críticos k_i = 0,07 y  k₂= 0,087. Del mismo modo, se tiene que para la zona B los límites para la región de baja fricción están da­dos por n_i y n₂. La zona C representa a diferencia del primer escenario, una región de fricción y corresponde al intervalo [k = 0, k_i]. En resumen, las tres zonas repre­sentan regiones de fricción, siendo el nivel más alto el de la zona A.

Se puede observar también que la difusión para el proceso, disminuye muy rápidamente con el nivel de corrupción; es decir, D → 0 más rápidamente. Nueva‑
mente, se encuentran transiciones que van de la zona A a la zona B y viceversa, a medida que μ influye en el proceso. Debido a este hecho, D tiende a cero. Como las tres regiones de fricción pueden llegar al equilibrio termodinámico, podemos decir que T → 0  como conse­cuencia de que D → 0.

4.2.1. ENFOQUE SOCIO-ECONÓMICO

Debido al enfoque termodinámico dado en la anterior sección, se puede relacionar dentro del contexto socio­económico a las tres zonas como, regiones de riesgo para el crecimiento económico, siendo la zona A y C, las de menor riesgo. Como el riesgo está sujeto a la influencia de f^٭, se puede puntualizar para este escenario, que la influencia de este parámetro es muy significativa en las tres zonas.

Las transiciones en el sistema socio-económico obser­vadas dentro del intervalo de los niveles de corrupción [ki, k2] están dadas para niveles de corrupción de la po­licía mucho más bajos que para el caso del primer escena­rio. Lo anterior es producto de la reacción de la sociedad frente a las actividades delincuenciales. En consecuen‑

cia, se puede decir que en esta sociedad no se necesitan niveles altos de corrupción para encontrarnos en situa­ciones donde la actitud de la policía puede hacer que el sistema se encuentre en las regiones de mayor o menor riesgo para el crecimiento económico. En síntesis, debido a que la difusión del proceso tiende rápidamente a ce­ro con el nivel de corrupción, el crecimiento económico es afectado en gran medida. Es decir, la influencia de la amenaza delincuencial aumenta rápidamente con el ni­vel de corrupción. En consecuencia, la sociedad tenderá a estar sometida por la delincuencia más rápidamente.

4.2.2. SITUACIÓN DE ESTANCAMIENTO ECONÓMICO

Como las tres regiones representan riesgo para el cre­cimiento económico, entonces todas representan una si­tuación de estancamiento. Las causas son, al igual que en el primer escenario, la gran influencia que tiene la amenaza delincuencial sobre la sociedad. Este hecho nos conduce a un estado estacionario en el proceso, el cual re­presenta la situación de estancamiento económico. Para este escenario el comportamiento de los niveles de es­fuerzos

Fig. 4.2.2(a) y (b), donde se puede observar que los nive­les de esfuerzos de los delincuentes son mayores que el de los policías, con la diferencia de que los niveles de esfuer­zos de los delincuentes crecen con el nivel de corrupción en las tres zonas'.

5. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS

En base a los resultados obtenidos los cuales fueron explicados en las secciones precedentes, se puede decir que es posible abordar un problema socio-económico uti­lizando conceptos y herramientas de la Física, en parti­cular de la Mecánica Estadística. El modelo físico englo­ba al modelo determinista de teoría de juegos y puede aportar más resultados.

En base al análisis del modelo, se pueden explicar al­gunas constataciones empíricas hechas en economía. Así, se puede ver que la corrupción de la policía puede resul­tar positiva en ciertas condiciones. Es decir, podernos su­poner que la influencia del parámetro q en el crecimiento económico, limita la actividad económica de la sociedad. En este sentido, podríamos pensar que q es una tasa de crecimiento sujeta a una reglamentación del comercio lo­cal, la cual no resulta muy favorable para el crecimiento económico de la región. Algunas observaciones empíricas sobre este hecho, aunque en un contexto socio-económi­co distinto son discutidas en [11]. En el primer escenario, tenemos una región con sólidas instituciones de seguri­dad y organizada socio-económicamente. En general, en este tipo de sociedades, los delincuentes tienen que ha­cer un mayor esfuerzo para introducirse. Este esfuerzo tiene un límite que se puede traducir en una irrupción brusca (con el consecuente rechazo de la sociedad) o sola­pada (aumentando niveles de corrupción). En el proceso de corrupción de las instituciones, puede darse una in­yección de capital. Esto hace que exista un crecimiento económico cuyos réditos se distribuyan en la misma so­ciedad.

Por el contrario en una economía mal organizada y con instituciones frágiles, como es el caso de países en desarrollo, los delincuentes hacen esfuerzos menores por introducirse a su sistema, y justamente por esta razón, las membranas débiles de este país, no generan resisten­cia, tanto para la entrada de ese " pequeñoÇapital, como para su salida: Esto último se traduce en el riesgo de fuga del capital sin generar ningún crecimiento económico.

Por otro lado, se puede extender el concepto del proceso de Ornstein-Uhlenbeck a otros sistemas socio­económicos. El modelo podría ser analizado mediante autómatas celulares, considerando a cada individuo de la sociedad como una célula, a la cual se puede asociar estados que podrían representar la actitud del mismo (hostil o tolerante) hacia la delincuencia y la policía. Una ventaja de esta perspectiva, es que se podría analizar la interacción entre todos los individuos de la sociedad y al mismo tiempo introducir ruido al sistema para estu­diar sus efectos sobre la interacción. Este ruido podría representar una influencia aleatoria a un cambio en la actitud del o los indivíduos. Así el sistema estará sujeto a un proceso en el cual un comportamiento macroscópico (colectivo) de la sociedad, pueda ser entendido a partir de las interacciones entre individuos.

Se podría considerar dentro del modelo, que el coefi­ciente de difusión D dependa del tiempo. Este hecho, nos conduciría a otro tipo de proceso en el cual la ecuación de Fokker-Planck toma otra forma y para resolverla se deben utilizar métodos numéricos.

Se puede considerar i estados de N individuos de la sociedad en términos de su actitud, y construir una ecuación maestra en la cual el llamado vector de socio configuración contenga toda la información acerca de la distribución de los N individuos sobre los estados i. Donde se puede además asociar una probabilidad P de encontrar la socio-configuración A al tiempo t. De esta manera considerando las tasa de transición de la socio-configuración A a la A' en el tiempo t, se llega a la ecuación maestra para el sistema. Donde A' podría representar el cambio en la actitud de la sociedad.

Finalmente, en el modelo, se puede considerar el efecto de un potencial periódico sobre el sistema socio­económico.

Agradecimientos

MS agradece al Lic. Daniel Málaga por las fructíferas discusiones que ayudaron a aclarar los aspectos económi­cos del presente trabajo.

REFERENCIAS

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2. Oppenheim, K. E. Schuler and G. H. Weiss, eds., Stochas­tic Proceses in Chemical Physics: The Master Equation, Mit Press, Carnbridge, 1972.        [ Links ]

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8. Risken H., The Fokker-Planck equation, Second edition, Springer, Verlag. Berlin, Hendelberg, New York, 1989

9. Lefever R., Noise-Induced Transitions, Theory and aplica­tions in Physics, Chemistry, and Biology. Springer-Verlag Berlin Hendelberg, New York, Tokyo, 1984.

10. Dockner, Jorgensen, Vanlong, Sorger., Differential games in economics and management science, Cambridge, 2000.

11. Kaufmann áz Shan-Jin Wei., "Does Corruption 'Crease Mo­ney' Speed Up the Wheels of Comerce?", paper presented at the annual meeting of the American Economic Asso­ciation., January, Chicago, 1998.

12. Lewin K., Field Theory in Social Science, Harper and Brothers, New York, 1951.